微积分(下)知识系统总结.doc

周世国：微积分（下）知识系统总结 微积分（下）知识系统总结一.多元函数微分法例1 求.【解】.【其中均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.例2 证明极限不存在.【证】（一）让动点沿直线趋于点时， . （二）让动点沿抛物线趋于点时， .所以，极限不存在.例3 设,求.【解】； ； 例4 求曲线在点处的切线方程及切线对于轴的倾角的度数.【解】（一）的参数方程为 （为参数）. 点对应参数，故切向量为 .所以，点处的切线方程为.（二）因为，所以切线对于轴的倾角的度数为.例5.设求，.【解】因为【上述结论中用到及，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，. 同理，.例6. 设函数在点处有偏导数，求.【解】 .例7.设,求.【解】. 式两边关于求导得 ，所以， ；式两边关于求导得 ，所以， .因此 .例8.设，可导，求.解；.所以 例9. 求的二阶偏导数.【解】 ； . . ； .例10.设，且，求常数，使得 . 【解】； . 【因为】 . 将, 代入得 化简得. 由式即得 .例11. 求曲面在点处的切平面方程和法线方程.【解】令. 则曲面在点处的切平面的法向量为 .所以在点处的切平面方程为 .化简得 .法线方程为 .例12. 设，求，.【解】 ； .例13.设 由函数所确定，求.【解】两边全微分，并利用一阶微分形式的不变性得，即所以 .例14. 设由方程 得到，求，.【解】（一）式两端对求导并注意到是关于的二元函数得 ，即 . 由式解得 . （二）式两端对求导并注意到是关于的二元函数得 ，即 . 由 式解得 . （三）由式得 【代入】 .例15.求曲面：上平行于平面的切平面方程.【解】设 .设上点处的切平面平行于平面处的切平面的法向量为处的切平面方程为 根据题意知 / ，且 .、联立解得 ，或者故 或.所以，由得所求切平面方程为 或例16. 设可微，试验证： 满足方程 .【证】 ； .所以 【由式】例17. 设函数具有二阶连续偏导数，且满足等式. 试确定的值，使等式在变换下化为.【解】因为 ； . 故有 . . . 将、代入式左边，得 左 因此方程化为 . 因此要使在变换下化为，必须 解之得 或 例18. 求由确定的.【解】令，则；.，由公式.所以 .例19. 设函数由方程所确定，且为可微函数，求.【解】由得由微分形式的不变性，有即于是有所以得.例20.求的极值.【解】（一）解方程组 故得唯一驻点：；无不可微点. （二），；.在处，因为；，故为函数的极小值.例21.求在区域上的最值.【解】（一）内部解方程组 ；（舍）；（舍）；.因此得区域内三驻点：、.计算得，.（二）边界1.在区域的边界上，由于 令，得在区间内的驻点为.计算得，.2.在的边界上，由于 令，得在区间内的驻点为.计算得，.（三）比较，及，知在区域上的最小值为，最大值为.例22. 求曲面到平面的最短距离.【解】在上任取一点，则点到平面的距离的平方为.问题转化为求在条件下的条件极值.令.由方程组解得.故得到唯一的条件极小值点，所以，所求最短距离为.例23.证明曲面上任意一点处的切平面在各个坐标轴上截距之和为【证明】在曲面上任取一点，则曲面在该点的且平面方程为 即 注意到点在曲面上，故有 因此可化为 进一步，上式可化为截距式方程 由 式可知此切平面在坐标轴上的截距分别为 其和为 例24. 某工厂生产甲种产品（百个）和乙种产品（百个）的总成本（单位：万元）函数为 .甲、乙两种产品的需求函数分别为，.其中、分别为产品甲、乙相应的售价（万元/百个），求两种产品产量各为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？【解】产品利润 .解方程组 故得唯一驻点：；无不可微点. ，；.在处，因为；，故（万元）为最大利润.例25. 在曲面位于第一卦限部分求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小.【解】（一）令.任取的位于第一卦限上的一点，则在处的切平面的法向量为.在处的切平面的方程为即.注意到在曲面上，故有.于是式化为.进一步可化为.所以，切平面在三个坐标轴上的截距分别为.（二）切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为.