多项式练习测试题.pdf

南京审计学院 2005 优秀重点建设课程高等代数材料之自测练习题 主持人：张宝善教授 1 第一章 多项式 第一章 多项式 多项式习题 多项式习题 一、填空题 一、填空题 1、 用除 2 ( )2g xxx=+ 4 ( )25f xxx=+，商式为 ；余式为 。 2、 当满足关系 , ,m p q时， 24 1|xmxxpxq+。 3、 4322 ( )(441,1)d xxxxxxx=+=；存在 ( )u x， ( )v x ，使得。 ( )( ) ( )( ) ( )d xf x u xg x v x=+ 4、 设 3232 235(2)(2)(2)xxxa xb xc x+=+d，则的值为 , , ,a b c d。 5、 当t满足 条件时， 32 ( )31f xxxtx=+有重根。 6、 3 ( )f xxpxq=+有重根的条件是 。 7、 42 4751xxx的有理根集合为 。 二、计算与证明 二、计算与证明 1 设，求证： ( ( ), ( )1f xg x= （1）； ( ( ),( )( )1f xf xg x+= （2）( ( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x+= （3）； （4）( (), ()1 nn f xg x=( ( ) , ( ) )1 nn f xg x=。 2设不全为0，( ), ( )f xg x( )( ( ), ( )( ) ( )( ) ( )d xf x g xf x u xg x v x=+，若 11 ( )( )( ),( )( )( )f xd x f xg xd x g x=，且 11 ( ),( )f x g x的次数都大于 1。 （1） 问是否唯一？ ( ), ( )u x v x （2） 求证( (； ), ( )1u x v x= （3） 求证。 11 ( ),( )1f x g x= 3设是首一多项式，且次数大于 1。证明下列命题等价： ( )f x （1）是某个多项式的方幂； ( )f x （2）对于任意多项式，必有( )g x( ( ), ( )1f x g x=，或者存在某一个整数，使得m( )|( ) m f xgx； 南京审计学院 2005 优秀重点建设课程高等代数材料之自测练习题 主持人：张宝善教授 2 （3）对于任意多项式，由可推出，或者存在整数m，使得( ), ( )g x h x( )|( ) ( )f xg x h x( )|( )f xg x ( )|( ) m f xhx。 4求证： 22 ( )|( )( )|( )f xg xfxgx。 5如果( )|() n f xf x，求证是或单位根。 ( )f x 6如果(1)|( n) xf x，求证(1)|( nn) xf x 南京审计学院 2005 优秀重点建设课程高等代数材料之自测练习题 主持人：张宝善教授 3 自测题 1 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1 a,cba； a,cba； 0 2，则: 06,|,01,| 22 =xxrxxbxrxxa ._,_,=bababa 3；xxfrrf 2 sin)(,:=1cos)(,:+=xxgrrg，则: ._)(._).(_)(=rfxgfxfgoo 4，则 32)(,:+=xxfrrf._)( 1 = xf 5n为自然数集，找出由n到b的映射，且为单射但非满射 |3znnb=ff 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由。每小题 5 分，共 20 分） 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由。每小题 5 分，共 20 分） 1不存在含有有限个数的数域 2两个数环的并也是数环 3annnfa+=, 1:,100, 2 , 1al是a到自身的映射 4,:;:. |:;: 2 xxgrrgxxfrrfaa则gf = 三、 （10 分）证明：)()()(cabacba= 四、 （10 分）证明整数集 z 是含 1 的最小数环 五、 （10 分）证明：,|632qdcbadcbaf+=是一个数域 六、 （10 分）平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条直线不交于一点，证明：这n 条直线共有) 1( 2 1 =nnvn个交点 七、 （15 分）求下列各题中集合m与n的交与并： 1）m=全体有理数，n=全体无理数； 2）m=全体n阶对称方阵，n=全体n价反对称方阵； 3）m=数域p上全体不可约多项式，n=在复数域内没有重根的 p 上全体多项式 八、 （10 分）令a=所有正实数，所有实数=a试给出a到 a 上的一个一一映射 自测题 2 南京审计学院 2005 优秀重点建设课程高等代数材料之自测练习题 主持人：张宝善教授 4 一、填空题一、填空题(每小题每小题 3 分分,共共 12 分分) 1.