数学课程改革中的向量背景分析.doc

4数学课程改革中的向量背景分析王建明（北京教育学院数学系100011）1向量进入中学数学的背景分析1.1 向量的双重性向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何1.2 认识向量的另外角度把平面和空间看出是一个向量场，可以培养学生对结构数学的认识，而结构数学是现代数学发展的主要方向利用参数方程的概念，可以把曲线看作向量函数的轨迹，可以使学生方便地运用微积分于几何的研究和学习这里也可以把向量的引入理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一1.3 “数、量与运算”的扩大从“数、量和运算”发展的角度理解“向量”，把向量的加法（减法）、数乘以向量和向量的数量积看作新的运算，使学生认识到数、量和运算的形式在不断的发展更为重要的是在教材和教师教学的处理上应该表现出“数、量和运算”的一个发展趋势链，其中数的发展包括正整数（自然数）零和自然数正分数（有限小数和无限循环小数）非负有理数有理数无理数（无限不循环小数）实数复数，从代数结构的角度看，经历了整数环有理数域实数域复数域（1883年hamilton的四元数域是不满足乘法交换律的复数域的扩大，在此意义上说复数域是最大的数域），这些“数”所对应的“量”都是一类的，并且至此“运算”的结构没有改变，从整体上看“数”在发展，而“量”及“运算”没有本质的发展因此向量不是“数”的简单扩大，它所关注的不是“数”的扩大问题，而是“量及运算”的扩大问题因而在向量的引入时，不宜从代数方程的角度出发，可能从力学的实际背景出发更能体现出“量”的发展同时还应该强调的是向量代数是以前所有“数的运算”的一个发展（如果我们能够引入向量的向量积运算，将使学生第一次看到运算可以不满足交换律的真正案例），使学生对此问题有一个发展的理解，由此也为今后引入矩阵及其运算做了铺垫1.4 国际数学教育对向量的处理国际数学教育的发展已全面反映了综合几何的学习的落后，向量和矩阵进入中学数学是一个大的趋势，比如美国nctm2000的学校数学的原则和标准、新西兰数学课程标准和澳大利亚数学教学大纲都在此问题上有全面的反映从总体上分析，基本共识是基于以下的事实：1899年希尔伯特的几何学基础的发表，标志着几何学基础的彻底革新，也发展了现代数学的公理化模式以此为推动力，数学本体上在这个方面的研究几乎穷尽中学的综合几何就是扩大了公理体系的希尔伯特几何的简单情形如果我国几何教学仍然停留在此不动，那么很难说我们的数学教育反映了数学发展的进程，也与国际数学教育的发展相去甚远1.5 数学和物理学的关系在向量中的体现数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，事实上一个良好的物理或现实背景是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，并且数学和物理世界是如此的紧密关联，就是二十世纪最伟大的数学家之一、为“纯数学”而竭力辩白的英国数学家哈代也曾说：“还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步”尤其到今天，数学和物理学的关系是有目共睹的而向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性1.6 数学“机械化”与向量的关系吴文俊先生在数学通报1995年2月期的数学教育现代化问题一文中明确指出：数学教育现代化问题就是机械化问题吴文俊先生说“现代化就是机械化我想谈的主要是中学范围里边的数学现代化，或者照我的看法，所谓数学机械化的问题”关于传统几何的改革，吴文俊先生说“对欧几里德几何应该怎么看，我说明一下我的看法，我有点倾向于恩格斯的数学关系数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里德几何体系的特点是排除了数量关系”“对于几何，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法”吴文俊先生明确指出为了使中学几何“腾飞”，必须采取“数量化”的方法，也就是代数化几何的处理方法事实上，我们不难发现向量几何具有一定的机械化1.7 