求四面体的体积最小体积问题可转化为求函数在条件下的条件极小值问题.令.由方程组解得.故得到唯一的条件极值点，所以所求点即为. 二.空间解析几何例1. 已知点， 求：（1）同时与及垂直的单位向量；（2）的面积.【解】（1）. .所以，同时与及垂直的单位向量为 .（2）的面积.例2. 设向量，.求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）向量的夹角.【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） ；，故 ，所以向量的夹角为 例3.设向量，为单位向量，且满足 .求：.【解】由式得 ； ； .即 ； ； ； 将、相加得 所以，三.二重积分在计算二重积分时,对于已经给定的区域,一般需画出它在坐标系中的草图,再根据题目的要求,参考图形定出积分的限,或者根据的特点选择恰当的积分方法并定出积分的限.(1) 对于已经累次积分式,若要按新的要求定积分的限,一般先将原积分限转化为函数不等式表示,再画出积分域,然后按照题目要求重新定出新的积分限.(2) 当积分域的边界由直线、抛物线、双曲线等围成时,可以考虑直角坐标计算法.(3) 当积分域的边界由圆(或圆的一部分)、圆环(或圆环的一部分),扇形且被积函数为的形式时,可以考虑极坐标计算法.(4)被积函数含有绝对值符号时,令被积函数,则可以将积分区域分成两个部分,在和上具有不同的符号,再有在和上分别积分相加即可.例1.设连续，且， 由围成，求【解】设 ，则. 两边在上做二重积分得 ，即 . 其中 由式解得 ，所以 例2. ，其中是顶点分别为，的三角形区域.【解】【分部】.例3.求,其中是曲线所围成的闭区域.【解】原式例4.求,其中是曲线所围成的闭区域.【解】原式例5. ，其中是矩形区域：.【解】以直线及将区域分成三个子区域：.其中， ，其中 ； ； .所以 例6. 计算.【解】积分区域是由直线、及轴所围成的三角形区域.改变积分次序得 【分部】 .例7. 求由平面及所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知.其中积分区域是面内由直线及轴、轴所围成的平面区域. . .例8. 求，其中是圆周及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】【极坐标】【令】【分部】.例9. .设为连续函数，且，其中，求极限.【解】【极坐标】.故.所以【代入】.例10. ，；【解】以直线将积分区域分块：其中由圆周及轴和直线所围成；其中由圆周及轴和直线所围成.【极坐标】.例11.求.【解】【极坐标】.例12.求，【解】原式= 例13.求【解】交换积分次序，得原式例14. 设区域，为区域上的连续函数，且 . 求.【解】记 . 则成为 . 由得 . 其中，根据几何意义及性质可知. .所以由式得到 .将代入即得到.例15.求，其中【解】此题中积分区域本来是非常规范的矩形域 但由于被积函数为分段函数，故需要用直线将积分区域分成两个小区域.即，则原式=.其中，于是原式=例16.求,其中【解】 设，则，所以 例17.求,其中【解】原式例18.证明：【证明】一方面：； 另一方面：【注意】后一不等式用到了：当例19.求，其中.【解】原式例20. 设在上连续，且满足，求.【解】（一）由于 ，所以. （1）两边同时对t求导，得 .即. 为一阶线性非齐才次微分方程.（二）由公式，解方程，得 . 又显见，代入，得：C=1.所以，四.三重积分三重积分的计算总的说来有四套系统，其中直角坐标系下有“先单或重”（或“先一后二”，俗称“切丝法”）及“先重后单”（或“先二后一”，俗称“切片法”）两套,在直角坐标系下计算三重积分，对于给定的区域,一般需画两个图：自己对应的立体图及出它在某个坐标面上的投影区域的图.如果没有特殊需要，往往选择将投影在坐标面上.正确地给出每次积分的上、下限是计算三重积分的关键，定限的法则仍然是“穿阵引线”法；计算三重积分的第三套系统是柱面坐标系，当投影区域是圆域(或圆域的一部分)、圆域环(或圆环域的一部分),扇形区域且被积函数为的形式时,可以考虑柱坐标计算法；计算三重积分的第四套系统是球面坐标系，当投影区域是球域(或球域的一部分)、锥域(或锥域的一部分)且被积函数为的形式时,可以考虑柱坐标计算法.