商业公司的订货问题.doc

一、 问题重述某个商业公司管理者5个仓库(b1b5)和八个分店(c1c8)，只要经营10种物资，而这些物资全部向3个工厂(a1a3)进货。公司的工作流程是根据8个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。分店只消耗物资，不存储物资。各个工厂生产10种物资的全部或部分物资，年产量如表一，而各种物资单价如表二。每个工厂到每个仓库的运输单价如表三，每个仓库的容量如表四。同种物资在不同的仓库的库存费一样，而不同的物资的库存费是不同的，另外每种物资有着自己的体积，物资的库存费与单位占用库容如表五。5个仓库到8个分店的运输单价如表六，8个分店对物资的年需求量如表七。公司每次订货都会有其他的各种花费，不妨称为订货费，设公司每次的订货费为1万元，另外，一次订货可使用的流动资金上限为100万元，如果进行销售时允许缺货，但是缺货的损失费是存储费的2倍，请问：(1) 公司一年之中应该怎样组织订货(各种物资的订货次数与订货量以及运输方案)使得总的花费最少？(2) 如果a1工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，公司又应该怎样组织订货呢？(3) 若将该问题改为更加接近实际些，哪些条件可以变动？(如工厂物资的单位价格随产量的增加而相应减少)，试给出一种具体情形对于第二问再作进一步的讨论。附加说明：1、问题的开放部分可自己合理假设； 2、若数据有不合理的地方自己进行适当的修改，并在论文中说明清楚。附表：(表一:3个工厂生产10种物资的年产量)年产量(万件/年)m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10a10.2-0.30.10.320.1-0.20.15-a20.20.13-0.1-0.150.20.15-0.12a3-0.250.080.15-0.10.14-0.250.15(表二：3个工厂生产10种物资的单价)订购单价(元/件)m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10a1100-210250290300-430450500a290180-240-305380435-490a3-170210245-285400-450480(表三：3个工厂到5个仓库的运输单价)运价(元/件)b1b2b3b4b5a1-10141713a2108-916a31516915-(表四：5个仓库的库容量)仓库b1b2b3b4b5容量()8006001000700800(表五：10种物资的单价库存费和体积)物资m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10单位库存费(元/件年)407090100120120150160180200体积(/件)1.51.01.52.01.50.51.52.01.00.5(表六:5个仓库到8个分店的单位运价)运价(元/件)c1c2c3c4c5c6c7c8b132363145b2-33-5253b35-25-5-4b441442-2-b522535232(表七：8个分店对10种物资的需求量)需求量(件/年)m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10c16030080010020060040080150600c2908005001200500400200100180500c3150500400800600-800800400-c43004002004001508005001501500400c5400-150100200300-40090800c65002001000-40015010001000200400c7800120090150901000905001001000c81500200500500100090150200500200二、 模型假设1、假设年初时5个仓库储存的10种物资的量均为0，各分店刚刚开始营业；2、假设每次订货时从3个工厂各订一定量的各种物资且每次订货量和所订物资的类型相同；3、需求量稳定，并且能够预测4、假设每次取货时各分店在同一时间点到仓库取货，且向各仓库取相同数量和类型的物资；5、假设工厂的10种物资一直可以满足仓库的需求，而且随时订货都可以马上（或者很快的）运到仓库（不允许缺货，但这只是对于问题一和问题二而言）；6、忽略物资从工厂到仓库和仓库到各分店的运输时间；7、假设每次订货并把物资储存到仓库后各分店就立刻从各仓库取货，期间的间隔时间忽略；8、假设一年只有365天，闰年情况不考虑；9、假设订货周期和取货周期固定，一次订货存在仓库的货物可以供各个分店取货n次并且第n次取货刚好把各仓库的货物取完；10、假设各种物资一年内的订货次数都一样。