江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第10章立体几何.docVIP

- 1 - 目录（基础复习部分） 第十章立体几何.2 第 57 课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系.2 第 58 课直线与平面的位置关系平行.3 第 59 课直线与平面的位置关系垂直.5 第 60 课平面与平面的位置关系.5 第 61 课柱、锥、台、球的表面积与体积.8 第 62 课综合应用.10 - 2 - 第十章第十章立体几何立体几何 第第 5757 课课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系平面的基本性质与空间两条直线的位置关系 若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）、 若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线；mm 若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直；mm 若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线；mm 若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线；mm 答案：； 提示提示：注意到两平面是相交的，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在；m 注意到是垂直，一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线；m 与对立的，一定有一个是真命题； 立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理” ；立柱、投影、作垂线即成是真命题 平时强调的重点内容啊！ （南京盐城二模） （扬州期末）在三棱锥 pabc 中，d 为 ab 的中点 （1）与 bc 平行的平面 pde 交 ac 于点 e，判断点 e 在 ac 上的位置，并说明理由； （2）若 pa=pb，且pcd 为锐角三角形，又平面 pcd平面 abc，求证：abpc （1）为中点理由如下：eac 平面交于，即平面平面，pdeacepde abcde 而平面，平面，所以. 4 分/bcpdebc abc/bcde 在中，因为为的中点，所以为中点；7 分abcdabeac （2）因为，为的中点，所以.papbdababpd p a b c d p a b c d e - 3 - 因为平面平面，平面平面，pcd abcpcdabccd 在锐角所在平面内作于，pcdpocdo 则点与点不重合，且平面. 10 分odpo abc 因为平面，所以ab abcpoab 又，平面，则平面popdppopd pcdab pcd 又平面，所以 14 分pc pcdabpc （淮安宿迁摸底） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且pabcdabcdpbpd （1）求证：；bdpc （2）若平面与平面的交线为 ，求证：pbcpadl/bcl （1）连接 ac，交 bd 于点 o，连接 po 因为四边形 abcd 为菱形，所以 2 分bdac 又因为，o 为 bd 的中点， pbpd 所以 4 分bdpo 又因为 acpoo 所以，bdapc平面 又因为 pcapc平面 所以7 分bdpc （2）因为四边形 abcd 为菱形，所以 9 分/bcad 因为 ,adpad bcpad平面平面 所以 11 分/bcpad平面 又因为，平面平面 bcpbc平面pbc padl 所以 14 分/ /bcl 第第 5858 课课直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系平行平行 （镇江期末）设，为不重合两平面，是不重合两直线，给出下列四个命题：mn 若，则；/ /mnn/m 若，则；mn/ /m/ /n/ 若，则；/mnnm/ 若，则mnnmn 其中正确命题的序号为 . p a b c d o (淮安宿迁摸底) p b c a d (第 16 题图) p b c a d o - 4 - （苏北四市期末）如图，在三棱锥中，已知平面平面pabcpbcabc (1) 若，求证：；abbccppbcppa (2) 若过点作直线 平面，求证： /平面alabclpbc （1）因为平面平面，平面平面，pbcabcpbcabcbc 平面，所以平面2 分ab abcabbcabpbc 因为平面，所以. 4 分cp pbccpab 又因为，且，平面，cppbpbabb,ab pb pab 所以平面， 6 分cppab 又因为平面，所以7 分papabcppa （2）在平面内过点作，垂足为8 分pbcppdbcd 因为平面平面，又平面平面bc，pbcabcpbcabc 平面，所以平面10 分pd pbcpdabc 又 平面，所以 / 12 分labclpd 又平面，平面， /平面14 分l pbcpd pbclpbc （南京盐城二模）如图，在四棱锥 pabcd 中， adcd ab， abdc，adcd，pc平面 1 2 abcd （1）求证：bc平面 pac； （2）若 m 为线段 pa 的中点，且过 c，d，m 三点的平面与 pb 交于点 n，求 pn：pb 的值 证明证明：（1）连结 ac不妨设 ad1 a p c b （第 16 题） a p c b d (第 16 题图) p a b c d m - 5 - 因为 adcd ab，所以 cd1，ab2 1 2 因为adc90，所以 ac，cab45 2 在abc 中，由余弦定理得 bc，所以 ac2bc2ab2 2 所以 bcac 3 分 因为 pc平面 abcd，bc平面 abcd，所以 bcpc 5 分 因为 pc平面 pac，ac平面 pac，pcacc， 所以 bc平面 pac 7 分 （2）如图，因为 abdc，cd平面 cdmn，ab平面 cdmn， 所以 ab平面 cdmn 9 分 因为 ab平面 pab， 平面 pab平面 cdmnmn， 所以 abmn 12 分 在pab 中，因为 m 为线段 pa 的中点， 所以 n 为线段 pb 的中点， 即 pn：pb 的值为 14 分 1 2 第第 5959 课课直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系垂直垂直 第第 6060 课课平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 （南京盐城模拟一）如图，在正方体中，分别为，的中点. 1111 abcdabc doe 1 b dab （1）求证：平面；/oe 11 bcc b （2）求证：平面平面 1 b dc 1 b de 证明：（1）连接，设，连接2 分 1 bc 11 bcbcfof 因为 o，f 分别是与的中点，所以，且 1 b d 1 bc/ofdc 1 2 ofdc 又 e 为 ab 中点，所以，且，/ebdc 1 2 ebdc 从而，即四边形 oebf 是平行四边形，ofebofeb 所以 6 分/oebf 又平平面，平面，oe 11 bcc bbf 11 bcc b 所以平面. 8 分/oe 11 bcc b （2）因为平面，平面，dc 11 bcc b 1 bc 11 bcc b 所以 10 分 1 bcdc ba c d b1 a1 c1 d1 e f o ba c d b1a1 c1d1 e 第 16 题图 o (第 16 题图) p a b c d m n - 6 - 又，且，平面， 11 bcbcdc 1 bc 1 b dc 1 dcbcc 所以平面 12 分 1 bc 1 b dc 而，所以平面 1/ bcoeoe 1 b dc 又平面，所以平面平面.14 分oe 1 b de 1 b dc 1 b de (无锡期末)如图，过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯 1111 abcdabc d-pbd 开，得到截面.bdef （1）请在木块的上底面作出过的锯线，并说明理由；pef （2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形是矩形，试证明： 11 bb d d 平面平面.bdef 11 ac ca a b dc a1 d1 c1 b1 p - 7 - a bc d m n q （第 15 题） （泰州二模）（泰州二模）如图，矩形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，点abcdabebeae 分别是的中点nm,cdae, （1）求证： 平面； mnbce （2）求证：平面平面bceade 证：（1）取中点，连接，bef,cf mf 又是中点，则，mae 1 / /, 2 mfab mfab 又是矩形边中点，nabcdcd 所以，则四边形是/ /,mfnc mfncmncf 平行四边形， 所以，又面，面，所以平面分/ /mncfmn bcecf bcemnbce （2）因为平面平面，所以平面，abcdabebcabbc abe 因为平面，所以，ae abebcae 又，所以平面，beae bcbebae bce 而平面，所以平面平面 14 分 ae adebceade （南通调研二）如图，在四面体中，平面平面，90，分abcdbadcadbadmnq 别为棱，ad ，的中点bdac （1）求证：平面；/cdmnq （2）求证：平面平面mnqcad 证明：（1）因为，分别为棱，的中点，mqadac 所以， 2 分/mqcd n m a d b c e - 8 - a b c d e f g 又平面，平面，cd mnqmq mnq 故平面 6 分/cdmnq （2）因为，分别为棱，的中点，所以，mnadbd/mnab 又，故 8 分90badmnad 因为平面平面，平面平面， 且平面，badcadbadcadadmn abd 所以平面 11 分mn acd 又平面， mn mnq 平面平面 14 分 mnqcad （注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面” 证明“平面” ，扣 1 分 ）mn acd （金海南三校联考）（金海南三校联考）如图，在四面体 abcd 中， ad=bd，abc=90，点 e、f 分别为棱 ab、ac 上的点，点 g 为棱 ad 的中点，且平面 efg/平面 bcd.求证： (1)ef=；(2)平面 efd平面 abc. 1 2 bc 证明：证明：（1）因为平面 efg平面 bcd， 平面 abd平面 efgeg，平面 abd平面 bcdbd， 所以 eg/bd， 4 分 又 g 为 ad 的中点， 故 e 为 ab 的中点， 同理可得，f 为 ac 的中点， 所以 ef bc 7 分 1 2 （2）因为 adbd， 由（1）知，e 为 ab 的中点， 所以 abde， 又abc90，即 abbc， 由（1）知，ef/bc，所以 abef， 又 deefe，de，ef平面 efd， 所以 ab平面 efd， 12 分 又 ab平面 abc， a b c d g e f - 9 - 第 第 6第 第 e p d c b a 南通调研三 故平面 efd平面 abc 14 分 第第 6161 课课柱、锥、台、球的表面积与体积柱、锥、台、球的表面积与体积 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 3：2 1 s 2, s 12 :ss 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆，则这个圆锥的高是 3 6.如图，四棱锥 pabcd 中，底面，底面是矩形，paabcdabcd2ab ，点 e 为棱 cd 上一点，则三棱锥 epab 的体积为 43ad 4pa 三棱锥中，分别为，的中点，记三棱锥的体pabc-depbpcdabe- 积为，的体积为，则 . 1 vpabc- 2 v 1 2 v v = 1 4 （南通调研一）底面边长为 2，高为 1 的正四棱锥的侧面积为 .4 2 （南京盐城模拟一）若一个圆锥的底面半径为 1，侧面积是底面积的 2 倍，则该圆锥的体积为 . 答案： 3 3 （苏州期末）已知一个圆锥的母线长为 2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 . 3 3 （苏北四市期末）已知圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则该圆锥的体积为 3 3 （淮安宿迁摸底）如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为 111 abcabc 2，且 m 为的中点，则三棱锥的体积是 11 ac 1 mabc 2 3 3 （泰州二模）（泰州二模）若圆柱的侧面积和体积的值都是，则该圆柱的高为 12 3 （南通调研二）如图，在长方体中，3 1111 abcdabc dab cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为 cm3ad 1 aa 11 babd 【答案】1 （南通调研三）（南通调研三）已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体 ab c 1 a 1 b 1 c m 淮安宿迁摸 a a1 b 不 c 不 b1 不 c1 不 d1 不 d 不 南通调研二 - 10 - 的体积 v cm3 【答案答案】 2 1 6 （苏北三市调研三）在三棱柱中，侧棱平面 111 abcabc 1 aa ，底面是边长为 2 的正三角形，则此三 11 abc 1 1aa abc 棱柱的体积为 2 （南京三模）已知正六棱锥 pabcdef 的底面边长为 2，侧棱长 为 4，则此六棱锥的体积为 12 （盐城三模）已知正四棱锥的体积为，底面边长为pabcd 4 3 ，则侧棱的长为 .2pa3 （苏锡常镇二模）（苏锡常镇二模）已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为，过圆锥的两条母线作截面，截面4 2 为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 2 3 3 （南师附中四校联考）（南师附中四校联考）若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为 3cm，则它的体积为 2cm cm3. 3 74 （前黄姜堰四校联考）（前黄姜堰四校联考）已知正四棱锥的底面边长是,侧棱长为,则该正四棱锥的表面积是 25 .12 第第 6262 课课综合应用综合应用 如图，四棱锥的底面 abcd 是平行四边形，平面 pbd平面 abcd，pb=pd，pabcdpapc ，分别是，的中点，连结求证：cdpcombdpcom （1）平面；ompad （2）平面ompcd 16证明：（1）连结 ac 因为 abcd 是平行四边形，所以 o 为的中点 2 分ac 在中，因为，分别是，的中点，所以4 分pacomacpcompa 因为平面，平面，所以平面6 分om padpapadompad （2）连结因为是的中点，pb=pd，所以 pobdpoobd 又因为平面 pbd平面 abcd，平面平面=，pbdabcdbd （第 16 题） m o ad b c p a b c 1 a 1 b 1 c 苏北三市调研 三 - 11 - 平面，所以平面从而 8 分popbdpoabcdpocd 又因为，平面，cdpcpcpoppc pac 平面，所以平面po paccdpac 因为平面，所以10 分om paccdom 因为，所以12 分papcompaompc 又因为平面，平面，cd pcdpc pcd ，所以平面 14 分cdpccompcd 如图，三棱柱 abca1b1c1中，m，n 分别为 ab，b1c1的中点 （1）求证：mn平面 aa1c1c； （2）若 cc1cb1，cacb，平面 cc1b1b平面 abc，求证：ab平面 cmn 证明：证明：（1）取 a1c1的中点 p，连接 ap，np 因为 c1nnb1，c1ppa1，所以 npa1b1，np a1b1 2 分 1 2 在三棱柱 abca1b1c1中，a1b1ab，a1b1ab 故 npab，且 np ab 1 2 因为 m 为 ab 的中点，所以 am ab 1 2 所以 npam，且 npam 所以四边形 amnp 为平行四边形 所以 mnap 4 分 因为 ap平面 aa1c1c，mn平面 aa1c1c， 所以 mn平面 aa1c1c 6 分 （2）因为 cacb，m 为 ab 的中点，所以 cmab 8 分 m o a c b d p a1 ab c b1 c1 m n （第 16 题图） a1 ab c b1 c1 m n （第 16 题图） p - 12 - 因为 cc1cb1，n 为 b1c1的中点，所以 cnb1c1 在三棱柱 abca1b1c1中，bcb1c1，所以 cnbc 因为平面 cc1b1b平面 abc，平面 cc1b1b平面 abcbccn平面 cc1b1b， 所以 cn平面 abc 10 分 因为 ab平面 abc，所以 cnab 12 分 因为 cm平面 cmn，cn平面 cmn，cmcnc， 所以 ab平面 cmn 14 分 16在正四面体 abcd 中，点 f 在 cd 上，点 e 在 ad 上，且 dffc=deea=23 证明：（1）ef平面 abc； （2）直线 bd直线 ef 16证：（1）因为点 f 在 cd 上，点 e 在ad 上，且 dffc=dhha=23， 1 分 所以 efac， 3 分 又 ef平面 abc， ac平面 abc， 所以 ef平面 abc6 分 （2）取 bd 的中点 m，连 am，cm， 因为 abcd 为正四面体，所以 ambd，cmbd， 8 分 又 amcm=m，所以 bd平面 amc， 10 分 又 ac平面 amc，所以 bdac， 12 分 又 hfac， 所以直线 bd直线 hf14 分 如图在多面体中，四边形是菱形，相交于点，abcdefabcdacbd、o/efab2abef 