被积函数含有绝对值符号时,令被积函数,则可以将积分区域分成两个部分,在和上具有不同的符号,再有在和上分别积分相加即可.要善于综合利用积分区域关于某个（或某几个）坐标面的对称性并结合被积函数关于相应的自变量的奇偶性来简化运算.有时也可巧妙地利用轮换对称性解决问题.例1.将三重积分化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面，所围成且在第一卦限内的区域；【解】 向面上投影区域为，所以.（2）由双曲抛物面及平面，所围成的区域；【解】 向面上投影区域为，所以.（3）由曲面及所围成的区域.【解】联立 消去，得 向面上的投影区域为 .故 所以 .例2.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1），其中是由平面，及曲面所围区域. 【解】在坐标面上的投影区域为三角形区域故 .（2），其中是由平面，及所围成的四面体；【解】在坐标面上的投影区域为三角形区域故 = （3），其中是由抛物柱面以及平面， 所围成区域.【解】在坐标面上的投影区域为故 =.【其中；【分部】.】例3.利用柱面坐标计算三重积分.（1），其中是由曲面及平面所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算 如采用柱面坐标系：（2），其中是由曲面及平面所围成的区域；【解】（柱面坐标法）在坐标面上的投影区域为 .（3），其中是由球面及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）在坐标面上的投影区域为 .例4.利用球面坐标计算三重积分.（1），其中；【解】（球面坐标法）.（2），其中是由抛物面之上，球面之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立消,得在坐标面上投影区域 所以.【其中【令】；】（3），其中.【解】（球面坐标法）.例5.采用三种坐标计算三重积分，其中.【解法一】（柱面坐标法）联立消,得在坐标面上的投影区域为 （令） 【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域分成两个子区域： 其中 则 =【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将分块为.其中，； ，. ； .所以 = .例6.若柱面与平面，所围成的柱体内任一点处的密度，试计算该柱体的质量.【解】 其中；.所以 .【其中 【柱面坐标】 ； 【柱面坐标】 .】例7.分别用定积分、二重积分和三重积分求由和所围成的立体的体积.【解】联立消,得在坐标面上的投影区域为（一）定积分 过轴上任意一点作的截面，则该截面的面积为 所以的体积为 .（二）二重积分 【极坐标】 .（三）三重积分 【球面坐标】 .例8.设在处可导，且，求极限，其中.【解】.所以 【由】【洛必达法则】.例9.利用适当的坐标计算下列三重积分.（1），其中是由平面及抛物柱面所围成的区域；【解】因为积分区域面对称，而被积函数关于为奇函数，故事实上，在直角坐标系下计算得.（2），其中平面及柱面所围成的在第一卦限内的区域；【解】本题宜采用柱面坐标计算.（3），其中；【解】本题宜采用球面坐标计算.（4），其中是由柱面及平面，所围成的区域；【解】本题宜采用柱面坐标计算.（5），其中是由与所围成的立体；【解】本题宜采用柱面坐标计算.联立消去得，投影区域为. （6），其中；【解】本题宜采用柱面坐标计算.（7），其中是由及所围成的立体.【解】其中所以.【其中 ；.】例10.化三重积分为球坐标下的三次积分，其中，.【证明】 .例11.将三重积分分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的累次积分，其中是由与所围成的区域；【解】（一）直角坐标系联立消去，得在面上的投影区域为.因此所以.（二）柱面坐标系在柱面坐标系中可表为所以.（三）球面坐标系在球面坐标系中可表为所以.五.重积分的应用例1.求由曲线所围平面图形的面积.【解】化曲线为极坐标表示：，.由对称性知 【极坐标】.例2.求由曲面及所围成的立体的体积.【解】联立 消去，得 向面上的投影区域为 .所以的体积为 .例3.求由曲面所围立体的体积.【解】做球坐标变换： 则在球坐标下的方程为 例4.证明：曲面 任一点处的切平面与曲面所围立体图形的体积为定值.