11、假设每次的提前订货期都为0（但这只是对于问题一和问题二而言）。12、如果有订货提前期，则假设提前期为10天。13、假设商业公司订货都是先考虑通过最佳经济批量来减少花费再考虑如何安排运输方案以减少花费。三、 符号说明1、t表示仓库到工厂的订货周期（单位：天）；2、t表示各个分店到仓库的取货周期（单位：天）；3、n表示在一个订货周期t内，各个分店到仓库的取货次数（单位：次）；4、s表示一个订货周期花费的总费用（单位：元）5、表示每次从各工厂订物资的件数（单位：件）；6、表示仓库的库容量（单位：）；7、表示物资的单位库存费（单位：元/件年）；8、表示每件物资的单位体积（单位：/件）；9、表示从各仓库取物资的件数（单位：件）；10、表示订的物资存到仓库的件数（单位：件）；表示从工厂订的物资的件数（单位：件）；11、表示从工厂订的物资存放在仓库的件数（单位：件）；12、表示从各仓库取物资运送到分店的件数（单位：件）；13、表示从仓库取物资运到分店的件数（单位：件）；14、表示工厂生产的物资的出厂单价（单位：元）；15、表示每次订货后工厂向仓库的存入量（单位：件）；16、表示从工厂到仓库的运输单价（单位：元/件）；17、表示每次订货从工厂到仓库的总的运费（单位：元）；18、表示仓库到分店的单位运价（单位：元/件）；19、表示一次取货从仓库到分店消耗的总运费（单位：元）；20、表示各物资从仓库运往各分店的总运费（单位：元）；21、表示分店对物资的年需求量（单位：件/年）；22、表示工厂生产物资的年产量（单位：件/年）；23、表示一次订货的流动资金上限（单位：元）；24、表示每次订货的订货费（单位：元）；25、表示一次订货到下一次订货时间内的库存总费用（单位：元）；26、n为一年内的订货次数（单位：次）；27、q为每一次订货10种物资全部的订货量总和。四、 问题分析这是一个求最小费用的订货优化问题，我们假设订货周期t和取货周期t固定，一次订货存在仓库的货物可以供各个分店取货n次，各分店在同一时间点到仓库取货，且向各仓库取相同数量和类型的物资,第n次取货刚好把各仓库的全部货物取完。根据这些假设我们得到进货和订货的原理：年初（或者公司开始经营各分店的时间点，仓库无货）公司进货，将货物存入仓库的同时各分店向各仓库取货，再过t天（取货周期或者取货间隔时间）各分店再向各仓库取货（取货数量和物资类型与上次取货相同），照这样每隔t天取货，仓库的货物逐渐减少，直到第n次取货刚好将各仓库的物资全部取完，紧接着再过t天，由于各仓库无货，各仓库再向工厂进货同时各分店向各仓库取货。就这样不断循环下去。我们把一年怎样组织订货的问题转化成一个订货周期内的组织订货取货问题。对于问题一，我们提出的合理假设下分析一个订货周期内的组织订货取货问题。在一个订货周期内，从订货到销售过程中，总的花费包括每次的订货费、订购10种物资所花的出厂费、存储费、从工厂到仓库的运输费用、从仓库到各个分店的运输费用。因此，针对各种费用我们设出各种变量，然后根据它们之间的关系和约束条件来列出线性规划方程，得出每种物资的最佳订货量，从而根据每年对每种物资的总的需求量来确定订货次数。对于问题二，我们也是在提前期为0、不允许缺货的假设下去解决这个问题。而工厂a1有优惠活动，那我们订货时肯定倾向于a1工厂。当然也并不是说所有的物资全部从a1工厂订货，因为本身各个工厂都有年产量上的约束，而且还要考虑到a1工厂运到仓库所花的费用。另外10种物资的各自的在一个周期内的订货量在第一问的基础上是不改变的，变的只是该从每个工厂定物资多少量以及每个工厂该往送多少量。因此我们建立一个价格有折扣的存储模型，求解出一个对于a1工厂定种物资的最佳经济批量。从而再进一步算出该从a2、a3工厂定物资多少量。对于问题三，如果要将问题变得实际些，那我们就必须建立一个更接近现实生活的存储模型。于是在这个问题上我们可以假设允许缺货，随之而来的就是缺货造成的损失费，但这也会让存储费随之减少。因此，有时候缺货会让花费变得更少。而如何找到这个值呢?另外现实生活中我们不可能订货了马上就可以，肯定还需要一定的时间或才到达仓库。于是我们可以建立一个允许缺货，订货提前 期为l0（设l=10天）的eoq模型来求得。同样的，我们先最佳订购批量后我们再考虑运输方案，利用求出来的各个经济批量来先通过5个仓库到分店的单价表来算出每个仓库分别送多少量给各个分店送多少量，在反推到三个工厂到五个仓库的运输单价，然后算出各个工厂送多少货给各个仓库，从而可以利用物资的单价表算出出厂费，所以最后的总的费用为三部分组成：出厂费、运输费、经济批量所用的费用。然后各个费用通过lingo求解可得。