向量的教学实践过程可行性问题在中学阶段引入是完全可以接受的这是因为，第一，学生有初步的平面坐标几何的基础；第二，教师有良好的立体几何的教学背景，教师在把传统的综合几何转移到向量代数处理立体几何时有很好的直观背景，并可以使之迁移到学生的学习过程中去除此之外，现代化技术（包括多媒体教学技术和后pc时代的掌上技术）在向量的“教与学”中可以帮助教师和学生利用图形计算器、计算机和动态几何软件不仅可以解决几何“直观性”的问题，同时也使得学生的向量学习入门更容易理解在国际上这种案例是很多的1.8 对向量的认识误区向量进入我国中学数学课程是一个不可逆转的趋势，但在整个发展过程种也不可避免地出现了一些在这个问题上的认识误区通过教师培训实践，我们发现教师对向量的认识误区主要表现在如下的方面，也即立体几何简化论和解题方法的多样性的确，向量的引入有助于平面几何与立体几何某些问题的解决，同时也为其他一些初等数学问题的解决提供了更多的选择但问题的关键是中学数学教师不能仅仅停留在这个层次上来看待向量在中学数学中的引入，而应该从更大的范围和角度认识向量，这也就是我们前面谈到的几点观点，其中最为重要的是较为全面地把握向量的发展与其它数学结构的关系中学教师对这些方面可以不要求学生做，然而却不能不说给学生听，当然首先要求教师对此问题的深入理解和掌握只有这样，教师的视野开阔了，才不会使得向量的“教与学”成为又一个新的知识难点和负担22000年数学高考中的体现和趋势在现阶段，高考作为一个主要的评价手段，仍然是其他评价手段无法替代的向量几何进入中学后，能否被教师和学生接受，效果如何，必须在高考中有所体现，否则，必然重复以前的课程和教材实验的老路，也就是只要高考不考，中学教师就不讲、学生也不愿学这次的实验，把教学和最后的高考评价结合起来了，这样必将推动向量等现代数学的思想和方法更快地进入中学2.1 2000年数学高考中“向量”的体现2000年全国高考数学中，并没有直接涉及向量的问题但在实验区，也即江西和天津地区的数学高考中有直接与向量有关的问题2题，分别为第4题和第18题，分值17分，占11.3%在上海的数学高考试题中与向量有关的问题为2题，分别为第1题和第18题，分值16分，占10.6%当然，在2000年全国普通高考数学学科的试题中，可以用向量的问题也有2题，分别为14题和18题从问题的形式上来看，前面一个小题为选择题，主要检测学生对向量代数的基本运算的掌握，第二个问题，主要是向量在立体几何中的应用这也是符合中国的国情的因为，正如我们前面所言，传统的综合立体几何的教与学是我们的优势，把向量与立体几何紧密联系使教师有一个很好的开始，使教师较方便地适应向量的教，学生也容易把他们在平面几何所获得的综合几何的能力，迁移到向量与空间几何的结合中，对教师和学生来说都是一个很好的鼓励2.2 发展趋势和对策随着以大纲为基础的数学教学实验的推广，随着新的高中数学国家课程标准的研制和教学实验，可以想见“向量”进入中学数学的步伐会越来越大，毫无疑问这种趋势是难以阻挡的数学通报2001年3月期，国家教育部考试中心在谈到试题的稳定与创新的关系时，指出“在深化高考内容的改革中，要充分研究中学数学教材，研究数学知识的发展规律和内在联系，研究初等数学与高等数学的衔接关系，创设新的试题情景”可以预见在近年内，向量问题在数学高考中的形式不会有根本的改变，这是因为，中学数学中“向量”的教学刚刚起步，教师和学生都有一个适应过程同时，再次强调的是在立体几何中设计一道向量问题是符合国情的但是，从发展的眼观看，不要在这个问题上使自己的认识僵化，也就是要注意到向量所涉及的更为宽泛的与其它数学知识的联系比如，向量与初等微积分的结合就是可以选择的“新的试题情景”，当然这是需要时间和实践积累的谈到中学教师或者说是中学教学的对策，第一中学教师有必要系统接受“向量代数和向量分析”的知识培训，尤其是脱离高等数学时间较长的教师，对这个问题，应该从社会分工的角度认识，就不会产生抵触情绪第二，全面认识现代数学与初等数学的关系，发展地看“向量”与中学数学的结合第三，注意战略和战术的关系，注意近期与长期的关系，适应动态的教学大纲或课程标准今后的教学大纲或课程标准不会是几十年一贯制，“向量”与中学数学的几结合也是动态的参考文献1 国家教育部全日制普通高级中学数学教学大纲1999年6月2 吴文俊数学教育现代化问题数学通报1995年2月3 教育部考试中心2000年全国普通高考数学试题分析报告数学通报2001年3月4 胡作玄，邓明立20世纪数学思想山东教育出版社1999年5月我的大学爱情观1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去