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第七章 习题解答1设（x，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（x，d）。=，而=x。 因此当x多于两点时，的闭包不等于。2 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。证明 （1）若=0，则=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3 设b是度量空间x中的闭集，证明必有一列开集包含b，而且。证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因b是闭集，必有，所以。证毕4 设d（x，y）为空间x上的距离，证明是x上的距离证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，于是=。证毕。5， 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数 证明 若按习题2中距离收敛与，即 0 因此对每个r，0 ，这样0 ，即在 a，b 上一致收敛于。 反之，若的（t）各阶导数在a，b上一致收敛于f（t），则任意，存在，使；存在，使当时，max ，取n=max ，当nn时，即0 。证毕6设，证明度量空间中的集f|当tb时f（t）=0中的闭集，而集a=f|当tb时，|f（t）|a（a0）为开集的充要条件是b为闭集证明 记e=f|当tb时f（t）=0。设，按中度量收敛于f，即在a，b上一致收敛于f（t）。设，则，所以f e，这就证明了e为闭集下面证明第二部分 充分性。当b是闭集时，设f a。因f在b上连续而b是有界闭集，必有，使。设 。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以这样就证明了a是开集 必要性，设a是开集，要证明b是闭集，只要证明对任意若，必有 倘若，则定义。于是对任意，因此由于a是开集，必有，当ca，b且时，定义，n=1，2。则因此当时，。但是，此与的必要条件：对 任意，有矛盾因此必有证毕7设e及f是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集o及g分别包含e及f证明 设。令 则且，事实上，若，则有，所以存在e中的点x使，f中点y使，于是，此与矛盾。证毕8 设 ba，b表示a，b上实有界函数全体，对ba，b中任意两元素f，g ba，b，规定距离为。证明ba，b不是可分空间证明 对任意a，b，定义则ba，b，且若， 倘若ba，b是不可分的，则有可数稠密子集，对任意a，b，必有某，即。由于a，b上的点的全体是不可树集。这样必有某，使，于是此与矛盾，因此ba，b不是可分空间。证毕9 设x是可分距离空间，为x的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集o，使得，证明必可从中选出可数个集组成x的一个开覆盖。 证明 若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。 设是x的可数稠密子集，于是在中必有某，且。事实上，若，则所以。 这样我们就证明了对任意，存在k，n使且存在 任取覆盖的o，记为是x的可数覆盖。证毕10 x为距离空间，a为x中子集，令证明是x上连续函数 证明 若对任意，存在，使。取。则当时因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是x上连续函数11 设 x为距离空间，是x中不相交的闭集，证明存在开集使得。证明 若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。 倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明 了。证毕12 设 x，y，z为三个度量空间，f是x到y中的连续映射，g是y到z中的连续映射，证明复合映射是x到z中的连续映射证明 设 g是z中开集，因g是y到z中的连续映射，所以是y中开集。又f是x到y中的连续映射，故是x中 的开集。这样是x中 的开集，这就证明了g。f是x到z的连续映射。证毕13 x是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集证明 设 f是x上连续的实函数，又对每一实数c，g=（c，）是开集，于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设g是直线上的开集，则或，其中是g的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。证毕14 证明柯西点列是有界点列。 证明 设 是x中的柯西点列。对10，存在n，使当n，m时，令则对任意有。因此 是有界点列。