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第七章 习题解答1设(x,d)为一度量空间,令 问的闭包是否等于? 解 不一定。例如离散空间(x,d)。=,而=x。 因此当x多于两点时,的闭包不等于。2 设 是区间上无限次可微函数的全体,定义 证明按成度量空间。证明 (1)若=0,则=0,即f=g(2) =d(f,g)+d(g,h)因此按成度量空间。3 设b是度量空间x中的闭集,证明必有一列开集包含b,而且。证明 令是开集:设,则存在,使。设则易验证,这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n,有使,因此。因b是闭集,必有,所以。证毕4 设d(x,y)为空间x上的距离,证明是x上的距离证明 (1)若则,必有x=y (2)因而在上是单增函数,于是=。证毕。5, 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数 证明 若按习题2中距离收敛与,即 0 因此对每个r,0 ,这样0 ,即在 a,b 上一致收敛于。 反之,若的(t)各阶导数在a,b上一致收敛于f(t),则任意,存在,使;存在,使当时,max ,取n=max ,当nn时,即0 。证毕6设,证明度量空间中的集f|当tb时f(t)=0中的闭集,而集a=f|当tb时,|f(t)|a(a0)为开集的充要条件是b为闭集证明 记e=f|当tb时f(t)=0。设,按中度量收敛于f,即在a,b上一致收敛于f(t)。设,则,所以f e,这就证明了e为闭集下面证明第二部分 充分性。当b是闭集时,设f a。因f在b上连续而b是有界闭集,必有,使。设 。我们证明必有。设,则若,必有,于是,所以这样就证明了a是开集 必要性,设a是开集,要证明b是闭集,只要证明对任意若,必有 倘若,则定义。于是对任意,因此由于a是开集,必有,当ca,b且时,定义,n=1,2。则因此当时,。但是,此与的必要条件:对 任意,有矛盾因此必有证毕7设e及f是度量空间中的两个集,如果,证明必有不相交开集o及g分别包含e及f证明 设。令 则且,事实上,若,则有,所以存在e中的点x使,f中点y使,于是,此与矛盾。证毕8 设 ba,b表示a,b上实有界函数全体,对ba,b中任意两元素f,g ba,b,规定距离为。证明ba,b不是可分空间证明 对任意a,b,定义则ba,b,且若, 倘若ba,b是不可分的,则有可数稠密子集,对任意a,b,必有某,即。由于a,b上的点的全体是不可树集。这样必有某,使,于是此与矛盾,因此ba,b不是可分空间。证毕9 设x是可分距离空间,为x的一个开覆盖,即是一族开集,使得对每个,有中的开集o,使得,证明必可从中选出可数个集组成x的一个开覆盖。 证明 若,必有,使,因是开集,必有某自然数n,使。 设是x的可数稠密子集,于是在中必有某,且。事实上,若,则所以。 这样我们就证明了对任意,存在k,n使且存在 任取覆盖的o,记为是x的可数覆盖。证毕10 x为距离空间,a为x中子集,令证明是x上连续函数 证明 若对任意,存在,使。取。则当时因此。由于x与对称性,还可得。于是。这就证明了是x上连续函数11 设 x为距离空间,是x中不相交的闭集,证明存在开集使得。证明 若,则由于,为闭集,必有,使,令,类似,其中,显然是开集,且。 倘若,则必有,使。设。不妨设,则因此,此与矛盾。这就证明 了。证毕12 设 x,y,z为三个度量空间,f是x到y中的连续映射,g是y到z中的连续映射,证明复合映射是x到z中的连续映射证明 设 g是z中开集,因g是y到z中的连续映射,所以是y中开集。又f是x到y中的连续映射,故是x中 的开集。这样是x中 的开集,这就证明了g。f是x到z的连续映射。证毕13 x是度量空间,证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c,集合和集合都是闭集证明 设 f是x上连续的实函数,又对每一实数c,g=(c,)是开集,于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之,若对每个实数c,和都是闭集,则和都是开集。设g是直线上的开集,则或,其中是g的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。证毕14 证明柯西点列是有界点列。 证明 设 是x中的柯西点列。对10,存在n,使当n,m时,令则对任意有。因此 是有界点列。