2011质点运动微分方程.ppt

引引 言言 回回 顾顾 静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化； 运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力； 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学 中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况 。 低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。 动力学的研究对象：动力学的研究对象： 动力学的理论基础：动力学的理论基础： 牛顿定律的适用范围（牛顿定律的适用范围（1 1）不适于微观物体；（）不适于微观物体；（2 2）物体的运动速）物体的运动速 度不能太大。度不能太大。 牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律 动力学分为质点动力学和质点系动力学：动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点 系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统 ） 本课程重点放在质点系动力学。本课程重点放在质点系动力学。 牛 顿 牛顿在光学上的主要贡献是发牛顿在光学上的主要贡献是发 现了太阳光是由现了太阳光是由7 7种不同颜色的光种不同颜色的光 合成的，他提出了光的微粒说。合成的，他提出了光的微粒说。 牛顿在数学上的主要贡献是与牛顿在数学上的主要贡献是与 莱布尼兹各自独立地发明了微积分莱布尼兹各自独立地发明了微积分 ，给出了二项式定理。，给出了二项式定理。 牛顿在力学上最重要的贡献，牛顿在力学上最重要的贡献， 也是牛顿对整个自然科学的最重要也是牛顿对整个自然科学的最重要 贡献是他的巨著贡献是他的巨著自然哲学的数学自然哲学的数学 原理原理。这本书出版于。这本书出版于16871687年，书年，书 中提出了万有引力理论并且系统总中提出了万有引力理论并且系统总 结了前人对动力学的研究成果，后结了前人对动力学的研究成果，后 人将这本书所总结的经典力学系统人将这本书所总结的经典力学系统 称为牛顿力学。称为牛顿力学。 解决动力学两类基本问题的途径：解决动力学两类基本问题的途径： 直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程； 综合应用动力学普遍定理；综合应用动力学普遍定理； 应用达朗伯定理。应用达朗伯定理。 牛牛 顿顿 力力 学学 动力学的主要任务（解决的基本问题）：动力学的主要任务（解决的基本问题）： 第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力； 第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。 第十章第十章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程 10-1 10-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 10-2 10-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程 10-3 10-3 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律） 10-1 10-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动 。 本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。的性质，即惯性。 说明：说明： 匀速直线运动称为惯性运动。匀速直线运动称为惯性运动。 明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。 第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小 ，加速度的方向与力的方向相同。，加速度的方向与力的方向相同。 即即 此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系的定量关系 。 质量是质点惯性的度量。质量是质点惯性的度量。 说明：说明： 在地球表面，物体受重力作用，有在地球表面，物体受重力作用，有 P = P = m mg g 式中，式中，g g 重力加速度，一般取重力加速度，一般取 g g = 9.80 m/s= 9.80 m/s 2 2 。 第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相 反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 动力学基本定律说明：动力学基本定律说明： （1 1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。 工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动 的坐标系为惯性坐标系，的坐标系为惯性坐标系， （2 2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。 10-2 10-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程 x o z y r i j k F1 Fn Fi a FR a a a M 根据牛顿第二定律，若质点根据牛顿第二定律，若质点MM的质量的质量 为为mm，受，受n n个力个力F F 1 1 , , F F2 2 ,., ,., F F n n 作用，作用， 则有则有 或或 而而 则则 矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。 1. 1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的质点运动微分方程在直角坐标轴上的 投影投影 x o z y r i j k F1 Fn Fi a FR a a a M 将式将式向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得 直角坐标形式的质点运动微分方程直角坐标形式的质点运动微分方程 2. 2.质点运动微分方程在自然轴上的投影质点运动微分方程在自然轴上的投影 b n a F () () m 在质点在质点MM的运动轨迹上建立自然轴系的运动轨迹上建立自然轴系MM bnbn， 根据点的运动学知，质点的加速度在运动根据点的运动学知，质点的加速度在运动 轨迹的密切面内，即轨迹的密切面内，即 所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内， 则则 自然轴系的质点运动微分方程自然轴系的质点运动微分方程 10-3 10-3 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题 第一类基本问题：第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。已知质点的运动，求此质点所受的力。 如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加 速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。 求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归 结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用 力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际 问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更 多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解 。 注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应 注意投影的正负号。注意投影的正负号。 1 1、求质点的加速度、求质点的加速度 y x o y x 解：解： 例题例题1 1 质点质点MM的质量为的质量为mm，运动方程是运动方程是x x = = bcostbcost, , y y = = dsintdsint，其中其中b b, , d d, , 为常量。求作用在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。 i j 2 2、求质点所受的力、求质点所受的力 由由 得得 M 讨论：讨论： 力的方向永远指向椭圆中心，为力的方向永远指向椭圆中心，为有心力有心力； 力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。 易知：易知： 求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程： 从运动方程中消去从运动方程中消去 t t，得得 y x o r i j y x M F 质点所受的力可表示为质点所受的力可表示为 例例2 2 在均匀的静止液体中，质量为在均匀的静止液体中，质量为m m 的物体的物体M M 从液面处无从液面处无 初速下沉。设液体阻力初速下沉。设液体阻力 F FR R = = ，其中其中 为阻尼系数。试分为阻尼系数。试分 析该物体的运动规律及其特征。析该物体的运动规律及其特征。 解：为建立质点 M 的运动微 分方程,将参考坐标系的原点 固结在该点的起始位置上，x 轴铅直向下。该质点的受力 图如图，则质点M的位移、速 度、加速度均设为沿x 轴的正 方向。则运动微分方程为 FR 8.3 质点动力学的两类基本问题 FR 令 这就是该物体下沉的运动规律。 运动的起始条件为：t = 0时，v0 = 0，x0 = 0 8.3 质点动力学的两类基本问题 该物体下沉速度将趋近一极限值 这个速度称之为物体在液体中自由下沉的极限速度 讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的 大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速 度度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这 个道理。个道理。 8.3 质点动力学的两类基本问题 例题例题3 3 已知桁车吊的重物重为已知桁车吊的重物重为G G，以匀速度以匀速度v v 0 0 前进，绳长为前进，绳长为 l l 。求突然刹求突然刹 车时，绳子所受的最大拉力。车时，绳子所受的最大拉力。 解：研究重物解：研究重物 ， 桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动 。 当其摆至当其摆至 角处，受力如图。角处，受力如图。 由自然轴系的质点运动微分方程，有由自然轴系的质点运动微分方程，有 (a)(a) (b)(b) 可知，拉力可知，拉力 T T 与重物的速度与重物的速度 v v 、摆角摆角 有关，有关， v0 T G n v 对对(a)(a)式进行分离变量并积分：式进行分离变量并积分：