“高等数值分析”第四次书面作业.docx

“高等数值分析”第四次书面作业20131010题目问：设 ，证明： ， ；。证明： 设 （n0），（范数的连续性），因此， ，由范数的连续性可得，。若不成立，则 ，令 的第j项为1，其余项皆为0，则第i个元素为，且不趋于0，故不趋于0。综上， （是m的上确界），由于，由夹挤定理，由范数的连续性可知，。由特征值定义， 易证，所以，而非零，所以，所以。综上，#“高等数值分析”第五次书面作业20131012题目1问：设 ，而且非奇异，求解 等价于极小化，试推导极小化这个泛函的最速下降法。解：设 ，取 ，求出，s.t.取得最小值， 极小化的最速下降法：step1给定 ，计算 ；step2对于若，则停止；其中 为一事先给定的停机常数；否则 step3转到step220131012题目2问：a为一对称正定矩阵，证明 是一种向量范数，且有 ，其中，分别为a的最大、最小特征值。证明：首先证明是一种向量范数：正定性由对称正定矩阵的等价性质可知，当且仅当时等号成立，因而，当且仅当时等号成立，正定性成立；齐次性，其中 ，齐次性成立；三角不等式由a的对称正定性质，存在可逆矩阵q，s.t. ，因而，当且仅当共线等式成立。由上述两式可得，当且仅当共线等式成立，三角不等式成立。由于a是对称正定矩阵，所以a的所有特征向量构成n维空间的一组正交基，设为 ，用这组正交基表示为由正交性质可推出由于对称正定矩阵的所有特征值都大于0，所以其中，分别为a的最大、最小特征值。#“高等数值分析”第六次书面作业20131015题目1问： 设a为一 对称正定矩阵，如在求解 的最速下降法中取 为一固定常数。试分析其收敛性。解： 由教材引理2.1.1，取 ，得 对于正定矩阵a，若 ，则，当时，算法不收敛。若 ，则，算法不收敛。因此，当 时，算法收敛，否则不能断定算法收敛。20131015题目2问： ， ，取 。用最速下降法求出 ，并计算出 与（2.1.10）比较。解：step1给定 ，计算 ；step2 容易得到 ，所以 由矩阵a的特征系数 ，得由于，所以，满足不等式（2.1.10），但由于，所以，两边差别不大，即收敛速度较慢。“高等数值分析”第七次书面作业20131017题目1问： 推导在cg法中，可写成 ，。解： 将 带入上式得又，所以由定理2.2.1，及公式和， 推导完毕。20131017题目2问： 证明在cg法中，至多n步即可得到方程 的精确解，即 一定是方程的精确解。证明：是经过n步极小化得到的，且，是n维线性空间的一组基，因此是方程的精确解（由a对称正定，方程一定有精确解），否则若存在 是方程的精确解，且，这就违背了极小化的含义，因此一定是方程的精确解。#“高等数值分析”第八次书面作业20131022题目问： 利用性质“当 时，”直接由算法公式证明：对 且无中断时，有 ，并解释良性中断。证明：arnoldi算法：step1 step2 ， ， step3，若，则；否则良性中断。从算法中可以看出，显然。假设（）， 显然；由性质“当 时，”可知，所以，继而，这就得到。综上，对于 且无中断时，有。当出现良性中断时，此时，即不再与线性无关，即此步前得到的线性空间对a不变，此时方程的解 ，由定理3.2.2知，此时得到的为方程的精确解。“高等数值分析”第九次书面作业20131024题目1问：在lanczos过程中，若不考虑舍入误差，证明 与正交。证明：在lanczos算法中，且每个都是单位向量。当j=1， ，即 与正交。假设 与两两正交，那么显然对所有的kj-1成立。 即 与正交。由数学归纳法原理知，在不计舍入误差条件下， 与正交。20131024题目2问：a为对称矩阵，证明若a有重特征值lanczos过程必然会中断，反之成立否？证明：假设lanczos过程不中断，那么将进行到最后一步，得到 ，由定理2.5.2，的特征值必然彼此不同，即没有重特征值，进而a没有重特征值。由反证法原理得，若a有重特征值lanczos过程必然会中断。