五、 模型的建立与求解问题一的求解：（在这个问题中不考虑缺货情况带来的损失费）（一） 根据每次进货存放到每个仓库的总物资的体积不超过每个仓库的库容,确定一个约束条件：1.1假设每次公司从各工厂订物资件，其中有件物资存到仓库，则有(公式1-1)1.2又设每次订货从工厂订物资中运往j仓库的有件，则有 (公式1-2)1.3假设公司每次从各仓库取物资的件，其中有件物资运送到分店，有 (公式1-3)1.4又设每次取货从仓库取物资运往分店件，则有 (公式1-4) 1.5设物资每件体积为，仓库的容量为，根据每次进货存放到每个仓库的总物资的体积不超过每个仓库的库容，列出约束条件： ) (公式1-5)（二）由一个订货周期内取的物资刚好满足各分店的需求确定约束条件：2.1设公司向各仓库的取货周期为，分店对物资的年需求量为，则在取货后时间后分店刚好把各种物资消耗完，所以只需要取的物资刚好满足各分店的需求，于是，(公式2) 其中表示分店对物资每天的需求量。（三）由订货周期和取货周期的关系确定约束条件：3.1设订货周期为，每个订货周期内取货次，则有(公式3)（四）由每年各个工厂生产物资的年产量限制确定约束条件：4.1为了保证每年公司的订物资的数量不会超过各个工厂生产物资的年产量，必有：，(公式4)其中表示一年订货次数，表示工厂生产物资的年产量。（五）由每次订货的流动资金上限确定约束条件：5.1设公司每次从工厂进各种物资到仓库的总运费为 (公式5-1)其中为工厂运到仓库的物资总件数。5.2每次订货我们还要考虑订货的流动资金上限，设为，我们考虑到与订货有关的费用包括订货费，物资总费用和从各个工厂到各个仓库的总运费，于是， (公式5-2) 其中为公司每次从工厂进各种物资到仓库的总运费，就是每次订货的物资总费用，为每次订货的订货费，为工厂生产物资的出厂单价，为物资总费用。（六）确定一次进货周期内的总费用：6.1一个订货周期内只订一次货，订货费，物资总费用和从各个工厂到各个仓库的总运费都是与订货有关的费用，即为：6.2设一个订货周期内物资的库存费为，则一个订货周期的总库存费为： (公式6-2)6.3而一个订货周期内共取货次，且第n次刚好将全部物资取完，据此，我们得到： (公式6-3-1)那么，(公式6-3-2)6.4从仓库去货物到分店物资的总运费：，(公式6-4)其中表示仓库到分店的单位运价6.5从各个仓库到各个分店的总运费：(公式6-5)6.6一次进货周期t（即一次订货到下一次订货间的时间）内的总费用s包括与订货有关的费用(包括订货费，物资总费用，从各个工厂到各个仓库的总运费),从各个仓库运到各个分店的总运费，各种物资的总库存费： (公式6-6)（七）最后我们得到一个线性规划模型： 我们的目标就是确定订货周期，取货周期，一个订货周期内的取货次数n，从工厂订的物资存放在仓库的件数，从仓库取物资运到分店的件数，使一次进货周期内的总费用s最小。而根据经济定货批量公式：而为了方便计算，我们可以这样计算各个参数，每天的需求量 95而用同样的思想来计算出每天每件物资储存费0.336，而在现实生活中钱的最小单位是角，但是作为存储费，不能用四0.336舍五入规则来把后面小数部分去掉，而应该将第二位小数进位到第一位小数上，因此取=0.4由此可得出周期t=23q=2179;而每年的订货次数n为 n=15.8,但是考虑到年末了不可能再一次订货所以应该把0.8去掉，n取15。再利用lingo求解可得到各个值，制成表格如下：（表1：每次从3个工厂定的10种物资数量）订货量（件/次）m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10a11200200502096701331000a21337306708913382020a3016743100067760149100（表2：每次从3个工厂到5个仓库的运输数量）运输量（件/次）b1b2b3b4b5a1075700122a20005980a30070100（表3：5个仓库储存的10种物资的数量）存储量（件/次）m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10b10000000000b20240002922300145120b3740243072020901040b41800020300021500b50001310900000（表4：每次从5个仓库到8个分店的运输数量）运输量（元/件）c1c2c3c4c5c6c7c8b100000000b201650003230268b357029729300054b401740015602680b51220000000问题二的求解：此时这类问题可以用一个价格有折扣的存储模型来解决。同样的，这也是在提前期为0、不允许缺货的假设下去解决这个问题。而工厂a1有优惠活动，那我们订货时肯定倾向于a1工厂。