证毕15证明第一节中空间s，b（a），以及离散的度量空间都是完备的度量空间证明 （1）s是完备的度量空间设 是s中的柯西点列，对每一个固定的i，由于，因此对任意存在，当时，对此，存在n，m时，因此，从而。这样对固定的i，是柯西点列。设。令，故有，且对任意给定，存在，使。存在使时，。于是当时， +所以按s的距离收敛于x（2）b（a）是完备的度量空间设是b（a）中的柯西点列，任意，存在n，使当n，m时。这样对任意，。因此对固定的t， 是柯西点列。设，由于n，m时，令，得，这样，于是故x （a），且nn时，。这就证明了按b（a）中距离收敛于x（3）离散的度量空间（x，d）是完备的度量空间设是x中柯西点列，则对0,存在n，当n，m是。特别对一切nn, ,于是nn是。因此，即（x，d）是完备的度量空间。证毕17 设f是n维欧几里得空间的有界闭集，a是f到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何，有。 证明映射a在f中存在唯一的不动点证明 定义f上的函数f（x）=d（ax，x）。由于因此f是f上的连续映射，因f是有界闭集，必有，使。我们先证明，若，则。记，则，于是此与是f的最小值矛盾。故即=若是a的另一个不动点，则，矛盾 16 证明 与c（0，1的一个子空间等距同构 证明 若 ，定义， 若，则因此t到到（0，1的子空间的一个同构映射，即到（0，1的一个子空间等距同构。18 设x为完备度量空间，a是x到x中的映射，记 若，则映射a有唯一不动点证明 因，则必有n，使。这样对任意x, x,若x,则 这样由压缩映射原理有不动点，即=。由于=a=a, a也是的不动点。的不动点是唯一的，因此= a，即是a的不动点。 若x是a的任意一个不动点，即a x= x。于是x=x= a x= x。这样x也是的不动点，由于的不动点是唯一的，因此= x。即a的不动点也是唯一的。证毕。19 设a为从完备度量空间x到x中映射，若在开球内适合 又a在闭球上连续，并且 证明：a在中有不动点。 证明 设=，。则 任给0，存在n，使，这样若且，有 因此是柯西列。设，因 因此。这样。因为a在上连续。，即是a在中的不动点。 a的不动点不一定是唯一的。例如x是离散的度量空间。a是x中的恒等映射。在开球内只有一点，自然满足条件。而，也满足。但x中每一点皆为a的不动点。证毕20 设 为一组实数，适合条件，其中当j=k时为1 ，否则为0。证明：代数方程组 对任意一组固定的，必有唯一的解，。 证明 记定义到内的映射t：tx= -ax+x+b。设x 则 由于0,存在n，当nn时有n时，若mn,则d(,),于是,我们就证明了x/y是赋范线性空间.证毕 例 3 设 是banach空间,x中点列,满足条件.求证在x中 收敛,且若记其极限为,则 . 证明 因为收敛,所以若则存在n,当mnn时,必有.于是, .因此是x中柯西列,因为x是banach空间,故存在x,使得因为因此.证毕 例 4 设是赋范线性空间x中的线性闭子空间. .由y和生成的线性子空间求证: 是x中的线性子空间 证明 设中的收敛列, .要证 首先必为c中有界列否则,存在.由,可得因此此与矛盾. 这样有界,必有,使,由,可得.于是, .证毕. 例 5 是上的连续函数,且.在上定义范数.求证是banach空间.证明 易验证: 的充要条件是f=0; ; 设 是中柯西列,对与任意的,存在n当时,这就证明了(t)在上一致收敛与f(t),且f(t)在上连续,以下证明. 对与任意的,存在n,使因为,所以存在m,当|t|使, .这就证明了. 这样,我们证明了f,且.于是, 是banach空间.证毕.翻函分析习题选讲（8）例 1 设x=c a,b,t1, ,tn 定义x上的线性泛函：若 求证f是x上的有界性泛函，求。 证明 任意x,|f(x)|=| | .所以|f| 存在，使。存在，x,使且|x|=1.这样|f(x)|=| |=，所以. |f(x)| 由此 ，我们证明了|f(x)|=|。证毕。 例题 2 设f是上的线性泛函，（的定义参见七章例题讲例5）。若f满足条件：若且任意则称f是正的线性泛函，求证：上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数f，都可以写成iy,其中x,y是中的实值函数，|x|且|y|.而实值函数又可以x=-，其中均是中的非负函数，且同理和是非负函数，且。若存在，使任意非负函数，则必有界事实上，任意 若在中的非负函数上是无界的，则存在非负函数，由于，因此第七章例题选讲例3，收敛。对任意，是非负函数， ，因此 ，这样 ，此与 是 上定义的线性泛函矛盾，因此 必为有界的 ，证毕。例3设 是 上正的线性泛函。求证：任意 ，证明 （1）若 是 中实函数，则 ，其中，是 中非负函数，则 是实数。（2）若 是 中复函数，其中 是实函数 ，则。（3）若是 中函数，我们来证明。对任意复数，不妨设，令代入上式得因，得 证毕习题解答 1，举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。解 设 是收敛到0的数列全体组成的空间。