【证明】任取曲面上一点.令 .则在点处的切平面的法向量为 .在点处的切平面的法平面为 . 即 . 又由于，故 . 将式代入式得 . 联立 消去，得 【由】，故向面上的投影区域为 . 所以，的体积为 【由】 令 则所以 .从而与所围立体图形的体积为定值.例5.形状如，（单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为立方米的液体在该容器内的高度是多少？【解】设对应于容积为立方米的液体在该容器内的高度是（米）.由题意知 . 其中 . . 将式代入式得 ，即 ，解之得（米）.例6.求均匀密度的半椭圆平面薄片的质心.【解】设的质心坐标为.由质心坐标公式得； 【其中令则由对称性知； ；又 .故 ；.所以，平面薄片的质心为.例7.设平面薄片所占的区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求此薄片的质心.【解】设的质心坐标为.由质心坐标公式得； ； ； . 故 ；.所以此薄片的质心为. 例8.证明圆锥体的质心在从底到顶点的四分之一处.【证明】设圆锥体为.设的质心坐标为.由质心坐标公式得；. 因为关于面对称，因此显然；同理，.所以，.【切片法】 . 又 .故 . .所以薄片的质心为，恰位于圆锥体的质心在从底到顶点的四分之一处. 例9.设面密度为常数的均匀薄片所占的区域如下，求指定的转动惯量.（1），求；【解】令则所以 .（2），求和.【解】； .例10.求由抛物面与，所围成的密度均匀（）的立体对轴的转动惯量.【解】由公式 【切片法】 .例11.求下列曲面块的面积.（1）球面包含在园柱面内的部分；【解】设，故 .由对称性球面含在圆柱面内的部分面积【极坐标】 .（2）平面在圆柱面内的部分；【解】由，故 .在坐标面上的投影区域.（3）圆锥面被圆柱面截下的部分；【解】. 由曲面方程，得 ，所以， .因此 （4）圆锥面夹在平面和之间的部分.【解】. 由曲面方程，得 ，所以， .因此 例12.求由底面圆半径相等两个直圆柱与所围成的空间立体的表面积.【解】由对称性知，只须求出在第一卦限的且位于坐标面上方的那一小曲面块的表面积，再乘以即可.向坐标面上的投影区域为.将的方程改写为. .故的面积是 .所以，的表面积.例13.求由旋转抛物面和圆锥面所围成的空间立体的表面积.【解】抛物面和圆锥面的交线为 联立消去，得在坐标面上的投影区域.记的属于圆锥面的那部分表面为，则. .所以，的面积是；又记的属于抛物面的那部分表面为，则. .所以，的面积是【极坐标】 .所以， 的表面积为 .例14.设半径为的球面的球心在定球上，当取何值时，球面在定球面内部的那部分面积最大？【解】设球面的方程为.两球的交线为因此，在坐标面上的投影区域.由，得 则在定球内的那一部分的面积为 【极坐标】 .令 ，解得 .又因 ，所以当时，在定球面内部的那部分面积最大.例15.求由旋转抛物面及平面所围成的立体的体积.【解】联立消去，得向面上的投影区域为圆域：.所求立体的体积为令则所以又.所以，例16.设是由闭曲线所围成的区域，求其面积.【解】显然曲线关于两坐标轴均对称.化曲线为极坐标表示：面积.例17.求下列曲面块的面积.（1）园柱面夹在和之间的部分；【解法一】记圆柱面位于第一、四卦限那部分曲面块为，并改记，向面上的投影区域为.所以，所求面积为.【解法二】其实此题用中学方法立即可得答案为.（2）抛物面被锥面截下的帽状部分.【解】联立消，得在面上投影区域为.所以，所求面积为【极坐标】.例18.计算空间区域，的体积.【解】注意到，即表一张椭球面；而，即则表一张椭圆抛物面.即是椭圆抛物面之外，椭球面之内的那部分立体.联立，消，得在面上投影区域为.所以.作变换 则记则.【注意】此题答案与书后不一致.例19.已知均匀半球体球心位于原点，半径为，现靠圆形平面的一旁拼接一个半径与球体的半径相同的均匀圆柱体，并且使拼接后的整个立体质心位于球心，问圆柱体高应为多少？【解】根据题意知可设半球面的方程为，并设圆柱面的方程为.记为由半球体与圆柱体拼接而成的立体.设的质心坐标为.由质心坐标公式得；.因为关于面对称，因此显然；同理，.所以，.【其中为半球体，为圆柱体.【切片法】.【切片法】.】故.由式知，要使的质心在原点，只须.六.曲线积分与曲面积分（一）第一型曲线积分 （1）几点注意：（i）在定义中，中不是独立的，共同受的方程的约束，即：,由此启发我们计算第一型曲线积分的方法是将其化为一元函数的定积分进行计算.