毕业设计（论文）-基于MATLAB的IIR_DF的设计及应用.docx

摘 要数字滤波器是数字信号处理中的重要组成部分，它的作用是可以从复杂的信号中提取所需要的信号，抑制不需要的信号。它在通信、系统控制、电力系统、故障检测、语音、图像、自动化仪器、航空航天、铁路、生物医学工程、雷达、声纳、遥感遥测等领域里已有广泛应用。数字滤波器分为经典滤波器和现代滤波器两大类型。经典滤波器又分为有限长脉冲响应数字滤波器（fir）和无限长脉冲响应数字滤波器（iir）。本论文主要论述的是iir数字滤波器，首先介绍它的原理及设计方法（直接法和间接法），然后在matlab环境下编程实现。间接法设计iir数字滤波器就是用数字滤波器的频率特性去模仿模拟滤波器的频率特性。模拟低通滤波器的逼近函数有巴特沃斯型、切比雪夫型、椭圆型，映射方法有冲击响应不变法、双线性变换法等。直接法将采用最小二乘法。关键词：iir数字滤波器；模拟滤波器；最小二乘法abstractdigital filter is an important part in digital signal processing. it extracts required signals from complex signals and suppresses unwanted signals. it has been widely used in fields of communication, system control, power system, fault detection, audio, video, automation equipments, aerospace, railway, biomedical engineering, radar, sonar, and remote sensing, etc.digital filter is divided into two types, classic filter and modern filter. classic filter is also divided into finite impulse response digital filter and infinite impulse response digital filter. this thesis primarily dissertates about infinite impulse response digital filter, firstly introducing its principle and design methods (direct method and indirect method), then realizing it by programming under matlab.indirect design method is to simulate frequency characteristics of analog filters by that of digital filters. approximating functions of analog low-pass filters include butterworth-type, chebyshev-type and elliptic type when mapping methods contain the same impulse response method, bilinear transformation method and so on. direct design method of infinite impulse response digital filter adopts least square method.keywords:infinite impulse response digital filters; the bilinear transformation method; least square method目 录1 绪论11.1 概述11.2 背景、国内外发展和意义11.3 本论文主要研究内容32 iir数字滤波器的设计原理及方法42.1 iir数字滤波器的特点42.2 利用间接法设计iir数字滤波器52.2.1 设计原理52.2.2 模拟低通滤波器的逼近62.2.3 映射方法162.2.4 频率转换252.3 利用直接法设计iir数字滤波器283 在matlab环境下实现iir数字滤波器293.1 malab软件在数字信号处理中的应用简介293.2 巴特沃斯滤波器设计303.3 切比雪夫型滤波器设计313.4 切比雪夫型滤波器设计333.5 椭圆滤波器设计354 iir数字滤波器的应用384.1 汽车超载检测384.1.1 信号的仿真394.1.2 对信号进行滤波处理394.1.3 结果讨论404.2 语音信号的滤波404.2.1 语音信号的仿真414.4.2 对信号进行滤波424.2.3 结果讨论42结 论44致 谢45参考文献46附录a 英文原文47附录b 汉语翻译52附录c 程序57iv1 绪论1.1 概述几乎在所有的工程技术领域中都会涉及到信号的处理问题，其信号表现形式有电、磁、机械以及热、光、声等。