环境工程论文存在参数扰动的超混沌系统的自适应同步.doc

存在参数扰动的超混沌系统的自适应同步 存在参数扰动的超混沌系统的自适应同步 1引言 自1963年lorenze在天气变化的研究中首先发现了混沌以来，人们对混沌理论已进行了深入的研究。近十几年来人们开始探索如何控制和利用混沌。1990年，ott、grebogi和yorke通过参数扰动法（即ogy法）成功地控制了混沌；pecora和corroll又提出了“混沌同步”的概念，并在实验室用电路实现了同一信号驱动下两个相同的耦合混沌系统的同步3。由于混沌同步在保密通信、信号处理和生命科学等方面有着十分广泛的应用前景和巨大的市场潜在价值，引起了人们极大的关注，并对此进行了广泛而深入的研究4-7。目前，针对各种混沌系统，许多学者已经提出了各种不同的混沌同步方法，如pc法、反馈同步法、脉冲同步、自适应同步法、观测器同步法、神经网络同步法、模糊同步法等8-16。而在实际应用中，由于受外界的影响，混沌系统的参数很难保持理想的给定状态，总是会存在微小扰动。然而对于存在参数扰动的混沌系统，上述控制方法都受到一定的限制。 为此，利用参数自适应方法，研究了存在随机扰动的超混沌系统的同步问题。采用本文设计的自适应控制器，存在参数扰动的超混沌qi系统和超混沌lorenze系统很好地实现自同步和异同步，即使是在外界扰动非常大的情况下，系统仍能很好地保持同步性能。另外，方法可以适用于其他混沌（超混沌）系统。 2问题描述与系统模型 考虑如下混沌系统x?=f(tx)（1）y?=g(ty)+dh(ty)-u(txy)（2）系统式（1）为驱动系统，系统式（2）为响应系统，f，g为rrn?rn的可微函数，x，y为系统变量，dh为参数扰动，u(txy)为控制输入。当参数扰动dh存在时，设计控制器u使得不同初值出发的系统满足limt?￥y-x=0即limt?￥|y|i-xi=0(i=12n)那么该驱动系统和响应系统达到同步。 2005年，qi等提出一个新的混沌系统17，在此基础上最近文献18提出了新超混沌qi，?x?1=a(x2-x1)+x2x3+bx4x?2=cx1-x2-x1x3x?3=x1x2-bx3+x2x4+x4x?4=-x2x3+dx4（3）其中x，y，z及w为系统的状态变量，a，b，c和d为系统的控制参数，a=10，b=8/3，c=28，d=-1.60时，系统式（3）为超混沌的。 超混沌lorenze系统为 19：?y?1=n(y2-y1)+y4y?2=my1-y2-y1y3y?3=y1y2-py3y?4=-y1y3+qy4（4）当n=10,m=28,p=8/3和q=-1时，系统式（4）为超混沌loren-ze系统。 下面将实现存在参数扰动情况下超混沌系统的同结构和异结构两个系统之间的同步。 3超混沌qi系统在参数扰动条件下的自同步令系统式（3）为驱动系统，系统式（5）为响应系统。 ?y?1=(a+da)(y2-y1)+y2y3+(b+db)y4-u1y?2=(c+dc)y1-y2-y1y3-u2y?3=y1y2-(b+db)y3+y2y4+y4-u3y?4=-y2y3+(d+dd)y4-u4（5）这里da、db、dc和dd是在驱动-响应系统同步过程中的参数扰动，u1u2u3u4是非线性控制器，它控制驱动系统式（3）和响应系统式（5）渐进地达到同步。 令上述驱动-响应系统之间的误差变量为e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，则有e?1=y?1-x?1，e?2=y?2-x?2，e?3=y?3-x?3，e?4=y?4-x?4。故由式（3）和式（5），可得误差系统如下：?e?1=a(e2-e1)+da(y2-y1)+be4+dbe4+y2y3-x2x3-u1e?2=ce1+dcy1-e2-y1y3+x1x3-u2e?3=y1y2-x1x2+y2y4-x2x4-be3-dby3+e4-u3e?4=-y2y3+dy4+ddy4+x2x3-u4（6）设计控制器为：?u1=ae2+be4+y2y3-x2x3u2=ce1-y1y3+x1x3u3=y1y2-x1x2+y2y4-x2x4+e4u4=-y2y3+x2x3（7）参数扰动da、db、dc和dd的控制规则为式（8）。 ?da?=-e1(y2-y1)db?=e3y3-e4y4dc?=-e2y1dd?=-y4e4（8）定理1若选取控制器为式（7），参数扰动控制规则为式（8），则驱动系统式（3）与响应系统式（5）从任意初始点出发轨道均可以达到同步。 证明令lyapunov函数： v(t)=12(e21+e22+e23+e24+da2+db2+dc2+dd2)（9）对式（9）求导，并由式（6）（8）可得：v?(t)=(e1e?1+e2e?2+e3e?3+e4e?4+dada?+dbdb?+dcdc?+dddd?)=-ae21-e22-be23-de23=-etpe这里p=diaga1bd。 