反之，若lanczos过程中断，a不一定有重特征值，例如 ，取，则 ， ，过程中断，但a特征值为1、2、3，无重特征值，因而原结论反过来不成立。“高等数值分析”第十次书面作业20131029题目1问：当a可逆，证明：当时（k步良性中断），必有可逆。证明：在arnoldi算法中， ，设的一个特征值 的特征向量是 ，则有，即也是a的特征值，对应特征向量为，进一步可以证明的所有特征值均为a的特征值。由于a可逆，故a无0特征值，所以无0特征值，进而得出可逆。在上述证明中，矩阵无0特征值与矩阵的行列式值不为0是等价的，这由特征值的定义式就可以证明，是显然的。20131029题目2问：考虑线性方程组 ，其中a是对称正定矩阵，用galerkin原理求解方程， ，这里是一个固定的向量。 ，证明：其中，应该取哪个向量在某种意义上是最佳的？证明：利用a的对称正定性，等式得证。考虑取一定的使得最小， 取与共线时最佳，此时最小。但包含精确解，这是在不可能得到的（否则就不需要解方程了）。在第二章讲到的最速下降法中，取的是，这是可行的。“高等数值分析”第十一次书面作业20131031题目1问：方程组 中系数矩阵是对称正定的，取。用galerkin原理求解，其中是上一步的残余向量。a) 用和满足 的向量构成k中的一组基，给出计算的公式。b) 写出从到的计算公式。c) 该算法收敛吗？解：a) 设，则，所以b) ，非奇异。 c) 可以计算得到，即该算法收敛。其中 ，是方程精确解。20131031题目2问：矩阵以及 ，m=2，完成求解的arnoldi和gmres算法，得出 和。解：arnoldi算法：step1 step2 ， step3， step4step5所以 ，下面是利用matlab实现arnoldi算法的一个程序和实验结果：clear all;clc;a=1 0 0 0;1 1 0 0;1 1 1 0;1 1 1 1;b=1 1 1 1;x0=0 0 0 0;f0=b-a*x0;h=zeros(size(a,1)+1,size(a,2);q1=f0./sqrt(f0*f0);m=2;for j=1:m for i=1:j h(i,j)=(a*qj)*qi; f1=a*qj; for t=2:j+1 ft=ft-1-h(t-1,j).*qt-1; end; fj=fj+1; end; h(j+1,j)=sqrt(fj*fj); if h(j+1,j)=0 qj+1=fj./h(j+1,j); end;end;hq=zeros(size(a,1),size(a,2);for i=1:m q(:,i)=qi;end;qe1=zeros(m,1);e1(1)=1;x=x0+q(:,1:m)*inv(h(1:m,1:m)*(sqrt(f0*f0).*e1)arnoldi算法：m=2的实验结果：h = 2.5000 -1.1180 0 0 1.1180 0.5000 0 0 0 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0q = 0.5000 -0.6708 0 0 0.5000 -0.2236 0 0 0.5000 0.2236 0 0 0.5000 0.6708 0 0x = 0.8000 0.4000 -0.0000 -0.4000在舍入误差范围内与之前人工计算的结果一致（从第三个元素为-0.0000而不是0.0000可以看出计算是有舍入误差的）。当m=n=4时，结果如下：h = 2.5000 -1.1180 0.0000 -0.0000 1.1180 0.5000 -0.4472 -0.0000 0 0.4472 0.5000 -0.2236 0 0 0.2236 0.5000 0 0 0 0.0000q = 0.5000 -0.6708 0.5000 -0.2236 0.5000 -0.2236 -0.5000 0.6708 0.5000 0.2236