信号处理的目的一般是对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等。如何在较强的噪声背景下提取出真正的信号或信号的特征，并将其应用于工程实际是信号处理的首要任务。根据处理对象的不同，信号处理技术分为模拟信号处理系统和数字信号处理系统。数字信号处理与模拟信号处理相比有许多优点，如相对于温度和工艺的变化数字信号要比模拟信号更稳健，在数字表示中，精度可以通过改变信号的字长来更好地控制，所以数字信号处理技术可以在放大信号的同时去除噪声和干扰，而在模拟信号中信号和噪声同时被放大，数字信号还可以不带误差地被存储和恢复、发送和接收、处理和操纵。许多复杂的系统可以用高精度、大信噪比和可重构的数字技术来实现。目前，数字信号处理已经发展成为一项成熟的技术，并且在许多应用领域逐步代替了传统的模拟信号处理系统，如通讯、系统控制、电力系统、故障检测、语音、图像、自动化仪器、航空航天、铁路、生物医学工程、雷达、声纳、遥感遥测等。数字滤波器，在数字信号处理中有着广泛的应用。因此，无论是在理论研究上还是在如通讯、hdtv（高清晰度电视）、雷达、图象处理、数字音频等实际应用上都有着美好的技术前景和巨大的实用价值。1.2 背景、国内外发展和意义从形式上看，数字滤波有线性滤波和非线性滤波。线性滤波是指卷积滤波，又分为频域滤波和时域滤波，在实域中根据滤波方式又分为递归滤波和递归滤波。非线性滤波主要是指同态滤波，它是用取对数的方法将非线性问题线性化。近些年，线性滤波方法，如wiener滤波、kalman滤波和自适应滤波得到了广泛的研究和应用。同时一些非线性滤波方法，如小波滤波、同态滤波、中值滤波和形态滤波等都是现代信号处理的前沿课题，不但有重要的理论意义，而且有广阔的应用前景。wiener滤波是最早提出的一种滤波方法，当信号混有白噪声时，可以在最小均方误差条件下得到信号的最佳估计。但是，由于求解wiener-hoff方程的复杂性，使得wiener滤波实际应用起来很困难，不过wiener滤波在理论上的意义是非常重要的，利用wiener滤波的纯一步预测，可以求解信号的模型参数，进而获得著名的levinson算法。kalman滤波是20 世纪60 年代初提出的一种滤波方法。与wiener滤波相似，它同样可以在最小均方误差条件下给出信号的最佳估计。所不同的是，这种滤波技术在时域中采用递推方式进行，因此速度快，便于实时处理，从而得到了广泛的应用。kalman滤波推广到二维，可以用于图象的去噪。当假设wiener滤波器的单位脉冲响应为有限长时，可以采用自适应滤波的方法得到滤波器的最佳响应。由于它避开了求解wiener -hoff方程，为某些问题的解决带来了极大的方便。小波滤波就是利用信号和噪声的目的。同态滤波主要用于解决信号和噪声之间不是相加而是相乘关系时滤波问题。另外，当信号和噪声之间为卷积关系的时候，在一定条件下可以利用同态滤波把信号有效地分离开来，由同态滤波理论引申出的复时谱也成为现代信号处理中极为重要的概念。wiener滤波、kalman滤波和自适应滤波都是线性滤波，线性滤波的最大缺点就是在消除噪声的同时，会造成信号边缘的模糊。中值滤波是20世纪70年代提出的一种非线性滤波方法，它可以在最小绝对误差条件下，给出信号的最佳估计。这种滤波方法的优点，就是能够保持信号的边缘不模糊。另外它对脉冲噪声也有良好的清除作用。形态滤波是建立在集合运算上的一种非线性滤波方法，它除了用于滤除信号中的噪声外，还在图象分析中发挥了重要的作用。关于数字滤波器理论研究的发展也带来了数字滤波器在实现上的空前发展。20世纪60年代起，由于计算机技术、集成工艺和材料工业的发展，滤波器的发展上了一个新台阶，朝着低功耗、高精度、小体积、多功能、稳定可靠和价廉等方向努力，其中高精度、小体积、多功能、稳定可靠成为70年代以后的主攻方向，导致数字滤波器、rc有源滤波器、开关电容滤波器和电荷转移器等各种滤波器的飞速发展。到70年代后期，上述几种滤波器的单片集成己被研制出来并得到应用，90年代至现在主要致力于把各类滤波器应用于各类产品的开发和研制。当然，对滤波器本身的研究仍在不断进行。目前，人类正在进入信息时代，信号处理与滤波器设计是信息科学技术领域中一个不可或缺的重要内容。在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号的处理和分析都是基于滤波器而进行的。数字滤波器是实现数字滤波的核心器件，按类型分为2大类：无限长冲激响应（iir）和有限长冲激响应（fir）数字滤波器。iir数字滤波器在很多领域中有着广阔的应用前景，与fir数字滤波器相比，它可以用较低的阶数获得高选择性，所要求的存储单元少，且成本低、信号延迟小，同时还可以利用模拟滤波器设计成果，设计工作量相对较小。iir df是数字信号处理的重要内容，在对信号的过滤、检测与参数的估计等信号处理中，它是使用最为广泛的装置，目前在通信、语音、图像、自动控制、雷达、军事、航空航天、医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。目前数字滤波器的设计有许多现成的高级语言设计程序，但他们都存在设计效率较低，不具有可视图形，不便于修改参数等缺点，而matlab为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。