当然也并不是说所有的物资全部从a1工厂订货，因为本身各个工厂都有年产量上的约束，而且还要考虑到a1工厂运到仓库所花的费用。另外10种物资的各自的在一个周期内的订货量在第一问的基础上是不改变的，变的只是该从每个工厂定物资多少量以及每个工厂该往送多少量。因此我们建立一个价格有折扣的存储模型，求解出一个对于a1工厂定种物资的最佳经济批量。从而再进一步算出该从a2、a3工厂定物资多少量。下面是关于价格有折扣的存储模型的一些知识：设：tc表示全年发生的平均费用；toc表示全年内用于订货的平均费用；tcc表示全年内的平均存储费用；表示与每次组织订货有关的费用（单位：元/次）；表示存储物品所需费用； d表示需求率（单位：件/年） 分析问题二和根据表格二我们可知：对于从a1工厂里订货，货物单价随着订货数量q而改变，则当0q30时，100；当30q60时，95；当60q0（设l=10天）的eoq模型来求得。下面是这个模型的一些相关知识：设tc表示全年发生的平均费用；toc表示全年内用于订货的平均费用；tcc表示全年内的平均存储费用；表示与每次组织订货有关的费用（单位：元/次）；表示存储物品所需费用；表示短缺费用（单位：元/件年）；d表示需求率（单位：件/年） 因为存在损失费，所以我们制作出如下表格：物资m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10单位损失费(元/件年)80140180200240240300320360400体积(/件)1.51.01.52.01.50.51.52.01.00.5利用问题一中模型求得全年的平均订货次数n=11次，订货费为10000元，平均存储费用为123元，而其缺货平均损失费为246元，平均消耗速率d为87件，则代入公式可得：q2897（件）mintc622568（元）六、 模型评价与改进方案模型优点：把公司的一年的订货、取货组织情况简化到一个周期的订货、取货情况，大大简化了数学模型，使建模的可行性大大增强，让人更易于理解该模型，把握其规律，利于先进理念的推广。而其中的中转站库存管理系统是集中解决订货规模和订货周期的问题，也就是什么时候订货、每次订多少货等问题。通过对定量订货模型的理论探讨和实例验证，表明订货点的订货量、经济批量、安全库存计算公式从量化的角度对库存管理决策提供了理论依据，使库存管理更加科学。另外，本模型利用矩阵来编程更具科学性，而且不易出错。模型缺点：我们所设计的模型中，公司订货与各分店到仓库取货的周期之间是一种比较理想的关系，即一个周期t内，第n次各分店到仓库取货时，正好可以把仓库中的货取完，没有考虑物资剩余的情况。在模型的改进中可以以此为基点进一步对模型进行修改，进一步降低公司开支。总之，企业在采购存货时不仅考虑材料的单价还要考虑采购成本和储存成本，同时还要考虑企业的资金，还要考虑缺货成本，本模型前两问题是在不考虑缺货情况下进行的分析，讨论经济订货批量最终目的是在保证产品质量的前提下降成本增效益，使得企业长久发展。模型的推广：本模型可以推广到各种线性规划问题和运筹优化问题七、参考文献【1】姜启源.谢金星.叶俊.数学建模（第三版）第61页 高等教育出版社,2003.【2】张杰.周硕.运筹学模型与实验:中国电力出版社,2007【3】高鸿业:西方经济学(微观部分)m.北京：中国人民大学出版社，2000.2版八、附录model1:min=y1+y2+y3+y4+y5+y6;y1=n*100*x10+n*210*x12+n*250*x13+n*290*x14+n*300*x15+n*430*x17+n*450*x18+n*500*x19+n*90*x20+n*180*x21+n*240*x23+n*305*x25+n*380*x26+n*435*x27+n*490*x29+n*170*x31+n*210*x32+n*245*x33+n*285*x35+n*400*x36+n*450*x38+n*480*x39; !(1);y2=n*10*r12+n*14*r13+n*17*r14+n*13*r15+n*10*r21+n*8*r22+n*9*r24+n*16*r25+n*15*r31+n*16*r32+n*9*r33+n*15*r34; !(2);y3=n*40*x10+n*40*x20+n*70*x11+n*70*x21+n*70*x31+n*90*x12+n*90*x22+n*90*x32+n*100*x13+n*100*x23+n*100*x33+n*120*x14+n*120*x24+n*120*x34+n*120*x15+n*120*x25+n*120*x35+n*150*x16+n*150*x26+n*150*x36+n*160*x17+n*160*x27+n*160*x37+n*180*x18+n*180*x28+n*180*x38+n*200*x19+n*200*x29+n*200*x39; !