平面平面，点为的中点；bcf abcdbfcfgbc （1）求证：直线平面；/ogefcd （2）求证：直线平面ac ode 证明：（1）四边形是菱形，点是abcdacbdoo 的中点bd 点为的中点， 3 分gbc/ /ogcd g o f c ab d e - 13 - 又平面，平面，直线平面7 分og efcdcd efcd/ /ogefcd （2），点为的中点，bfcfgbcfgbc 平面平面，平面平面，bcfabcdbcfabcdbc 平面，平面 9 分fg bcffgbcfg abcd 平面，ac abcdfgac ，ogab 1 2 ogabefab 1 2 efabogefogef 四边形为平行四边形， 11 分efgo/ /fgeo ，四边形是菱形，fgac/ /fgeoaceoabcdacdo ，aceoacdoeodoo ，在平面内，平面 14 分eodoodeac ode 如图，四边形为矩形，四边形为菱形，且平面平面，d，e 分别为边 11 aac c 11 cc b b 11 cc b b 11 aac c ，的中点 11 ab 1 c c （1）求证：平面； 1 bc 1 abc （2）求证：de平面 1 abc 证明：（1）四边形为矩形，2 分 11 aac cac 1 c c 又平面平面，平面平面=， 11 cc b b 11 aac c 11 cc b b 11 aac c 1 cc 平面， 3 分ac 11 cc b b 平面， 4 分 1 c b 11 cc b bac 1 c b 又四边形为菱形， 5 分 11 cc b b 11 bcbc ，平面，平面， 1 bcaccac 1 abc 1 bc 1 abc 平面7 分 1 bc 1 abc （2）取的中点 f，连 df，ef， 1 aa 四边形为矩形，e，f 分别为，的中点， 11 aac c 1 c c 1 aa efac，又平面，平面,ef 1 abcac 1 abc c1 b1 a1 第 第 16第 第 e c b a d - 14 - ef平面， 10 分 1 abc 又d，f 分别为边，的中点， 11 ab 1 aa df，又平面，平面, 1 abdf 1 abc 1 ab 1 abc df平面，平面 def，平面 def， 1 abcefdffef df 平面 def平面，12 分 1 abc 平面 def，de平面14 分de 1 abc （南通调研一）如图，在直三棱柱中，是棱上的一点 111 abcabcacbc 1 4cc m 1 cc （1）求证：；bcam （2）若是的中点，且平面，求的长nabcn 1 ab mcm a c b m n c1 b1 a1 - 15 - - 16 - （苏州期末）如图，在正方体中，分别是，中点 1111 abcdabc defad 1 dd 求证：（1）平面；ef 1 c bd （2）平面 1 ac 1 c bd 证明：（1）连结 ad1 e，f 分别是 ad 和 dd1的中点，efad1 2 分 正方体 abcda1b1c1d1，abd1c1，ab=d1c1 四边形 abc1d1为平行四边形，即有 ad1bc1，efbc1 4 分 又 ef平面 c1bd，bc1平面 c1bd，ef平面 c1bd 7 分 （2）连结 ac，则 acbd 正方体 abcda1b1c1d1，aa1平面 abcd，aa1bd 又 1 aaacai ，bd平面 aa1c，a1cbd 11 分 同理可证 a1cbc1又 1 bdbcbi ，a1c平面 c1bd14 分 （镇江期末）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，abcdbcdabbcd ，为的中点，在棱上，且abcabebcfacfcaf3 （1）求三棱锥的体积；abcd （2）求证：平面；acdef （3）若为中点，在棱上，且，求证：平面mdbnaccacn 8 3 /mndef 解：（1）因为是正三角形，且，所以bcdabbca 2 3 4 bcd sa a b c d e f c1 b1 d1 a1 a b c d e f c1 b1 d1 a1 a b c d n f m e - 17 - 又平面，故sbcdabbcd 1 3 d abca bcd vvab 2 13 34 aa 3 3 12 a （2）在底面中，取的中点，连接，因，故abcachbhabbcbhac 因，故为的中点为的中点，故，故3affcfchebcefbhefac 因平面，平面，故平面平面abbcdab abcabcbcd 是正三角形，为的中点，故，故平面bcdebcdebcde abc 平面，故又，故平面ac abcde