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用 mathematica李(怀化学院 数学系 ,绘制几何图形敏湖南 怀化 418008)摘 要 : 介绍了 mathematica 在几种几何图形绘制中的应用 , 提出了获得空间旋转曲面的参数方程的一般方法 ,并给出了用 mathematica 绘制空间旋转曲面的实例的源代码.关键词 : 图形 ;绘制 ;螺旋曲面 ;莫比乌斯带 ;旋转曲面 ;mathematica中图分类号 : tp391172文章编号 : 1671 - 9743 (2007) 05 - 0043 - 04文献标识码 : a1 引言mathematica 软件具有强大的图形处理功能 ,并具有很强的符号运算和数值计算功能 ,而操作却非常简单 ,只需使用它的一些内部命令 (mathematica 系统称之为函数) ,就可以画出复杂的函数图像 (几何图形) ,而运用它 的图形程序设计功能 ,则可解决许多复杂的绘图问题 ,用它辅助教学或科研都十分有意义 12 mathematica 的基本绘图命令及其功能用 mathematica 基本作图的命令可以作出一元 、二元函数的图像 ,也可以作出平面和空间的一些基本的曲 线和曲面 (如 :圆 、椭圆 、螺旋线 、渐开线 、摆线 、球面 、椭球面 、抛物面等) ,这些图形和绘制它们的基本命令 ( 如、plot3d、parametricplot、parametricplot3d) 人们都比较了解 ,这里不作过多的阐述 ,只通过几个示例介plot绍其用法与功能1( p281 - 366) 1211绘制平面曲线简单的函数 (或方程) 的图像 (如 :圆的摆线 、渐开线 、初等函数的图像等) 人们比较熟悉 ,但是对于一些复杂 的函数 (或方 程) , 要 精 确 地 作 出 它 们 图 像 , 用 手 工 的 方 法 可 能 无 法 实 现 , 那 就 得 运 用 相 关 的 计 算 机 软 件 , mathematica 软件在这方面的功能非常强大 1( s - 2) kk2 ( p246 - 247)示例 1 取不同的参数观察 weierwtracs 函数 : f ( x)分析与求解 : weierwtracs 函数处处 连 续 但 处处不可导 ,曾被称为“数学怪物”, weierwtracs 函数有两个参数 r 和 s ,取函数项级数的部分80rsin ( r x) ,1 1=s 1 的图像k = 1( s - 2) kk和函数 : rsin ( r x) 作为 f ( x) 的近似k = 1函数 , 以观察其图像的大致形状 , 为了观 察 不同的参数对函数图像的影响 ,将几个图像进行 对比以体现效果 ,mathematica 源代码为 :gr ,s : = sumr( ( s - 2) k) sin rk x , k ,1 ,80 ;图 1weitu r ,s : = plot gr ,s ,x , - 2 ,2 ;showweitu 1 12 ,115 ;showweitu 2 12 ,112运行后可得图 11示例 2绘制曲线 : = sin2 t + 2cos6 t , t 0 2 及曲线族 :=6 内的整数 15 sin5 t + ncos t ,其中 : t 0 2, n 为 - 6 ,3收稿日期 : 2007 - 03 - 05作者简介 : 李 敏 (1980 - ) , 男 , 湖南湘潭人 , 怀化学院助教 , 主要研究数学建模教学和数学软件应用 .分析与求解 : = sin2 t + 2cos6 t , t 0 2 为极坐标方程 ,需调用 graphics 文件包 ,与表函数 table结合使用 ,即可绘制曲线族 ,其 mathematica 源代码为 :graphics graphics ;polarplot sin 2t + 2cos6t ,t ,0 ,2pi ;table polarplot 3 2 sin 5t + n cost ,t ,0 ,pi , n , - 6 ,6 ,2 ;运行分别得一像花和蝴蝶的图形图 21212绘制空间曲面示例 3螺旋曲面和莫比乌斯带分析与求解 :螺旋曲面的形成过程比较简单 ,假设一直线段始终垂直于 z 轴 ,它 的中点置于直角坐标系的 z 轴上 ,直线段中点绕 z 轴匀速上升 ,同时线段绕 z 轴匀速 旋转 ,则直线段在移动过程中扫过的空间部分即为螺旋曲面 ,用 mathematica 绘制它的源代码为 :3 ,t , - pi2 ,pi ,r , - 1 ,1parametricplot3drcost ,rsin t ,t运行可得如图 3 左边所示图形 1图 2试想 ,如果直线段中点是位于单位圆周上 ,中点沿圆周运动一周时线段恰好绕圆周转过角度 ,则直线段扫过的空间的部分即为我们熟悉的莫比乌斯带 . 