轴测圆柱_圆锥截切体截交线的简便求法.docx

轴测圆柱、圆锥截切体截交线的简便求法广强(包头铁路工程学校, 内蒙古 包头 014040)摘要: 本文主要介绍了轴测圆柱、圆锥截切体截交线的简便求法, 具体介绍了各种位置截平面截切圆柱、圆锥立体时所产生的不同截交线的详细作图过程, 指出了此法的实用性。关键词: 简便求法; 截交线; 圆柱; 圆锥文章编号: 10076921 (2003) 03009203中图分类号: o 185. 2文献标识码: a在画法几何中, 求解圆柱、圆锥截切体截交线时, 至少要通过两个以上的视图相互投影才能求得 截交线, 而在画轴测立体图时, 视图的三个方向是集中在一起表示的, 所以, 它就可以直接将原来需经过 两至三个视图互相投影作图的方法, 集中放在轴测 立体图上进行。由于立体图比较直观, 易于理解和掌 握, 作图又比平面投影法方便, 故有实用价值。 本文介绍一种利用辅助面求解的简便方法。1 圆柱的截交线圆柱截切体随着截交位置的不同, 所得截交线 形状也不同。 当截平面与轴线平行时, 截交线为矩 形; 当截平面与轴线垂直时, 截交线为圆; 当截平面与轴线倾斜时, 截交线为一椭圆。 在实际应用中, 正 圆柱应用最广, 下面只分析用辅助平面法求作正圆柱截交线椭圆的简便方法。 椭圆的标准方程为: x 2 a2 + y2 b 2 = 1, 其投影为一封闭的二次曲线, 一般 情况下仍为一椭圆, 只有当长、短轴 a = b 时, 投影为一圆。111 圆柱被一特殊平面截切如图 1, 圆柱被一与轴线倾斜的正垂面截切, 求 作截切体的轴测图。若用习惯求法, 必须结合三个视图才能求出, 比较麻烦; 现采用铅垂面辅助法求解,就可将原来需要通过三个视图才能求出截交线投影 点的过程放在一个轴测立体图上进行, 比较简单, 也易于掌握。 具体作图方法为:11111 在圆柱轴测立体图中 x 1 轴与圆柱底面交 点 c、d 处向上作垂线并量取与正面投影对应的高 度 z1 和 z2, 得到点 b 和点 a , 连接各点组成一铅垂 面 a bcd (辅助面)。作垂直线至铅垂面的斜线 a b 上, 得出各交点。11114再从 a b 线上所求得的各交点作与 y 1 轴平行的水平线。11115 将圆柱底圆与平行线的各交点向上作垂直 线, 与所作的水平线相交得各交点, 连接各交点即得 圆柱立体的截交线, 如图 1 (a )。图 1图 1 (a )综上所述, 这种作图方法实际上是采用了与圆柱轴线平行的一组平行面截切圆柱, 截交线为矩形,再求矩形截交线与圆柱斜截面产生的交点, 这种方 法形象、直观、作图简便、便于理解, 且只需一个投影 图就能画出。112 圆柱被一般位置平面截切如图 2 为一般位置平面 p 截切正圆柱, 其截交 线的求法及作图方法: 选用平行于圆柱轴线的正平面为辅助面。11211 作过圆柱轴线的正平面 r , r 与圆柱底边 交于 a、b 两点, 在 h 面与 p 面交于 i 点。11212r 面与圆柱的交线为过 a、b 的两条铅垂线;r 面 p 面的交线为过 i 点的正平线, 此正平线与过a、b 的两铅垂线的交点 a 、b , 即为截交线上的两个 点。11112在 x 1 轴上圆柱底面直径内作一定数量与11213同理, 过 c、d、e、f (e、f 为轴测轮廓线和底圆y 1 轴平行的平行线, 相交于圆柱底面的圆弧线。11113从各平行线与底面直径 (x 1 轴上) 交点向上的切点) 作辅助面 s、t、u 、v , 分别求出截交线上的测投影。广强 轴测圆柱、圆锥截切体截交线的简便求法2003 年第 3 期93点 c、d、e、f、g、h , 光滑连接各点即为截交线的轴面 a bcd 中 a b 线交于一点。21115过此点作与等腰三角形底边平行的平行线,与等腰三角形两斜边相交于两点, 所得两交点即为 截交点。21116同法再作多个过锥顶的相同截平面, 求得各点, 连接后即为截交线, 如图 3 (a )。图 22圆锥的截交线由于正圆锥在实际工程中应用最广, 所以我们 只分析正圆锥截交线的求法。 由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同, 其截交线有五种不同形状。当截平面过锥顶时, 截交线为等腰三角形; 当截平面与轴 线垂直时, 截交线为圆; 当截平面倾斜于轴线时, 截交线为一椭圆; 当截平面与一条素线平行时, 截交线 为抛物线; 当截平面与轴线 (或两条素线) 平行时, 截交线为双曲线。圆锥截交线为等腰三角形或圆时, 其截交线可 直接做出; 若截交线为椭圆、抛物线、双曲线时, 用以 前在三面视图中找点的方法作图就比较麻烦, 若用 辅助面法作图就简便得多。 现介绍后三种的作图方 法。圆锥体表面求点的作图方法有两种: 一种为素 线法 (即等腰三角形法) ; 一种为纬圆法。在圆锥轴测 图中, 与轴线垂直的截面圆变成了椭圆, 作图较麻 烦, 不介绍纬圆法; 素线法图线为等腰三角形, 作图 简单, 故采用此作图方法。