证毕15证明第一节中空间s,b(a),以及离散的度量空间都是完备的度量空间证明 (1)s是完备的度量空间设 是s中的柯西点列,对每一个固定的i,由于,因此对任意存在,当时,对此,存在n,m时,因此,从而。这样对固定的i,是柯西点列。设。令,故有,且对任意给定,存在,使。存在使时,。于是当时, +所以按s的距离收敛于x(2)b(a)是完备的度量空间设是b(a)中的柯西点列,任意,存在n,使当n,m时。这样对任意,。因此对固定的t, 是柯西点列。设,由于n,m时,令,得,这样,于是故x (a),且nn时,。这就证明了按b(a)中距离收敛于x(3)离散的度量空间(x,d)是完备的度量空间设是x中柯西点列,则对0,存在n,当n,m是。特别对一切nn, ,于是nn是。因此,即(x,d)是完备的度量空间。证毕17 设f是n维欧几里得空间的有界闭集,a是f到自身中的映射,并且适合下列条件:对任何,有。 证明映射a在f中存在唯一的不动点证明 定义f上的函数f(x)=d(ax,x)。由于因此f是f上的连续映射,因f是有界闭集,必有,使。我们先证明,若,则。记,则,于是此与是f的最小值矛盾。故即=若是a的另一个不动点,则,矛盾 16 证明 与c(0,1的一个子空间等距同构 证明 若 ,定义, 若,则因此t到到(0,1的子空间的一个同构映射,即到(0,1的一个子空间等距同构。18 设x为完备度量空间,a是x到x中的映射,记 若,则映射a有唯一不动点证明 因,则必有n,使。这样对任意x, x,若x,则 这样由压缩映射原理有不动点,即=。由于=a=a, a也是的不动点。的不动点是唯一的,因此= a,即是a的不动点。 若x是a的任意一个不动点,即a x= x。于是x=x= a x= x。这样x也是的不动点,由于的不动点是唯一的,因此= x。即a的不动点也是唯一的。证毕。19 设a为从完备度量空间x到x中映射,若在开球内适合 又a在闭球上连续,并且 证明:a在中有不动点。 证明 设=,。则 任给0,存在n,使,这样若且,有 因此是柯西列。设,因 因此。这样。因为a在上连续。,即是a在中的不动点。 a的不动点不一定是唯一的。例如x是离散的度量空间。a是x中的恒等映射。在开球内只有一点,自然满足条件。而,也满足。但x中每一点皆为a的不动点。证毕20 设 为一组实数,适合条件,其中当j=k时为1 ,否则为0。证明:代数方程组 对任意一组固定的,必有唯一的解,。 证明 记定义到内的映射t:tx= -ax+x+b。设x 则 由于0,存在n,当nn时有n时,若mn,则d(,),于是,我们就证明了x/y是赋范线性空间.证毕 例 3 设 是banach空间,x中点列,满足条件.求证在x中 收敛,且若记其极限为,则 . 证明 因为收敛,所以若则存在n,当mnn时,必有.于是, .因此是x中柯西列,因为x是banach空间,故存在x,使得因为因此.证毕 例 4 设是赋范线性空间x中的线性闭子空间. .由y和生成的线性子空间求证: 是x中的线性子空间 证明 设中的收敛列, .要证 首先必为c中有界列否则,存在.由,可得因此此与矛盾. 这样有界,必有,使,由,可得.于是, .证毕. 例 5 是上的连续函数,且.在上定义范数.求证是banach空间.证明 易验证: 的充要条件是f=0; ; 设 是中柯西列,对与任意的,存在n当时,这就证明了(t)在上一致收敛与f(t),且f(t)在上连续,以下证明. 对与任意的,存在n,使因为,所以存在m,当|t|使, .这就证明了. 这样,我们证明了f,且.于是, 是banach空间.证毕.翻函分析习题选讲(8)例 1 设x=c a,b,t1, ,tn 定义x上的线性泛函:若 求证f是x上的有界性泛函,求。 证明 任意x,|f(x)|=| | .所以|f| 存在,使。存在,x,使且|x|=1.这样|f(x)|=| |=,所以. |f(x)| 由此 ,我们证明了|f(x)|=|。证毕。 例题 2 设f是上的线性泛函,(的定义参见七章例题讲例5)。若f满足条件:若且任意则称f是正的线性泛函,求证:上的正的线性泛函的连续的。 证明 任意复值函数f,都可以写成iy,其中x,y是中的实值函数,|x|且|y|.而实值函数又可以x=-,其中均是中的非负函数,且同理和是非负函数,且。若存在,使任意非负函数,则必有界事实上,任意 若在中的非负函数上是无界的,则存在非负函数,由于,因此第七章例题选讲例3,收敛。对任意,是非负函数, ,因此 ,这样 ,此与 是 上定义的线性泛函矛盾,因此 必为有界的 ,证毕。例3设 是 上正的线性泛函。求证:任意 ,证明 (1)若 是 中实函数,则 ,其中,是 中非负函数,则 是实数。(2)若 是 中复函数,其中 是实函数 ,则。(3)若是 中函数,我们来证明。