尤其是matlab工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。其中的信号处理工具箱、图像处理工具箱、小波工具箱等更是为数字滤波研究的蓬勃发展提供了可能。1.3 本论文主要研究内容研究iir数字滤波器的原理，探讨其设计方法（间接法和直接法），并研究iir 数字滤波器的设计方法的优势与局限，间接法是用数字滤波器的频率特性去模仿模拟滤波器的频率特性，直接法将采用最小二乘法。给出iir数字滤波器的特点，如iir滤波器可用较低的阶数获得较高的选择性，成本低、信号延迟小等。matlab信号处理工具箱提供了几个直接设计iir数字滤波器的函数，它们把典型滤波器的几个步骤集成了一个函数，直接调用就可以设计滤波器，就是利用这些函数设计iir数字滤波器，最后将设计的iir 数字滤波器应用于汽车超载检测、语言信号滤波等。 2 iir数字滤波器的设计原理及方法数字滤波器在数字信号处理中十分重要，数字滤波器与模拟滤波器比较，具有精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点，在科学技术等领域得到广泛应用。数字滤波器根据时域特性可分为无限长单位冲击响应iir（infinite impulse response）滤波器和有限长单位冲击响应fir（finite impulse response）滤波器。iir滤波器可用较低的阶数获得较高的选择性，不但所用的存储单元少而且经济、高效1。2.1 iir数字滤波器的特点单位冲击响应h（n）是无限长的，系统函数h（z）在有限z平面（0|z|）上有极点存在，iir数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。iir数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。iir滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。iir数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、切比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个iir数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。iir数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。在matlab下设计iir滤波器可使用butterworth函数设计出巴特沃斯滤波器，使用cheby1函数设计出切比雪夫i型滤波器，使用cheby2设计出切比雪夫ii型滤波器，使用ellipord函数设计出椭圆滤波器。与fir滤波器的设计不同，iir滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带波纹、阻带衰减等），由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。在matlab下设计不同类型iir滤波器均有与之对应的函数用于阶数的选择。iir单位响应为无限脉冲序列，fir单位响应为有限的，iir数字滤波器幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位信息不敏感的音频信号上；fir幅频特性精度较之于iir低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过fir滤波器后他们的时间差不变。这是很好的性质。 另外有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程，用于计算的时延也小，这对实时的信号处理很重要。2.2 利用间接法设计iir数字滤波器间接设计法的设计思想是：利用已有的模拟滤波器设计理论，首先根据理论设计一个指标合适的模拟滤波器，然后再通过脉冲响应完成从模拟到数字的变换。常用的模拟滤波器有巴特沃斯（butter worth）滤波器、切比雪夫（chebyshev）滤波器、椭圆（ellipse）滤波器等，这些滤波器各有特点，供不同设计要求选用。2.2.1 设计原理现今，模拟滤波器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数已经表格化了，设计起来既方便又准确。设计iir数字滤波器，首先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将模拟滤波器的频率特性转化为数字滤波器的频率特性，用数字滤波器的频率特性来模仿模拟滤波器的频率特性1-2。具体设计步骤如下： （1）将给定的数字滤波器的性能指标，按某一变换（映射）规则转换成相应的模拟滤波器的性能指标。 （2）如果要设计的不是数字低通滤波器，则还需要步骤（1）中变换所得到的相应的（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标变换成模拟低通滤波器的性能指标。