矩阵的基本运算1.ppt

第三讲内容介绍 目标：进一步了解MATLAB，能够 熟练掌握矩阵的各种基本运算法 则。 3.1 MATLAB矩阵的代数运算 3.1.1 加法和减法运算 C=A+B或 C=plus(A,B) C=A-B或C=minus(A,B) 注意：加减运算要求A、B同构，即大小一样 特别地，标量可以和任意大小的矩阵进行加减 例题3.1.1显然略讲 3.1.2 乘法运算 普通矩阵乘法：C=A*B或C=mtimes(A,B) 矩阵的数值乘法：C=A.*B或C=times(A,B) 数值乘法也叫点乘，要求A、B同构。 标量可以和任意大小的矩阵相乘（此时，普乘和点乘结果一样）。 见例题3.1.2 3.1.3 矩阵的除法 1. 方阵的求逆: B=inv(A) 2. 除法运算（分左除和右除） 1)普通除法 左除：C=AB或C=mldivide(A,B) 右除： C=A/B或C=mrdivide(A,B) 一般地，左除不等于右除；显然，若A可逆，则C=AB=inv(A)*B;若B可 逆，则C=A/B=A*inv(B); 显然，（1）对于线性方程组AX=B,若A为可逆，则X=AB=inv(A)*B; （2）对于线性方程组XA=B,若A为可逆，则X=B/A=B*inv(A); 2) 数值除法 数值左除：C=A.B或ldivide(A,B) 数值右除：C=A./B或rdivide(A,B) 要求A和B同构，是对应元素相除。 显然A./B=B.A;若B可逆，则A/B和BA不一定 相等。 注意：对于AB or B/A;A.B or B./A,A可以是 标量；而对于AB or B/A，若A是矩阵，B是标 量，则出错！对于A.B or B./A，可以B是标量 ，A是矩阵。 矩阵特征值和特征向量 E=eig(A) 求特征值 V,D=eig(A) D是特征值构成的对角阵；V是 特征向量阵，列为特征向量。 对称正定阵的cholesky分解 R=chol(A) A对称正定，R为上三角阵，R*R=A 方阵的QR分解 Q,R=qr(A) Q为正交矩阵，R为上三角阵，Q*R=A 可逆阵的 LU分解 L,U=lu(A) L是下三角阵，U是上三角阵 这些对解线性方程组还是很有利的。 3.1.4 矩阵的乘方运算 分为普通乘方和数值乘方两种，分别为： C=AB or C=mpower(A,B) C=A.B or C=power(A,B) 注意：普通乘方要求A是方阵，B是标量：若B是正整数 ，显然；若B是负整数，则AB=(inv(A)abs(B); 若B不是整数，并且A的特征值矩阵为D,特征向量矩阵为 V,则AB=V*(D.B)/V,其中D为对角阵，D.B为数值的 乘方。 对于数值乘方而言：A和B大小相等，针对元素来运算。 3.1.5 矩阵的转置和共轭转置 复矩阵的共轭转置：B=A or B=ctranspose(A); 复矩阵的转置：B=A. or B=transpose(A) 注意：共轭转置是指先每个元素求共轭，再把矩 阵转置；转置运算是点运算。 3.1.6 矩阵的函数运算 1. 常用函数见P59函数表，是对每个元素求函数值 记住一些常用函数格式！ 例. 已知 求：AB，B-1，B-AT，|A| 解：A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=1,2,1;1,1,2;2,1,1; a=A*B,b=inv(B),c=B-A,d=det(A) a = 9 7 8 21 19 20 15 22 23 b = -1/4 1/4 -3/4 3/4 -1/4 -1/4 -1/4 3/4 -1/4 c = 0 -2 -6 -1 -4 -6 -1 -5 1 det(A)=27 数据分析函数 mean(A) A中各列向量的均值 var(A) A中各列向量的方差 std(A) A中各列向量的标准差 cov(A) A中各列向量的协方差矩阵 corrcoef(A) A中各列向量的相关矩阵 其它的函数如prod(求积）、max、sum、min等 均按列进行运算。 3.2 矩阵的关系运算 所有关系表达式，matlab把“真”值输出为“1”；把“假 ”值输出为“0”。 关系运算符有：、=、=、= 注意：在关系运算中A、B结构相同，当然可以其中 一个为标量。 3.2.1 小于：C=(AB) or C=AB or C=gt(A,B) 3.2.4 大于等于 ：C=(A=B) or C=A=B or C=ge(A,B) 3.2.5 相等： C=(A=B) or C=A=B or C=eq(A,B) 3.2.6 不等：C=(A=B) or C=A=B or C=ne(A,B) 3.3 MATLAB矩阵的逻辑运算： 3.3.1 运算符有四种：1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; C=intersect(A,B,rows) C = 6 7 1 4 a=1,9,6,20;b=1,2,3,4,6,10,20; c,ia,ib=intersect(a,b) c = 1 6 20 ia = 1 3 4 ib = 1 5 7 3.4.2 两个集合的并集 格式：c=union(a,b) %返回a,b的并集，即c=a b C=union(A,B,rows) %返回矩阵A,B不同行向量构成的大矩阵， 其中相同行向量只取其一。 