人教版高中数学课件：函数的单调性.ppt

为了预测2010年上海世博会开幕式当天的天气情况，数学兴趣 小组研究了2004年到2009年每年这一天的天气情况，下图是预 测的上海市明年5月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. t（ h ） 20 21 23 25 26 27 29 t（ ） 22 24 28 0 1 2 3 45 6 78 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 问题1 怎样描述气温随时间的增大而变化的情况呢？ 问题2 怎样用数学语言（从函数的角度）来描述从4点到14 点时段内，“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征呢？ 问题3 在区间4，16上，气温值是否随时间增大而增大？ t1t2 f(t2) 创设情境，引入课题 1 x y o x 观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？ 0 y 1 1 2 4 -1-2 -1 学习新课 1 (-,0上当x增大时f(x)随着减小 x y o -1 x o y 1 1 2 4 -1-2 1 当x增大时f(x)随着增大 函数在r上是上升的 函数在(-,0上是下降的 (0,+)上当x增大时f(x)随着增大 函数在(0,+)上是上升的 1 问题4：能否根据自己的理解，说说什 么是增函数，减函数呢？ 如果函数在某个区间上随自变量x的增大， 函数值y越来越大，我们说函数在该区间上 为增函数；如果函数在某个区间上随自变量 x的增大，函数值y越来越小，我们说函数 在该区间上为减函数。 问题5：如何根据函数的解析式 ，用数学语言从“数”的角度来 说明函数 f(x)=x 2 2 在(0,+) 为增 函数呢？ 则f(x1)= , f(x2)= x12 x22 函数 f(x)=x 2 2 在(0,+)上是增函数. 任意 ,都有 任意 ,都有 x 0 x1x2 y f (x1) f (x2) 在(0,+)上任取 x1、x2 , 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是增函数. 定义一般地，设函数 f(x)的定义域为i: 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是减函数. 某个区间d 某个区间d 任意 任意 xo y y=f(x) x1x2 f(x2) f(x1) xo y x1x2 f(x1) f(x2) y=f(x) x1、x2的三大特征：属于同一区间 任意性 有大小: 通常规定 x1x2 问题6：请类比描述单调减函数的定义？ 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是增函数. 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为i: 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是减函数. 如果函数y=f(x)在区间d上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，区间d叫做函数f(x)的单调区间. xo y x1x2 f(x1) f(x2) y=f(x) xo y y=f(x) x1x2 f(x2) f(x1) （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （1）如果函数 y =f(x)在区间i是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间i上具有单调性。 判断：定义在r上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)， 则函数 f (x)在r上是增函数； （3） x 1, x 2 取值的任意性 y xo 12 f(1) f(2) 在(-,0)上是_函数 在(0,+)上是_函数 减 减 问:能否说 在(-,0)(0,+)上是减函数? 反比例函数 ： -2 y o x -1 1 -1 12 y o x -1 1 -1 1 取自变量1 1， 而 f(1) f(1) 不能说 在(-,0)(0,+)上是减函数 说明： 函数在定义域内的两个区间a,b上都是增（或减 ）函数，一般不能认为函数在ab上是增（或减）函数 解:函数y=f(x)的单调区间有5,2）,2,1) ，1，3), 3，5. 逗号 隔开 例1. 如图是定义在闭区间5,5上的函数 y = f(x) 的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一 单调区间上, 函数是增函数还是减函数？ 其中y=f(x)在区间2，1)，3，5上是增函数； 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可. 在区间5，2），1，3)上是减函数. -4 3 2 1 54312 -1 -2 -1 -5 -3 -2 x y o 证明函数 在r上是减函数. 即 例2.利用定义： 证明：设 是r上任意两个值，且 ， 函数在r上是减函数 则 骤 取值 作差变形 判断差符号 下结论 4.下结论:由定义得出函数的单调性. 1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1 x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 证明函数单调性的步骤： 结 课堂练习 证明函数 (k为负的常数) 在区间（0,+）上是增函数. 结 证明函数 在区间(0,+)上是增函数 证:设 是(0,+)上任意两个值且 即 在区间(0,+)上是增函数 取值 作差变形 判断差符号 下结论 且 课堂小结 1.增函数、减函数的定义 : 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是增函数. 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为i: 如果对于定义域i内某个区间d上的 任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间d上是减函数. xo y y=f(x) x1x2 f(x2) f(x1) xo y x1x2 f(x1) f(x2) y=f(x) 3.