由于v?是负定3 的，故 v?=-et pe-min(p)e2<0这里min(p)是矩阵p的最小特征值。因为v=12e2故有v?-2min(p)v所以可推得：v(t)v(0)exp-2min(p)t这里v(0)是lyapunov函数的初始值。因为v(0)是有界的，所以误差系统式（6）是渐近稳定，即受控从系统式（5）通过主动控制器u=u1u2u3u4可以达到与主系统式（3）的同步，证毕。 通过数值模拟验证此方法的有效性，选取时间步长为=0.001 s，采用四阶runge-kutta法去求解方程（3）和方程（5），研究了驱动系统式（3）与响应系统式（5）的同步。其中驱动-响应系统式（1）和式（2）参数的选取为a=10，b=8/3，c=28，d=-1.60，初始点为(x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)=(1234)和(y1(0)y2(0)y3(0)=(5,678)，扰动参数为(dadbdcdd)=(0.9,1.91.991.99)。利用控制器式（7）和参数控制规则式（8），得到驱动系统式（3）和响应系统式（5）的同步过程模拟结果如图1所示。 由图1（a）可见，当t接近0.58 s、5.8 s、1.92 s和3.2 s时，系统误差e1(t)、e2(t)、e3(t)和e4(t)已分别精确地稳定在零点，即系统式（3）和系统式（5）达到了准确的同步。图1（b）给出了系统式（5）的参数扰动da、db、dc和dd的控制过程。当t接近0.4 s、2.6 s、5 s和4 s时，扰动参数da、db、dc和dd已分别为零。 4超混沌系统在参数扰动条件下的异结构同步令超混沌qi系统式（3）为驱动系统，响应系统为超混沌lorenze系统式（10）。 ?y?1=(n+dn)(y2-y1)+y4-u1y?2=(m+dm)y1-y2-y1y3-u2y?3=y1y2-(p+dp)y3-u3y?4=-y1y3+(q+dq)y4-u4（10）作为响应系统。式（10）中dn、dm、dp和dq是在驱动-响应系统同步过程中的参数扰动，u1u2u3u4是非线性控制器，它控制驱动系统式（3）和响应系统式（10）渐进地达到同步。 令驱动-响应系统之间的误差变量为e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，e4=y4-x4，则有e?1=y?1-x?1，e?2=y?2-x?2，e?3=y?3-x?3，e?4=y?4-x?4。故由式（3）和式（10），可得误差系统如下：?e?1=(n+dn)(y2-y1)+y4-a(x2-x1)-bx4-x2x3-u1e?2=(m+dm)y1-e2-y1y3-cx1+x1x3-u2e?3=y1y2-(p+dp)y3-x1x2+bx3-x2x4-x4-u3e?4=-y1y3+(q+dq)y4-dx4+x2x3-u4（11）设计控制器为：?u1=y4-a(x2-x1)-bx4-x2x3u2=my1-y1y3-cx1+x1x3u3=y1y2-px3-x1x2+bx3-x2x4-x4u4=-y1y3-dx4+x2x3（12）参数扰动dn、dm、dp和dq的控制规则为：?dn?=-e1(y2-y1)dm?=-e2y1dp?=e3y3dq?=-e4y4（13）定理2若选取控制器为式（12），参数扰动控制规则为式（13），则驱动系统式（3）与响应系统式（10）从任意初始点出发轨道均可以达到同步。 证明令lyapunov函数： v(t)=12(e21+e22+e23+e24+dn2+dm2+dp2+dq2)（14）对式（14）求导，并由式（3）、式（10）和式（13）可得：v?(t)=(e1e?1+e2e?2+e3e?3+e4e?4+dndn?+dmdm?+dpdp?+dqdq?)=-ne21-e22-pe23-qe23=-etpe这里p=diagn1pq。 由定理1的证明过程，可得误差系统式（11）是渐近稳定，即受控从系统式（10）通过主动控制器u=u1u2u3u4可以达到与主系统式（3）的同步。 通过数值模拟验证此方法的有效性，选取时间步长为=0.001 s，采用四阶runge-kutta法去求解方程（3）和方程（10），研究了驱动系统式（3）与响应系统式（10）的同步。其中驱动-响应系统式（3）和式（10）参数的选取为a=10，b=8/3，c=28，d=1.6，n=10，m=28，p=8/3，q=1；初始点为(x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)=(1234)和(y1(0)y2(0)y3(0)y4(0)=(5678)，扰动参数(dndmdpdq)=(0.991.991.80.5)。利用控制器式（12）和参数控制规则式（13），得到驱动系统式（3）和响应系统式（10）的同步过程模拟结果如图2所示。 由图2（a）可见，当t接近