这是因为只有模拟低通滤波器才有图形和表格可资利用。 （3）用所得到的模拟低通滤波器的性能指标，利用某种模拟滤波器逼近方法，设计并查表求得此模拟低通滤波器的系统函数，以它作为设计数字滤波器的“样本”。 （4）利用与步骤（1）、（2）中的同一变换规则，将此作为“样本”的模拟原型低通滤波器的系统函数最终变换成所需的数字各型滤波器的系统函数h（z）。步骤（1）中的变换规则就是从模拟滤波器数字转化成为数字滤波器的方法，也就是要把s平面映射到z平面，使模拟系统函数ha（s）变换成所需的数字滤波器的系统函数h（z）。这种由复变量s到复变量z之间的映射（变换）关系，必须满足以下两条基本要求：第一，h（z）的频率响应必须有可能模仿ha（s）的频率响应，即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上，也就是频率轴要对应。第二，因果稳定的ha（s）应能映射成因果稳定的h（z）。也就是s平面的左半平面res0必须映射到z平面单位圆的内部|z|1。我们知道，“模拟原型”滤波器有多种设计方法，例如巴特沃斯型滤波器、切比雪夫型滤波器、椭圆函数型（考尔型）滤波器等。设计时，是将上述满足数字滤波器性能指标要求的、作为“样本”的模拟滤波器映射成数字滤波器。单就映射方法而言，主要有以下几种映射方法：冲击响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。2.2.2 模拟低通滤波器的逼近 常用模拟低通滤波器逼近有巴特沃斯型、切比雪夫型和考尔型（又称椭圆函数型）滤波器。而高通、带通、带阻等滤波器则可以利用变量变换法，由低通滤波器变换得到。 设计模拟滤波器是根据一组设计规范来设计模拟系统函数ha（s）使其逼近某个理想滤波器特性。1.由幅度平方函数确定系统函数 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数ha（j）2来表示，即ha（j）2= ha（j）ha*（j）由于滤波器冲击响应ha（t）是实函数，因而ha（j）满足ha*（j）= ha（-j）所以 ha（j）2= ha（j）ha（-j）=ha（s）ha（-s）|s=j （2.1）其中ha（s）是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数，ha（j）是滤波器稳态响应即频率特性，ha（j）是滤波器的稳态幅度特性。现在的问题是要由已知的ha（j）2求得ha（s）。回到（2.1）式，设ha（s）有一个极点（或零点）位于s=s0处，由于ha（t）即冲击响应为实数，则极点（或零点）必以共轭对形式出现，因而s=s0*处也一定有一极点（或零点），所以与之对应ha（-s）在s=-s0处必有极点（或零点），因而ha（s）的极点（零点）以及与之对应的ha（-s）的极点（零点）可列表2.1如下：表 2.1ha（s）的极点（零点）-j1-0-j0ha（-s）的极点（零点）1j10j0ha（s）ha（-s）在虚轴上的零点（我们知道，稳定系统在虚轴上是没有极点的，只有临界稳定才会在虚轴上出现极点）一定是二阶的，这是因为冲击响应ha（t）是实的，因而ha（s）的极点（或零点）必成共轭对存在。ha（s）ha（-s）的极点、零点分布如图2.1所示，是成象限对称的。 我们知道任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此其系统函数ha（s）的极点一定落于s的左半平面，所以左半平面的极点一定属于ha（s），则右半平面的极点必属于ha（-s）。 j s平面 2 2 图2.1 ha（s）ha（-s）零点、极点分布（成象限对称，虚轴零点上的“2”字表示是二阶零点）零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关。如果要求是最小相位延时特性，则ha（s）应取左半平面零点；如果有特殊要求，则按这种要求来考虑零点的分配；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半（如为复数零点，则应为共轭对）取为ha（s）的零点。由此可以看出，由ha（j）2确定ha（s）方法如下：（1）由ha（j）2|2=-s2= ha（s）ha（-s）得到象限对称的s平面函数。（2）将ha（s）ha（-s）因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于ha（s），如无特殊要求，可取ha（s）ha（-s）以虚轴为对称轴的对称零点的任一半（如为复数零点，则应为共轭对）作为ha（s）的零点，如要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为ha（s）的零点。j轴上的零点应是偶次的，其中一半（应为共轭对）属于ha（s）。（3）按照ha（j）与ha（s）的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数。（4）由求出的ha（s）的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统ha（s）。