(3);y4=n*3*s11+n*2*s12+n*3*s13+n*6*s14+n*3*s15+n*s16+n*4*s17+n*5*s18+n*3*s22+n*3*s23+n*5*s25+n*2*s26+n*5*s27+n*3*s28+n*5*s31+n*2*s33+n*5*s34+n*5*s36+n*4*s38+n*4*s41+n*s42+n*4*s43+n*4*s44+n*2*s45+n*2*s47+n*2*s51+n*2*s52+n*5*s53+n*3*s54+n*5*s55+n*2*s56+n*5*s57+n*2*s58; !(4);y5=-(80*(v10-60)+140*(v11-300)+180*(v12-800)+200*(v13-100)+240*(v14-200)+240*(v15-600)+300*(v16-400)+320*(v17-80)+360*(v18-150)+400*(v19-600)+80*(v20-90)+140*(v21-800)+180*(v22-500)+200*(v23-1200)+240*(v24-500)+240*(v25-400)+300*(v26-200)+320*(v27-100)+360*(v28-800)+400*(v29-500)+80*(v30-150)+140*(v31-500)+180*(v32-400)+200*(v33-800)+240*(v34-600)+300*(v36-800)+320*(v37-800)+360*(v38-400)+80*(v40-300)+140*(v41-400)+180*(v42-200)+200*(v43-400)+240*(v44-150)+240*(v45-800)+300*(v46-500)+320*(v47-150)+360*(v48-1500)+400*(v49-400)+80*(v50-400)+180*(v52-150)+200*(v53-100)+240*(v54-200)+240*(v55-300)+320*(v57-400)+360*(v58-90)+400*(v59-800)+80*(v60-500)+140*(v61-200)+180*(v62-1000)+240*(v64-400)+240*(v65-150)+300*(v66-1000)+320*(v67-1000)+360*(v68-200)+400*(v69-400)+80*(v70-800)+140*(v71-1200)+180*(v72-90)+200*(v73-150)+240*(v74-90)+240*(v75-1000)+300*(v76-90)+320*(v77-500)+360*(v78-100)+400*(v79-1000)+80*(v80-1500)+140*(v81-200)+180*(v82-500)+200*(v83-500)+240*(v84-1000)+240*(v85-90)+300*(v86-150)+320*(v87-200)+360*(v88-500)+400*(v89-200)）; !(5);y6=10000*n; !(6);x10+x12+x13+x14+x15+x17+x18+x19+x20+x21+x23+x25+x26+x27+x29+x31+x32+x33+x35+x36+x38+x39=2179; !（7）;r11=0;r23=0;r35=0;s21=0;s24=0;s32=0;s35=0;s37=0;s46=0;s48=0; !（8）;n*x10=2000;n*x11=0;n*x12=3000;n*x13=1000;n*x14=3200;n*x15=1000;n*x16=0;n*x17=2000;n*x18=1500;n*x19=1500;n*x20=2000;n*x21=1300;x22=0;n*x23=1000;x24=0;n*x25=1500;n*x26=2000;n*x27=1500;n*x28=0;n*x29=1200;x30=0;n*x31=2500;n*x32=800;n*x33=1500;n*x34=0;n*x35=1000;n*x36=1400;x37=0;n*x38=2500;n*x39=1500; !（9）;x10+x12+x13+x14+x15+x17+x18+x19-r12-r13-r14-r15=0;x20+x21+x23+x25+x26+x27+x29- r21-r22-r24-r25=0;x31+x32+x33+x35+x36+x38+x39- r31-r32-r33-r34=0; 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