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内蒙古民族大学本科生毕业论文编号：本 科 毕 业 论 文题 目：空间解析几何与向量代数学 院：数学学院 专 业：信息与计算科学 年级：2008级本科(蒙班) 姓 名：苏日塔拉图 指导教师：尹红萍 完成日期：2012年5月2日 空间解析几何与向量代数苏日塔拉图（数学学院信息与计算科学专业2008级蒙班）指导老师:尹红萍摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的几种加减诚法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。关键词：向量；向量代数；空间解析几何第一部分:向量代数第一节：向量一 向量的概念：向量：既有大小,，又有方向的量称为向量（又称矢量）。表示法：有向线段或a。 向量的模：向量的大小,记作|。向径 (矢径)：起点为原点的向量。自由向量：与起点无关的向量。单位向量：模为 1 的向量。零向量：模为 0 的向量，记作或0。m1m2图1：向量若向量 与 大小相等，方向相同，则称 与 相等，记作=；若向量 与 方向相同或相反，则称 a 与 b 平行, 记作/；规定: 零向量与任何向量平行 ;与 的模相同, 但方向相反的向量称为 的负向量, 记作;因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 。若 k 3个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面。二、向量的线性运算1. 向量的加法平行四边形法则:+ 图片2三角形法则:+图片3运算规律 : 交换律 +=+结合律: (+)+=+(+)三角形法则可推广到多个向量相加 。2. 向量的减法-=+ (-)图片4特别当=时，有-=(-)=;三角不等式:|+|+|;|-|+|;3. 向量与数的乘法 是一个数，与 的乘积是一个新向量，记作。规定 ：0时，与同向，|=|；0时，与反向，|=|；=0时，=；总之: |=|二 向量的模、方向角1. 向量的模与两点间的距离公式设 =(x，y，z)，作=，则有=+orpqxyz图片5由勾股定理得:|=|om|=|op|2+|oq|2+|or|2=x2+y2+z2ab图片6对两点a(x1，y1，z1)与b(x2，y2，z2) 因 =-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)得两点间的距离公式:|ab|=|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2第二节：数量积 向量积 一 两向量的数量积引例: 设一物体在常力 f 作用下，沿与力夹角为的直线移动，位移为 ，则力所做的功为w=|cos1. 定义：设向量，的夹角为，称|cos=为与的数量积(点积)。2.性质：(1) =|2(2) ，为两个非零向量则有 =0 3.运算符：(1) 交换律 =(2) 结合律 (，为实数)()=()=()()()=()=()(3) 分配律 (+)=+二、两向量的向量积引例. 设o 为杠杆l 的支点，有一个与杠杆夹角为的力 作用在杠杆的 p点上，则力 作用在杠杆上的力矩是一个向量 ：| |=|oq|=|sin 符合右手规则p1. 定义设，的夹角为，定义向量方向：，且符合左手规则模：=sin 称为向量与的向量积，记作：=2. 性质(1) =(2) ，为非零向量，则= /证明：当，时，= sin=0 (3) sin =0，即=0或 /3. 运算律(1) =- (2) 分配律(+)=+(3) 结合律()=()=()第二部分:空间解析几何第一节： 空间直线与平面的方程 1.空间平面一般式：ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c20)；点法式:a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0截距式:xa+yb+zc=1三点式 |x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1|=02.空间直线一般式：a1x+b1y+c1z+d1=0a2x+b2y+c2z+d2=0对称式:x-x0m=y-y0n=z-z0p参数式:x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt (x0，y0，z0)为直线上一点；=(m，n，p)为直线的方向向量。3.线面之间的相互关系a面与面的关系平面1：a1x+b1y+c1z+d1=0， =(a1，b1，c1)；平面2：a2x+b2y+c2z+d2=0, =(a2，b2，c2)；垂直：=0 a1a2+b1b2+c1c2=0；平行：= a1a2=b1b2=c1c2 ；夹角公式：cos=|b.线与线的关系直线 l1：x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1 =(m1，n1，p1)；直线 l1：x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2 =(m2，n2，p2)；垂直：=0 m1m2+n1n2+p1p2=0；平行：= m1m2=n1n2=p1p2夹角公式：cos=|c.面与线之间的关系平面：ax+by+cz+d=0，=(a，b，c)；直线：x-xm=y-yn=z-zp, =(m，n，p)；垂直：=0 ma=nb=pc； 平行：= ma+nb+pc=0；夹角公式：sin=|第二节： 实例分析例1.求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线平行,且过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 所求直线的方向向量可取为:s=10-42-1-5 =(-4，-3，-1)利用点向式可的方程x+34=y-23=z-51；例2求直线x-21=y-31=z-42 与平面2x+y+z-6=0的交点。化直线方程为参数方程x=2+ty=3+tz=4+2t 代入平面方程得 t=-1, 从而确定交点为(1,2,2)。参考文献1 王作相:关于空间解析几何教材的现代化;贵州师范大学学报;1989年02期2 黄振华:浅谈向量与空间解析几何;湖北师范学院学报(自然科学版) 2007年04期3 南开大学几何教研室编，空间解析几何引论，南开大学出版社，1992年第1版4 郭健等编，解析几何方法与应用，天津科学技术出版社，1998年第1版。space analytic geometry and vector algebraabstract：in-depth understanding of space analytic geometry and vector algebra concept, one about their differences and use. several kinds of vector addition and subtraction met