若 ，则是定义上的算子，。易验证是有界的，且设 ，则不属于 的值域。因此的值域不是闭的线性子空间。2求线性泛函的范数。解 由。设则，且。由此，。令。这样。3设无穷阵满足。作到中算子如下：若，则证明： 证明：设则若，因此 对任意，存在，使。设，其中则，且若，因此由于是任意的，故，这样我们就证明了。证毕4.设，在中定义线性算子：，其中，证明是有界线性算子，并且。证明：设。由。对任意，存在，使。设，其中若，则；而。我们可验证。由于的 任意性，得。于是。证毕5是维向量空间，在中任取一组基，是矩阵，作到中算子如下：当时，其中，若向量的范数为。证明上述算子的范数满足。证明：若，则。所以。对任意，。于是，所以。因此。证毕6设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子，若的零空间是闭集，是否一定有界？ 解：令，其中是上多项式函数全体，视为的子空间是到的微分算子。若，则是常值函数。显然常值函数全体是闭子集，但是非有界的。（见教材底一节例九）7 作中算子如下：当时，其中证明：是有界线性算子。 证明：若， 由holder不等式，有，因此。证毕8按范数，成赋范线性空间，问的共轭空间是什么？解 记按范数组成赋范线性空间为，按范数组成赋范线性空间为，我们来证明 。定义 到的映射。任意，其中。对任意， 于是反之，对任意。定义：对任意，则。因此是 到的映射若 ，则显然，则。若 令，则 因此 。从而。于是是从 到的同构映射。在同构的意义下。证毕9设表示极限为0 的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及，构成空间，证明：证明：令，则，。对任意，定义。以下先证，且记，则，且，由于。因此，令，。这就证明了，且再证对任意，定义上线性泛函：若，则，因此。又因为因此，且，于是由以上证明可知。是到上的同构映射。而在同构意义下，。证毕 第十一章 线性算子的谱1 设。证明，且其中没有特征值。证明 当时，常值函数1不在的值域中，因此不是满射，这样。反之若，定义算子。则由于，且因此是c0，1中有界线性算子。易验证，所以。总之， 若，则对任意，可推得。由于，必有，所以a无特征值。证毕。2 设，证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中，因此。这样。反之，若，定义。类似第1题可证是有界线性算子，且。即。因此。证毕。3 设， 试求。解 对任意，若，定义，显然，因此的内点都是a的点谱，由于是闭集，则。对任意，显然，因此，所以。这样我们就证明了。4 设f是平面上无限有界闭集，是f的一稠密子集，在中定义算子t：则都是特征值，中每个点是t的连续谱。证明 对任意n，其中1在第n个坐标上。由题设，因此是t的特征值。又由于是闭集，所以。若，则。定义算子，若，易验证，且。因此。若，且，使。则对任意n，。由于，则，。这样x=0，因此不是特征值，而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值，则的n次根中至少有一个是算子a的特征值。证明 设是的特征值，的n次根为。存在，使，则。若，则就是a的特征值，否则必有某i，而，则是a的特征值。证毕。6 设a为banach空间x上的有界线性算子，又设为x上一列有界线性算子，且，证明当n充分大后，也以为正则点。证明 。当n充分大时，这样 是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证，又也是可逆的。因此当n充分大后，也可逆。证毕。7 设a是为banach空间x上的有界线性算子，则当时，。证明 当时幂级数收敛，因此级数必按算子范数收敛。这就证明了，。 证毕。8 设a为x上的有界线性算子，则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此，证毕。9 设a是hilbert空间h上的有界线性算子，a*为a的共轭算子，证明证明 先证若t是hilbert空间h上的有界线性算子，若t可逆，则t*也可逆，且。事实上，对任意，。这样对任意成立，因此恒成立，进而。同理。这一证明了t*也可逆，且。现在设，则可逆，因此也可逆，从而。同理若，则，这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子，是到的有界线性算子，则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续，所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界，所以也收敛，因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设a是上线性算子，记，其中，证明a是全连续的。证明 若，定义：则是有界秩算子，且所以。由本章3定理2，a是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子u。证明u是上全连续算子且。证明 若，则。令，则是有