对任意复数,不妨设,令代入上式得因,得 证毕习题解答 1,举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性空间。解 设 是收敛到0的数列全体组成的空间。若 ,则是定义上的算子,。易验证是有界的,且设 ,则不属于 的值域。因此的值域不是闭的线性子空间。2求线性泛函的范数。解 由。设则,且。由此,。令。这样。3设无穷阵满足。作到中算子如下:若,则证明: 证明:设则若,因此 对任意,存在,使。设,其中则,且若,因此由于是任意的,故,这样我们就证明了。证毕4.设,在中定义线性算子:,其中,证明是有界线性算子,并且。证明:设。由。对任意,存在,使。设,其中若,则;而。我们可验证。由于的 任意性,得。于是。证毕5是维向量空间,在中任取一组基,是矩阵,作到中算子如下:当时,其中,若向量的范数为。证明上述算子的范数满足。证明:若,则。所以。对任意,。于是,所以。因此。证毕6设是赋范线性空间到赋范线性空间的线性算子,若的零空间是闭集,是否一定有界? 解:令,其中是上多项式函数全体,视为的子空间是到的微分算子。若,则是常值函数。显然常值函数全体是闭子集,但是非有界的。(见教材底一节例九)7 作中算子如下:当时,其中证明:是有界线性算子。 证明:若, 由holder不等式,有,因此。证毕8按范数,成赋范线性空间,问的共轭空间是什么?解 记按范数组成赋范线性空间为,按范数组成赋范线性空间为,我们来证明 。定义 到的映射。任意,其中。对任意, 于是反之,对任意。定义:对任意,则。因此是 到的映射若 ,则显然,则。若 令,则 因此 。从而。于是是从 到的同构映射。在同构的意义下。证毕9设表示极限为0 的实数列全体,按通常的加法和乘法,以及,构成空间,证明:证明:令,则,。对任意,定义。以下先证,且记,则,且,由于。因此,令,。这就证明了,且再证对任意,定义上线性泛函:若,则,因此。又因为因此,且,于是由以上证明可知。是到上的同构映射。而在同构意义下,。证毕 第十一章 线性算子的谱1 设。证明,且其中没有特征值。证明 当时,常值函数1不在的值域中,因此不是满射,这样。反之若,定义算子。则由于,且因此是c0,1中有界线性算子。易验证,所以。总之, 若,则对任意,可推得。由于,必有,所以a无特征值。证毕。2 设,证明。证明 对任意。因为常值函数1不在的值域中,因此。这样。反之,若,定义。类似第1题可证是有界线性算子,且。即。因此。证毕。3 设, 试求。解 对任意,若,定义,显然,因此的内点都是a的点谱,由于是闭集,则。对任意,显然,因此,所以。这样我们就证明了。4 设f是平面上无限有界闭集,是f的一稠密子集,在中定义算子t:则都是特征值,中每个点是t的连续谱。证明 对任意n,其中1在第n个坐标上。由题设,因此是t的特征值。又由于是闭集,所以。若,则。定义算子,若,易验证,且。因此。若,且,使。则对任意n,。由于,则,。这样x=0,因此不是特征值,而是连续谱。证毕。5 设为线性算子的特征值,则的n次根中至少有一个是算子a的特征值。证明 设是的特征值,的n次根为。存在,使,则。若,则就是a的特征值,否则必有某i,而,则是a的特征值。证毕。6 设a为banach空间x上的有界线性算子,又设为x上一列有界线性算子,且,证明当n充分大后,也以为正则点。证明 。当n充分大时,这样 是可逆的。此可逆性由本章2定理1可证,又也是可逆的。因此当n充分大后,也可逆。证毕。7 设a是为banach空间x上的有界线性算子,则当时,。证明 当时幂级数收敛,因此级数必按算子范数收敛。这就证明了,。 证毕。8 设a为x上的有界线性算子,则。其中与的意义同第7题。证明 在等式两边左乘右乘得。因此,证毕。9 设a是hilbert空间h上的有界线性算子,a*为a的共轭算子,证明证明 先证若t是hilbert空间h上的有界线性算子,若t可逆,则t*也可逆,且。事实上,对任意,。这样对任意成立,因此恒成立,进而。同理。这一证明了t*也可逆,且。现在设,则可逆,因此也可逆,从而。同理若,则,这就证明了。证毕。10 设是 到的全连续算子,是到的有界线性算子,则是到的全连续算子。证明 设 是 中有界点列。因为全连续,所以中必有收敛子列。我们记之为。又因为有界,所以也收敛,因此有收敛子列。这就证明了是全连续算子。证毕。11 设a是上线性算子,记,其中,证明a是全连续的。证明 若,定义:则是有界秩算子,且所以。由本章3定理2,a是全连续算子。证毕。12 的符号同第11题。作上算子u。证明u是上全连续算子且。证明 若,则。令,则是有
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