高三一轮复习导学案76 第13章 第05节——数学归纳法.doc

13.5数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk (kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述方法叫做数学归纳法难点正本疑点清源1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0_.2用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”，在验证n1时，左端计算所得的项为_3用数学归纳法证明：“11)”，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.5已知f(n)，则 ()af(n)中共有n项，当n2时，f(2)bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)题型一用数学归纳法证明等式例1求证：1222n2.探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)“假设nk (kn*，且kn0)时命题正确”并写出命题形式分析“nk1时”命题是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对于一切正整数n都成立？并证明你的结论题型二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：11n (nn*)探究提高(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式；作差比较法等 设数列an满足a12，an1an (n1,2，)(1)证明：an对一切正整数n都成立；(2)令bn (n1,2，)，判断bn与bn1的大小，并说明理由题型三用数学归纳法证明整除问题例3用数学归纳法证明an1(a1)2n1(nn*)能被a2a1整除探究提高证明整除问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk1时的情形，从而利用归纳假设使问题获证 求证：(3n1)7n1 (nn*)能被9整除32.归纳、猜想、证明从特殊到一般的思维能力试题：(12分)在各项为正的数列an中，数列的前n项和sn满足sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想审题视角(1)数列an的各项均为正数，且sn，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出an的通项公式an，然后再证明规范解答解(1)s1a1得a1.an0，a11， 1分 由s2a1a2，得a2a210，a21. 2分又由s3a1a2a3得a2a310，a3. 3分(2)猜想an (nn*) 5分证明：当n1时，a11，猜想成立 6分假设当nk (kn*)时猜想成立，即ak，则当nk1时，ak1sk1sk，即ak1，a2ak110，ak1.即nk1时猜想成立 11分由知，an (nn*) 12分批阅笔记(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明2利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题3利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题4利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形5利用数学归纳法可以证明几何问题失误与防范1数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题2严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础3注意nk1时命题的正确性4在进行nk1命题证明时，一定要用nk时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法课时规范训练 (时间：60分钟)a组专项基础训练题组一、选择题1如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2成立，则下列结论正确的是 ()ap(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立2某个命题与自然数n有关，若nk (kn*)时命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得 ()an6时该命题不成立 bn6时该命题成立cn4时该命题不成立 dn4时该命题成立3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nn*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1 (kn*)时的情况，只需展开 ()a(k3)3 b(k2)3c(k1)3 d(k1)3(k2)34设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(k)满足：当“f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是 ()a若f(3)9成立，则当k1，均有f(k)k2成立b若f(5)25成立，则当k5，均有f(k)k2成立c若f(7)49成立，则当k8，均有f(k) (k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_三、解答题8用数学归纳法证明： 对任意的nn*，. b组专项能力提升题组一、选择题1用数学归纳法证明不等式1 (nn*)成立，其初始值至少应取()a7 b8 c9 d102用数学归纳法证明不等式时，f(2k1)f(2k)_.三、解答题7设数列an的前n项和为sn，且方程x2anxan0有一根为sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想数列sn的通项公式，并给出严格的证明8(2010江苏)已知abc的三边长是有理数(1)求证：cos a是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos na是有理数答案基础自测132.1aa23.2k4.5.d题型分类深度剖析例1证明(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，等式成立；(2)假设nk (kn*)时，等式成立， 即1222k2，则当nk1时，1222k2(k1)2(k1)2所以当nk1时，等式仍然成立由(1)、(2)可知，对于nn*等式恒成立变式训练1解假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc) 令n2，得22(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，对于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)式成立下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，(*)式都成立(1)当n1时，由上述知，(*)式成立(2)假设nk (kn*)时，(*)式成立， 即122232k(k1)2(3k211k10)，那么当nk1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，当nk1时，(*)式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立例2证明(1)当n1时，左边1，右边1，1，即命题成立(2)假设当nk (kn*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1. 又1，不等式成立假设当nk (kn*)时，ak成立那么当nk1时，a2k1a2k22k32(k1)1.当nk1时，ak1成立综上，an对一切正整数n都成立方法二当n1时，a12，结论成立假设当nk (kn*)时结论成立，即ak.那么当nk1时，由函数f(x)x (x1)的单调递增性和归纳假设，知ak1ak.当nk1时，结论成立an对一切正整数n均成立(2)解1.故bn1bn.例3证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假设nk (kn*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1时命题也成立，由(1)(2)知，对任意nn*原命题成立变式训练3证明(1)当n1时，(3n1)7n127，能被9整除(2)假设nk (kn*)时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，那么当nk1时：3(k1)17k11(3k1)3(16)7k1(3k1)7k1(3k1)67k217k(3k1)7k13k67k(621)7k.由归纳假设知，以上三项均能被9整除则由(1)、(2)可知，命题对任意nn*都成立课时规范训练a组1b2.c3.a4.d5f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2 6an7. 2k18证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk (kn*)时等式成立，即有 ，则当nk1时， ，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nn*等式都成立b组1b2.c3.b4.(5,7) 5(k21)(k22)(k23)(k1)26. (kn*)7解(1)当n1时，x2a1xa10有一根为s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10， 解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为s21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(sn1)2an(sn1)an0，即s2sn1ansn0.当n2时，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10. 由(1)得s1a1，s2a1a2.由可得s3.由此猜想sn，n1,2,3，.下面用数学归纳法证明这个结论()n1时已知结论成立()假设nk (kn*)时结论成立，即sk，当nk1时，由得sk1，即sk1，故nk1时结论也成立综上，由()、()可知sn对所有正整数n都成立8证明(1)由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知cos a是有理数(2)用数学归纳法证明cos na和sin asin na都是有理数当n1时，由(1)知cos a是有理数，从而有sin asin a1cos2a也是有理数假设当nk(kn*)时，cos ka和sin asin ka都是有理数当nk1时，由cos(k1)acos acos kasin asin ka，sin asin (k1)asin a(sin acos kacos asin ka)(sin asin a)cos ka(sin asin ka)cos a，由和归纳假设，知cos (k1)a与sin asin(k1)a都是有理数，即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cos na是有理数. 我的大学爱情观目录：1、 大学概念2、 分析爱情健康观3、 爱情观要三思4、 大学需要对爱情要认识和理解5、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的