2.巴特沃斯低通逼近巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近。巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为ha（j）2=式中n为正整数，代表滤波器的阶次，c称为截止频率。当=c时，有即ha（j）=，=20lg=3db所以，又称c为巴特沃斯低通滤波器的2分贝带宽。巴特沃斯低通滤波器的特点如下：（1）当=0时，ha（j0）2=1，即在=0处无衰减。（2）当=c时，ha（j）2=1/2，ha（j）=1/=0.707，或=-20lgha（jc）=3db，为通带最大衰减。即不管n为多少，所有的特性曲线都通过-3db点，或说衰减3db，这就是3db不变性。（3）在c，即在过滤带及阻带中，ha（j）2也随着增加而单调减小，但是/c1，故比通带内衰减的速度要快的多，n越大，衰减速度越大。当=st，即频率为阻带截止频率时，衰减为=-20lgha（jst），为阻带最小衰减。在（2.4）式中，代入=s/j，可得ha（j）2 = ha（s）ha（-s）= （2.2）所以巴特沃斯滤波器的零点全部在s=处，在有限s平面内只有极点，因而属于所谓“全极点型”滤波器。ha（s）ha（-s）（即幅度平方函数在s平面的解析延拓）的极点可用公式表示为， k=1，2，2n巴特沃斯低通滤波器的幅度特性如图2.2所示：图2.2 巴特沃斯低通滤波器的幅度特性由此看出，ha（s）ha（-s）的极点分布特点是：（1）极点在s平面是象限对称的，分布在半径为c的圆（称巴特沃斯圆）上，共有2n个极点。其中sk（k=1，2，n）为s的左半平面的极点，极为ha（s）的极点。（2）极点间的角度间隔为rad。（3）极点绝不会落在虚轴上，因而滤波器才有可能是稳定的。（4）n为奇数时，实轴上有极点；n为偶数时，实轴上没有极点。ha（s）ha（-s）在左半平面的极点即为ha（s）的极点，因而 k=1，2，n （2.3）这里分子系数为cn，可由ha（s）的低频特性决定，（代入ha（0）=1，可求得分子系数为cn），而sk为 k=1，2，n （2.4） 当n为偶数时，ha（s）的极点（左半平面）皆成共轭对，这一对共轭极点构成一个二阶子系统，即 （2.5）整个系统函数应是n/2个这样的二阶子系统的级联，即 , n为偶数 （2.6）当n为奇数时，整个系统将由一个一阶系统（极点s=-1）和（n-1）/2个和如（2.5）式所示的二阶系统（皆为左半平面极点）级联组成，即， n为奇数 （2.7）在一般设计中，都先把（2.2）式中的c选为1rad/s，这样使频率归一化。归一化后，巴特沃斯滤波器的极点分布以及相应的系统函数、分母多项式的系数都有现成的表格可查。如果cr表示归一化频率响应中的参考角频率（一般取为1rad/s，也可以是其任意数值），而所需的实际滤波器幅度相应中的参考角频率为c（一般为截止频率或称3db截止频率，也可以是其他衰减分贝处的频率）。令han（s）代表归一化系统的系统函数，ha（s）代表所需的参考角频率为c的系统的系统函数，那么把原归一化系统函数中的变量s用代替后，就得到所需的系统函数，最常应用的是cr=1rad/s，则有 （2.8）3.切比雪夫低通逼近巴特沃斯滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。所以，更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带与阻带内，这样在同样通带、阻带性能要求下就可以设计出阶数较低的滤波器。ha(j) 1 n为奇数 0 c st 图2.3（a） 切比雪夫型滤波器的幅度特性（通带波纹2db）ha(j) 1 n为偶数 2db 0 c st 图2.3（b） 切比雪夫型滤波器的幅度特性（通带波纹2db）ha(j) 1 n为奇数 0 c st 图2.4（a） 切比雪夫型滤波器的幅度特性ha(j) 1 n为偶数 2db 0 c st 图2.4（b） 切比雪夫型滤波器的幅度特性这里我们只讨论切比雪夫滤波器，而且切比雪夫型滤波器为例来讨论这种逼近3。切比雪夫型滤波器的幅度平方函数为 （2.9）其中，为小于1的正整数，它是表示通带波纹大小的一个参数，越大，波纹也越大，为对c的归一化频率，c为截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3分贝，也就是说，在切比雪夫滤波器中，c不一定是3db的宽带）。cn（x）是n阶切比雪夫多项式，定义为 （2.10）显然，切比雪夫滤波器的幅度响应为 的特点如下： （1）当=0，n为偶数时，；当n为奇数时，ha（j0）=1。 （2）当=0时即当=c时，所有幅度函数曲线都通过点，所以把c定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。在这个截止频率系，幅度函数不一定下降3db，可以是下降其它分贝值，例如1db等，这是与巴特沃斯滤波器不同之处。 （3）在通带内，即当c时，则c时，随着的增大使ha（j）迅速单调趋近于零。