用 mathematica 绘制它的命令为 : parametricplot3d - sin t 2 sin t 2 ,sin t2 cost 2 ,cost2 + 4cost ,4sin t ,0 ,t ,0 ,2pi , s , - 1 . 5 ,1 . 5运行命令可得其图形 ,如图 3 右所示 1 从这里我们 也可知莫比乌斯带的一个参数方程为 :x = - s sin2 ( t2) + 4cos t ,y = s sin ( t2) cos ( t2) + 4sin t ,z = s cos ( t2)其中 : - 115 s 115 ,0 t 213 用 mathematica 做图形程序设计图 3对于一些复杂的图形 ( 或者一些实际问题的图形模拟) ,我们可能无法用 mathetica 的基本命令来实现 ,这就必须编写 mathematica 程序来解决这些问题 1311空间中的旋转面旋转曲面是我们所熟悉的 ,对于 xoz 平面中的曲线绕 x 轴和 z 轴旋转所得的旋转面我们可以很快得出它的 方程 ,进而画出它们的图形 ,如果一条空间曲线绕一条空间直线旋转一周 ,所得的旋转面的参数方程如何求呢 ?如何用 mathematica 作出它们的图形呢 ?定理 1 : xoz 平面上的曲线 c : z = f ( x) , a x b 分别绕 x 轴 、z 轴旋转一周所得的旋转曲面的参数方程x = r分别为 : y = f ( r) cos t 和z = f ( r) sin tx = r cos ty = r sin t ,其中 :0 t 2, a r b1z = f ( r)证明 :依解析几何相关知识即知它显然成立3( p149 - 150) 1 x - x0 y - y0 z - z0定理 2 : xoz 平面曲线 c : z = f ( x) , a x b 绕空间直线 l :x0=旋转一周所得的mnsr co sx旋转曲面的参数方程为 : y = a t r sin,其中 r 和 z均可以由参数和 t 表示 1+y0zzz0证明 :假设原右手直角坐标系由标架 o ; i , j , k 决定 ,同时建立由标架 o; i, j, k 决定的新的右手直 ( m , n , s) 角坐标系 ,为简单起见取点 ( x0 , y0 , z0 ) 作为新坐标的原点 o,取单位向量 k=作为对应于竖轴| ( m , n , s) |mx + ny + sz = 0z = 0的方向向量 i= (co s,sin,0) 作为对应于坐标轴 x的单位向z上的单位向量 ,取直线 :量 ,其中 = arc cot ( - m ) ,于是取 j= ki作为对应于坐标轴 y的单位向量 ,矩阵 a = ( i, j, k) t 即为n( p267 - 275)旋转变换的转轴矩阵3x = t的参数方程为 y = 0,显然 , a 为正交矩阵 ,有 : a t = a - 1 ,在原坐标系中曲线 c : z = f ( x) , a x bxy zt=0, a t b ,由坐标变换公式 ,在新坐标系中的参数f ( t), ab ,记为 :tz = f ( t)t -x0y0-x方程记为 : y = a 0 -, a t b ,曲线 c : z = f ( x) , a x b 在新坐标系中绕 z轴旋转而成的f ( t)x曲面的参数方程为 : y =zzz0r co sr sin ,其中 r =zx( x) 2 + ( y) 2 ,0 2, a t b ,于是曲线 c 绕直线x0r co sl 旋转一周所得的曲面的参数方程为 : y = a t r sin,其中 r 和 z均可以由参数和 t 表示 . 