acdeefeacdef （3）当时，连，设，连 3 8 cncacmcmdeoof 因为的中点，为中点，故为的重心，ebcmdbobcd 2 3 cocm 因，故，所以fcaf3cacn 8 3 2 3 cfcnmnof 又平面，平面，所有平面of defmn defmndef （注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣 1 分，扣满该逻辑段得分为止）分，扣满该逻辑段得分为止） 【说明说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能 力，规范化书写表达能力力，规范化书写表达能力 （南通调研三）如图，在三棱柱 abca1b1c1中，b1cab，侧面 bcc1b1为菱形 （1）求证：平面 abc1平面 bcc1b1； （2）如果点 d，e 分别为 a1c1，bb1的中点， 求证：de平面 abc1 解解：（1）因三棱柱 abca1b1c1的侧面 bcc1b1为菱形， 故 b1cbc12 分 又 b1cab，且 ab，bc1为平面 abc1内的两条相交直线， 故 b1c平面 abc1 5 分 因 b1c平面 bcc1b1， 故平面 abc1平面 bcc1b1 7 分 （2）如图，取 aa1的中点 f，连 df，fe 又 d 为 a1c1的中点，故 dfac1，efab 因 df平面 abc1，ac1平面 abc1， 故 df面 abc1 10 分 同理，ef面 abc1 因 df，ef 为平面 def 内的两条相交直线， 故平面 def面 abc1 12 分 因 de平面 def， a b c d a1 b1 c1 （第 15 题答图） e f a b c d a1 b1 c1 南通调研三 e - 18 - 故 de面 abc114 分 （苏北三市调研三）如图，矩形所在平面与三角形所在平面相交于，平面abcdecdcdae ecd （1）求证：平面；ab ade （2）若点在线段上，且为线段中点，求证：/平面mae2ammencdenbdm （1）平面，平面，ae ecdcd ecd 又/,2aecdabcdabae 分 在矩形中，4 分abcdabad ，平面adaea,ad ae ade 平面6abade 分 （2）连 an 交 bd 于 f 点，连接 fm 8 分 /且abcd2abdn 10 分 2affn 又 am=2me /12 分enfm 又平面,平面en bdmfm bdm /平面. 14 分enbdm （南京三模）（南京三模）在四棱锥 pabcd 中，bcad，papd，ad2bc，abpb， e 为 pa 的中 点 （1）求证：be平面 pcd； （2）求证：平面 pab平面 pcd 证明：证明：（1）取 pd 的中点 f，连接 ef，cf 因为 e 为 pa 的中点，所以 efad，ef ad 1 2 因为 bcad，bc ad， 1 2 所以 efbc，efbc 所以四边形 bcfe 为平行四边形 所以 becf 4 分 因为 be平面 pcd，cf平面 pcd， 所以 be平面 pcd 6 分 （2）因为 abpb，e 为 pa 的中点，所以 pabe a b n e m c d （第 16 题） （第 16 题图） p a bc d e p a bc d e f （第 16 题图） - 19 - 因为 becf，所以 pacf 9 分 因为 papd，pd平面 pcd，cf平面 pcd，pdcff， 所以 pa平面 pcd 12 分 因为 pa平面 pab，所以平面 pab平面 pcd 14 分 （盐城三模）在直三棱柱中，点分别是棱 111 abcabcabac 1 bbbc,p q r 的中点. 111 ,bc cc bc （1）求证:/平面； 1 arapq （2）求证:平面平面.apq 1 abc 证明：（1）在直三棱柱中，且， 111 abcabc 11 /bc bc 11 bcbc 因点分别是棱的中点，所以且，,p r 11 ,bc bc 1 /bp b r 1 bpb r 所以四边形是平行四边形，即且， 1 bprb 1 /pr bb 1 prbb 又且，所以且，即四边形是平行四边形， 11 /aabb 11 aabb 1 /pr aa 1 praa 1 apra 所以，又平面，所以平面.7 分 1 /ap ar 1 ar apq 1 /arapq （2）因，所以四边形是菱形， 1 bbbc 11 bcc b 所以，又点分别是棱的中点，即，所以. 11 bcbc,p q 11 ,bc c c 1 /pq bc 1 bcpq 因为，点是棱的中点，所以，abacpbcapbc 由直三棱柱