设计切比雪夫模拟低通滤波器，一般是给定通带截止频率c，阻带起始截止频率st，通带最大衰减1（分贝），阻带最小衰减2（分贝），要求ha（s）。设计过程为：（1）求。是与通带波纹有关的一个参量，通带波纹1表示成 （2.11）这里ha（j）max=1，表示通带幅度响应的最大值，ha（j）min=，表示通带幅度响应的最小值，故1=10log10（1+2） （2.12）因而2=101/10-1 （2.13）可以看出，给定通带波纹值1（db）后，就能求得2，这里应注意，通带波纹值不一定是3db，也可以是其他值，例如0.2 db等等。 （2）求滤波器阶数n。n等于通带内最大值和最小值的总数。前面已经说过，n为奇数时，=0处ha（j）为最大值；n为偶数时，=0处ha（j）为最小值见图2.3（a）、2.3（b）。n的数值可由阻带衰减来确定。当阻带起始截止频率为st，则阻带幅度平方函数值满足a是常数，见图2.3（a）、2.3（b），如果用误差的分贝数2表示，则有所以a=102/20=100.052当=st时，将上面的ha（jst）2的等于或小于的表达式代入（2.9）式，可得由此得出 （2.14） 由于，所以，由（2.11）式的第二式有再将（2.14）式代入，可得 （2.15）由此，并考虑（2.14）式，可得 （2.16）最后，取滤波器阶数为大于由上式求得的n的一个整数。如果要求阻带边界频率上衰减越大（即a越大），也就是过渡带内幅度特性越陡，则所需的阶数n越高。将（2.15）式取等号，可导出由c，2，st为 （2.17）由于c是切比雪夫滤波器的通带宽度，但不是3db带宽，可以求出3db带宽为（a=） （2.18）注意，只有当c1）。 （3）求滤波器系统函数ha（s）。由于已经知道n，c，故可求出ha（s）。4.椭圆滤波器逼近法特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的，其振幅平方函数为式中，rn（，l）为雅可比椭圆函数，l是一个表示波纹性质的参量。 r52（，l） l2 1 -l -1 0 +1 l 图2.5 n=5时，r52（，l）的特性曲线由图2.5可见，在归一化通带内（-11），r52（，l）在（0，1）间振荡，而超过l后，r52（，l）在l2和 间振荡。l越大，l也变大。这一特点使滤波器同时在通带和阻带具有任意衰减量。 图2.6（a）、2.6（b）为典型的椭圆滤波器振幅平方函数： a（2） 1 n为奇数 0 c st 图2.6（a） 椭圆滤波器的振幅平方函数 a（2） 1 n为偶数 0 c st 图2.6（b） 椭圆滤波器的振幅平方函数 图2.6（a）、2.6（b）中和a的定义与切比雪夫滤波器相同。 当c、s、和a确定后，阶次n的确定方法为 ： 确定参数k=c/s ，确定参量，式中k（k）= 为第一类完全椭圆积分。 上面讨论了四种最常用模拟低通滤波器的特性和逼近方法，设计时按照指标要求，合理选用。一般，椭圆滤波器的阶次可最低，切比雪夫次之，巴特沃斯最高，参数的灵敏度则恰恰相反。2.2.3 映射方法这里介绍的映射方法主要有几种：冲击响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。我们最常用的是双线性变换法。1. 冲击响应不变法脉冲响应不变法（即冲击响应不变法），利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h（n） 模仿模拟滤波器的冲击响应ha（t）, 使h（n）正好等于ha（t）的采样值，即h（n）=ha（nt）t为采样周期。如以ha（s）及h（z）分别表示ha（t）的拉氏变换及h（n）的z变换，即ha（s）=lha（t）h（z）=zh（n）则根据采样序列z变换与模拟信号拉氏变换的关系，得： 上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的s平面到z平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到z 变换的标准变换关系，即首先对ha（s）作周期延拓，然后再经过z=est的映射关系映射到z平面上。z=est的映射关系表明，s平面上每一条宽为的横带部分，都将重叠地映射到z平面的整个全部平面上。每一横带的左半部分映射到z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到z平面单位圆以外，j轴映射在单位圆上，但j轴上的每一段都对应于绕单位圆一周，如下图2.7所示： j jimz 0 -1 1 jrez s平面 z平面图2.7 脉冲响应不变法的映射关系 应当指出，z=est的映射关系反映的是ha（s）的周期延拓与h（z）的关系，而不是ha（s）本身与h（z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从ha（s）到h（z）并没有一个由s平面到z平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f（z）的代数关系式。