c,ia,ib=union() % ia,ib分别表示c中行向量在原矩阵（向量）中的位置。 A=1,2,3,4; B=2,4,5,8; C=union(A,B) 则结果为： C= 1 2 3 4 5 8 A=1,2,3,4;1,2,4,6; B=1,2,3,8;1,1,4,6; C,IA,IB=union(A,B,rows) C = 1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6 IA = 1 2 IB = 2 1 3.4.3两个集合的差集 格式：c=setdiff(a,b) %返回属于a但不属于b的不同元素 的集合，即c=a-b. C=setdiff(A,B,rows) %返回属于A但不属于B的不同行。 C,I=setdiff(.) %C与前面一致，I表示C中元素在A 中的位置。 【例】 A=1,7,9,6,20;B=1,2,3,4,6,10,20; C=setdiff(A,B) C = 7 9 【例】 A=1,2,3,4;1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; C=setdiff(A,B,rows) C= 1 2 3 4 1 2 4 6 3.4.4 异或集 格式：c=setxor(a,b) %返回集合a,b交集的非。 C=setxor(A,B,rows) %返回矩阵A,B交集的非， A,B有相同列数。 x,ia,ib=setxor(.) %ia,ib表示其中元素分别在a（ 或A），b（或B）中的位置。 【例】 A=1,2,3,4; B=2,4,5,8; C=setxor(A,B) C = 1 3 5 8 【例】 A=1,2,3,4;1,2,4,6;6,7,1,4; B=1,2,3,8;1,1,4,6;6,7,1,4; C,IA,IB=setxor(A,B,rows) C = 1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6 IA = 1 2 IB= 2 1 向量的点积 格式：C=dot(A,B) %A,B为向量且长 度相等，则返回向量A与B的点积。若为 矩阵，则它们必须有相同的维数。 C=dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与 B的点积。 【例】 A=1,2,3; B=3,4,5; dot(A,B); %计算向量A，B的 点积，结果为26 还可用另一种算法：sum(A.*B). 向量的叉积 两向量叉积是一个过相交向量的交点且垂直两向量的平 面的向量，在MATLAB中， 用函数cross实现。 格式：C=cross(A,B) %A，B为向量，则返回A与B的 叉积，即C=AB、A、B为3个元素的向量；若为矩阵， 则返回一个3n矩阵，其中列是A与B对应列的叉积，A， B都是3n矩阵。 C=cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A,B的叉积 ，必须有相同的维数，size(A,dim),size(B,dim)必须是3【 例】A=1,2,3; B=3,4,5; cross(A,B); %计算向量A， B的叉积，结果为：-2 4 -2 向量的混合积 混合积由以上两个函数来实现. 【例】 计算向量a=(1,2,3),b=(4,5,6)和c=(-3,6,-3)的混 合积a(bc). 解： a=1,2,3;b=4,5,6;c=-3,6,-3; x=dot(a,cross(b,c) 结果显示： x = 54 注意：先叉积后点积，顺序不可颠倒. 向量的长度 命令 sqrt(dot(A,A) % 或sqrt(sum(A.*A) 可求出向量的长度. 向量的方向角 由定义，向量的方向余弦为，,所以： L=sqrt(dot(A,A); %计算向量A的长 度 alpha=acos(A(1)/L); %计算向量A与x轴 的夹角 beta=acos(A(2)/L); %计算向量A与y轴 的夹角 gamma=acos(A(3)/L); %计算向量A与z 轴的夹角 向量的夹角 向量A，B间的夹角，由可得，所以： L1=sqrt(dot(A,A); %计算向量A的长 度 L2=sqrt(dot(B,B); %计算向量B的长 度 c=dot(A,B); %计算向量A，B的点积 alpha=acos(c /L1/L2) %计算向量A ，B间夹角 点与点之间的距离 由两点间距离公式，所以： s= A-B; L=sqrt(dot(s,s) %计算两点A，B间的距离 3.4.5 集合元素的检测 检测一个集合中的元素是否在另一个集合中 （1）C=ismember(A,S):集合A是向量或矩阵，C与A 大小相同，且只包含0、1,若A的元素在S中，则在A的 对应位置处，C的取值为1，否则为0。 （2） C=ismember(A,S，rows):矩阵A和S的列数相 同，C是与A行数相同的列向量，若A的行在S中，则C 的对应的行处的值为1，否则