211截交线为椭圆时图 3212截交线为双曲线时图 3 (a )其标准方程为 x 2 a2 - y2 b 2 =1, 由此可知, 双曲线是有心的对称曲线, a 为实半轴, b 为虚半轴; 当a = b 时, 为等边双曲线。由标准方程可知, 双曲线为 无界的曲线, 它有两条渐近线, 其方程为: y = (b a ) x。 双曲线的平行投影保持两个渐近线方向, 所以 双曲线的投影仍是双曲线, 渐近线的投影仍为投影双曲线的渐近线。 特殊情况下其投影为一等边双曲线。 具体作图步骤为: 如图 4。21211 在轴测图最左素线上按定比分点找好点 a , 在低面圆上找出bc 线的中点d 点; 连接 sa d e (se 为最右素线) , 得辅助面。21212 作底边 ( 在被截切部分) 与 bc 平行的过锥 顶的等腰三角形, 连中线, 与 a d 交于一点。21213 过此点作 bc 的平行线交等腰三角形两腰 于两点, 此两点即为截交点。21214 依次用此法多求几个交点, 连接后即为所求, 如图 4 (a )。椭圆的标准方程为 x 2 a2 +y2 b 2 =1, 说明椭圆是具有长、短轴的有心对称曲线。椭圆的投影为一封闭的二次曲线, 一般情况下, 仍为一椭圆; 当长、短 轴相等时, 为一个圆。如图 3 , 为圆锥被一与轴线倾 斜的正垂面截切, 求作截切体的轴测图。具体作图步骤如下:21111 先作圆锥轴测图。21112 在轴测图上找出 a 、b、c、d 四点并连成一 平面 (a 点和 b 点用定比分点做出) , 即做出斜切圆 锥截面的中垂面 (辅助面)。21113 过锥顶作底边与辅助面 a bcd 中 cd 边垂 直的截平面, 得截交线为等腰三角形。21114 画出等腰三角形中心线, 与圆锥截面的中垂图 4图 4 (a )内蒙古科技与经济942003 年第 3 期213截交线为抛物线时标准方程为 y2 = 2p x。由此可知, 抛物线是无心 的二次曲线, 它只有一条对称线。抛物线的平行投影也是无心的二次曲线, 即仍为抛物线。具体作图步骤 为:21311作圆锥的轴测图。探讨。21312与视图对应找准 a 、b、c、d、e 各点, 连接a d e , 为辅助面。21313作底边与 bc 平行的过锥顶的等腰三角形,找中线与 a d 交于一点。21314 过此交点作 bc 的平行线与等腰三角形的 两腰各交于一点, 此两点即为截交点。21315 依此方法多求几个点, 连接后即为所求。 如图 5 (a )。 利用辅助面法求解轴测圆柱、圆锥截切体的截交线是一种简便的作图方法, 利用此种方法求作平 面截切体截交线更为简单, 在此不作赘述。此法在教 学和应用中有一定的实用价值。 因为工程上许多物 体的一些表面轮廓线形状是由原来完整的曲面被平 面所截交而形成的, 在表达这些物体的结构形状时,必须把这些交线表达清楚。在实际应用过程中, 具体 到是否还会有更简便的求解方法, 还有待于进一步图 5图 5 (a )参考文献1 画法几何 1 中国铁道出版社, 19862 工程制图 1 中国铁道出版社, 19953 机械图样快速绘图法 1 上海科学技术出版社,19884 钱可强、朱辉等编著 1 高等画法几何学 1 上海 科学技术出版社收稿日期: 2002 年 11 月 26 日(上接第 88 页)方法进行了施工方便性、施工311 采用碾压混凝土材料的有关参数和路面板的有关指标, 对碾压混凝土路面板的混缩应力、温度翘 曲应力、干缩应力及荷载应力进行了计算, 并结合试 验路的观测结果, 研究提出了全厚式碾压混凝土路面缩缝间距的建议值为 6m 8m 。312 在不破坏摊铺机结构的情况下, 研制出纵缝拉 杆设置装置, 解决了全厚式碾压混凝土路面无法设置拉杆的世界性难题。应用上述接缝设计和施工技术, 基本上可解决 碾压混凝土路面的接缝问题。4 其他配套技术除上述关键技术外, 在碾压混凝土材料试验方 法、配合比设计方法、材料物理力学性能、外加剂和 粉煤灰应用技术、施工质量检测等方面也已形成了 一系列配套技术。从以上分析可以看出, 我国已具备发展碾压混 凝土路面的施工技术条件。可以预料, 在我国高等级公路迅速发展、优质路用沥青匮乏、水泥资源丰富的形势下, 碾压混凝土路面施工成套技术作为修筑水 泥混凝土路面的一种新的技术途径, 将具有良好的 推广应用前景。收稿日期: 2002 年 7 月 20 日经济性的比较, 并对各种抗滑处理方法路面抗滑能力的衰变规律进行了观测。结果表明, 采用缓凝裸露 法和硬性刻槽法可使竣工时路面构造深度达到规定 满足要求。 课题组在对表面构造修筑工艺和解决微观构造的技术措施深入研究的基础上提出了碾压混凝土路面的抗滑处理原则:211 对于高速公路和一级公路, 应采用缓凝裸露法 或硬性刻槽法进行表面处理, 以形成要求的路表宏 观构造。 当粗集料抗磨光能力达不到现行规范要求 时, 需做抗滑表层 (一次摊铺碾压成型)。212 对于其他等级的公路,