另外，数字滤波器的频响也不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为s=2/t=2fs，即正如第一章采样定理中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率s/2以内，即 |/t这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内） | 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达的传递函数，模拟滤波器的传递函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数nm，则可表达为部分分式形式： 其拉氏反变换为： 其中u（t）为单位阶跃函数。对ha（t）采样就得到数字滤波器的单位脉冲响应序列再对h（n）取z变换，得到数字滤波器的传递函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有，所以有 比较部分分式形式的ha（s）和上式h（z）可以看到，s平面上的极点s=si，变换到z平面上是极点，而ha （s）与h（z）中部分分式所对应的系数不变。如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点si都在s左半平面，即resi0，那么变换后h（z）的极点也都在单位圆以内，即，因此数字滤波器保持稳定。值得注意的是，这种ha（s）到h（z）的对应变换关系，只有将ha（s）表达为部分分式形式才成立。 虽然脉冲响应不变法能保证s平面与z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个s平面与z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与s平面上的零点就没有一一对应关系，而是随着ha（s）的极点si与系数ai的不同而不同。h（ej） 是ha（）的周期延拓（周期为fs），因ha（j）并不是带限，即在超过fs频率部分并不为0，所以就产生了混叠。当为低通或带通滤波器时，fs越大，则ha（j）的下一周期相隔越远，混叠也就越小。当为带阻或高通滤波器时，ha（j）在超过fs/2频率部分全为通带，这样就不满足抽样定理，发生了完全的混叠，所以脉冲响应不变法不能设计带阻或高通滤波器。 在要求时域脉冲响应能模仿模拟滤波器的场合，一般使用脉冲响应不变法。 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。因此如果模拟滤波的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。如果ha（s）是稳定的，即其极点在z左半平面，映射到h（z）也是稳定的。 脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带限滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。所以用脉冲响应不变法实现高通和带限滤波器时，应增加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带，然后再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，只有在一定需要频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。2.阶跃响应不变法阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应，即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔的抽样，使正好等于的抽样值，满足 （2.19）其中t是抽样周期。设数字滤波器的系统函数为，如果其输入端作用一个阶跃函数，则其输入端即为阶跃响应，因而满足将此式两端取z变换可得 （2.20）所以 （2.21）对于模拟滤波器，设其系统函数为，如果输入端作用一个阶跃函数，则其输出端即为阶跃响应，因而满足将此式两端取拉普拉斯变换，可得 （2.22）即 （2.23）要满足阶跃响应不变，则应有 （2.24）将（2.24）式取z变换即得，将它代入（2.21）式即得数字滤波器系统函数 （2.25）这就是阶跃响应不变法由模拟系统的系统函数映射成数字系统的系统函数的公式。下面时讨论阶跃响应不变法是否有频率响应的周期响应的周期延拓及混响现象。模拟阶跃响应的理想抽样频率信号的拉普拉斯变换为 (2.26)而阶跃响应序列的z变换为 (2.27)比较（2.26）式与（2.27）式，可知 (2.28)同样，模拟阶跃响应的拉普拉斯变换与的理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系为 (2.29)由（2.28）式和（2.29）式，并将（2.19）式和（2.20）式代入，得 (2.30)由（2.30）式得出，阶跃响应不变法仍然有频率响应的周期延拓现象，因而如果不是严格限带的，必然会有频率响应的混淆失真，但是由于有1/s因子（在频率轴上为1/j因子），使得频率响应幅度与频率成反比，因而，随着的增加，频率响应的混淆现象一定比冲激响应不变法的要小。3.双