得+y0zzz0证 1示例 4分别作出 xoz 平面上的曲线 c : z = sin x + 2 分别绕 z 轴 、x 轴和直线 l : x -1y - 2= z + 1 旋转一周所得的旋转面 1=112分析与求解 :曲线 c : z = sin x + 2 绕 z 轴和 x 轴旋转而成的曲面可以直接用 mathematica 基本命令绘制 ,为便于观察 ,取 a = 0 , b = 4,旋转的角度 取值为从 0 到 53 , mathematica 源代码如下 :a = parametricplot3dt coss ,t sin s ,sin t + 2 ,t ,0 ,4pi , s ,0 ,5pi3 ;b = parametricplot3dt , ( sin t + 2) coss ,( sin t + 2) sin s ,t ,0 ,4pi , s ,pi ,pi + 5pi3 ; showa ; showb运行可得图形如图 41曲线 c : z = sin x + 2 绕直线 l : x -1 = y - 2 =z + 1 旋转时 ,以 o(1 ,1122 , - 1) 为新直角坐标系的原点 ,取 i=2 , -2 ,0) , j=3 ,3 , -3 ,(22333图 4ij =k6 ,6 ,6 ) , 故 构 成 新 坐 标 系 的 标 架 , 转 轴 矩 阵 为 : dk=(=663 2 2-02 32xy =z 33, 在 新 坐 标 系 中 , 曲 线c 有 参 数 方 程 为-3 63 63 666123t -d 0 -,将它绕新坐标系的 z轴旋转一周得一曲面 ,再将坐标还原到旧坐标系即得所需图形 ,为了便于观sin t + 3察 ,我这里取 t 的范围为 : - 2 t 2, mathematica 源代码如下 :d = 2 , - 2 ,0 ,3 , 3 ,3 ,6 , 6 ,6 ;22333663zt : = module a ,b1 ,b2 ,b3 ,b ,a = d. t - 1 ,0 - 2 ,sin t + 3 ;b1 = cosu( (a 1b2 = sin u( (a 1) 2 + (a 2) 2 + (a 2) 2) (12) ;) 2) (12) ;b3 = a 3 ; b = b1 ,b2 ,b3 ; b ;parametricplot3dtranspose d1z t + 1 ,1 , - 1 , u ,0 ,2pi , t , - 3pi ,5pi上面的程序运行结果如图 5 所示 1事实上 ,对于空间中的参数方程已知的曲线绕一定直线旋转所得的旋x = co s t sin t转面也可以用以上的方法得出 ,例如 : 绘制空间的曲线y = co s tz = sin t0 t图 5 x - 2 y - 3 z - 1 2(如图 6 左所示) 及该曲线绕直线面和图形源代码如下 :=旋转所得的曲112d = 2 , - 2 ,0 ,3 , 3 ,3 ,6 , 6 ,6 ;22333663zt : = module a ,b1 ,b2 ,b3 ,b ,a = d. cost sin t - 2 ,cost - 3 ,sin t - 1 ;b1 = cosu( (a 1) 2 + (a 2b2 = sin u( (a 1) 2 + (a 2 b3 = a 3 ;b = b1 ,b2 ,b3 ; b ;) 2) (12) ;) 2) (12) ;parametricplot3dtranspose d . z t + 2 ,3 ,1 , u ,0 ,53 pi ,t , - pi ,pi ;parametricplot3dcost sin t ,cost ,sin t ,t ,0 ,2pi运行结果为如图 6 右边所示图形 .图 6mathematica 的图形处理功能非常强大 ,这里介绍了它的基本命令的功能和编写程序的一些技巧 ,并介绍了空间曲线生成的旋转面的一般绘制方法 ,这些对一些学生学习几何知识和对一些实践问题的解决都十分有帮 助 1 做图形程序设计时 , 可能会遇到一些有关矩阵的运算 , 如果用 c 语言来实现 , 可能会有一定的难度 , 而 mathematica 有非常 强 的 矩 阵 运 算 功 能 , 能 给 我 们 带 来 很 多 的 计 算 上 的 方 便 , 提 高 了 程 序 的 效 率 , 当 然mathematica 的画图功能还远不只这些 ,它给我们带来的便捷在以后的学习和科研中将进一步得到体现.参考文献 :1 wolfram ,s 著 . mathematica 全书 m . 赫孝良 ,周仓义译 . 西安
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