则被除所得的商式为_,余式为_. . 1 3)(, 14)( 234 =xxxgxxxf)(xf)(xg 2_,)(),(, 2)()()()(,)(),(),(),(=+xgxfxgxvxfxuxfxvxuxgxf则若 ._)(),(=xvxu 3 _)(),()(| )(, 0)( 01 =+=xgxfxgxfaxfaxaxaxf n n n 则且l 4中是本原多项式的为_. 1, 42 , 0),3)(1( , 2 32 +xxxxx 二、判断说明题二、判断说明题(先判断正确与错误先判断正确与错误,再简述理由，每小题再简述理由，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 1若则必为与的最大公因式. ),()()()()(xdxgxvxfxu=+)(xd)(xf)(xg 2若在 f 上不可约，且)(),()(| )(xpxgxfxp)()( | )(xgxfxp+则且 )(| )(xfxp).(| )(xgxp 3设为 f 上的多项式，且不可约.若为的重因式,则必为 的重因式 )(),(xfxp)(xp)(xp)(xfk)(xp )( xf1+k 4有理系数多项式在 q 上可约,则有有理根. )(xf)(xf 三、计算题三、计算题(每小题每小题 16 分分,共共 48 分分) 1 设求以 及使 , 12)(, 12)( 3234 +=+=xxxgxxxxxf)(),(xgxf),(),(xvxu ).(),()()()()(xgxfxgxvxfxu=+ 2设 234)( 235 +=xxxxxf (1)判断在 r 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数; )(xf (2)求在 r 上的标准分解式. )(xf 3(1)把表示为初等对称多项式 321 3 3 3 2 3 1321 3),(xxxxxxxxxf+= 321 ,的多项式.(2)已 知 321 ,是三个根,求的值. 014 23 =+xxx 2 323 2 2 2 31 2 213 2 12 2 1 + 四、证明题四、证明题(每小题每小题 10 分分,共共 20 分分) 1设为正整数,证明:. 2k)(| )()(| )( 22 xgxfxgxf 2设是整系数多项式,a为整数,证明:)(xf).(| )5()5(| )5(afafa 南京审计学院 2005 优秀重点建设课程高等代数材料之自测练习题 主持人：张宝善教授 5 小测验一 姓名小测验一 姓名 学号学号 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 6 分，共分，共 30 分） 分） 1用除 2 ( )2g xxx=+ 4 ( )25f xxx=+ ，商式为 ；余式为 . 2多项式的所有系数之和 2001 20002322002 ( )4(54)21(8112)f xxxxxx=+ ， 常数项 。 3 能被任一多项式整除的式项式是 ；能整除任意多项式的多项式一定是 . 4当t满足 条件时， 32 ( )31f xxxtx=+ 有重根. 5 5432 ( )41048f xxxxxx=+ 在有理数上的标准分解式是 . 二、判断题（对的打，错的打，每小题二、判断题（对的打，错的打，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1若( )( ) ( )p xf x g x，则( )( )p xf x或( )( )p x g x. （ ） 2若( ) ( )f x h x且( )( )g x h x，则( ) ( ) ( )f x g x h x. （ ） 3若多项式的导数没有重因式，则也没有重因式. （ ） ( )f x( )fx( )f x 4若( ) |( )g xf x则. （ ） ( ), ( )1f x g x=) 5 数域 p 上的任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. （ ） ( )p x 6在实数域上所有次数大于或等于 3 的多项式都是可约的. （ ） 7多项式有重根当且仅当有重因式. （ ） ( )f x( )f x 8若是复系数多项式的复根，则的共轭复数( )f x也是的根. （ ） ( )f x 9若 q p 是整系数多项式的根，为互素的整数，则( )f x, p q()(1)pqf. （ ） 10多项式 3 ( )51f xxx=+ 在有理数域上不可约. （ ） 三、计算与证明（每小题三、计算与证明（每小题 10 分，共分，共 50 分） 分） 1设，求( (. 43232 ( )421659,