其实，这点从第一型曲线积分的记号上也可以猜出.（ ii）.（iii）如果是分段光滑的：，则.（iv）如果是封闭曲线，特记为.（v）之长度.（vi）的物理意义：把看成线密度时曲线型构件的质量.（vii）的几何意义：当时表示以为底、以轴为母线的曲顶柱面的面积.（viii）推广；空间曲线上的第一型曲线积分. （2）第一型曲线积分的计算方法：设，在上有连续的一阶导数，则 注意：定限的原则是下限必须小于上限.例1.计算下列第一型曲线积分（1），其中；【解】,故.（2），为圆周；【解】 把圆周写成标准方程.它的参数方程是.因为，所以【在任何一个周期上的积分都相等】 .【解法二】化为极坐标表示：则 所以， (3), 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界; 【解】 L1: y=x2(0x1), L2: y=x(0x1) . . （4）求，其中【解】 所以（令） （令） （5）, 其中L为内摆线. 【解】L的参数方程为x=acos3t, y=asin3t(0t2p). x(t)=3acos2t(-sin t), y(t)=3asin2tcos ； , ；在L上，所以有 .（6）计算，【解】 将化为极坐标形式，令 ，则的方程化为（双纽线）.由于积分曲线关于轴、轴均对称，且被积函数关于或均为偶函数， 其中为在第一象限那部分曲线.对应的极半径，由得从而 例2.设有某种物质分布在椭圆上，其密度为. 求它的总质量.【解】 引入椭圆的参数方程，则总质量令令 .例3.求为从点A（1，1，1）到点B（2，2，2）的直线段.【解】直线的参数方程为：， 所以，.例4.设曲线的长度为，而函数在包含的某个区域内连续. 证明：【证明】 由第一型曲线积分的定义 故 例5.求，其中L：.【解】由对称性例6.试求柱面包含在球面内部的那部分面积.解：由对称性其中，例7.试用曲线积分求平面曲线绕直线旋转所生成的旋转曲面的表面积.【解】（微元法）在上任一点处取微元ds.ds绕旋转所生成曲面可近似看成圆柱面，面积为：.其中， 为点到直线的距离.所以， .（二）第二型曲线积分（1）几点注意（i）注意这里的积分曲线弧是讲究方向的！（ii）中不是独立的，共同受的方程的约束，即：.由此启发我们计算第二型曲线积分的方法也是将其化为一元函数的定积分进行计算.其实，这点从第二型曲线积分的记号上也可以猜出.（iii）规定（ iv）.（v）如果是分段光滑的：，则.（vi）如果是封闭曲线，特记为.（vii）的物理意义：质点在变力作用下沿有向曲线弧移动过程中，力所做的功.（viii）无几何意义，不可用对称性！（2）第二型曲线积分的计算方法设曲线的参数方程为并设时对应于曲线的起点；时对应于曲线的终点，曲线上的对应点由变化到.类似地可得 （1） （2） （3）注意：以上的公式（1）（3）中所有的下限都未必小于上限！例1.计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向：（1），其中为抛物线.【解】 .（2），其中为折线.【解】 ，则 .(3), 其中L为圆周x2+y2=a2(按顺时针方向绕行); 【解】 圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t从2p变到0, 所以 . （4），其中为曲线.【解】 .例2.计算曲线积分. 其中（1）为从点点的直线段；（2）为逆时针方向的圆周.【解】 （1）取为参数，注意，则.（2） 引入曲线的参数方程，即 则 .例3. 求在力作用下, 质点分别沿下列路径所做的功：(1)直线y=2x, z=2x由点(0, 0, 0)到点(3, 6, 6)； (2)圆周x2+y2=4, z=0, 由(2, 0, 0)出发依逆时针方向回到(2, 0, 0) .【解】(1) . (2) .例4.把第二型曲线积分化为第一型曲线积分，其中为沿抛物线从点到点.【解】 曲线L上点(x, y)处的切向量为, 单位切向量为 . 故 . 例5.计算曲线积分，其中为从点经圆弧到点的那一段.【解】=.例6. 设点，质点沿以为直径的半圆周从到 按逆时针运动，所受力为，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段且与轴正向夹角小于求变力对质点所做的功.【解】 设按题意，变力的大小为 向径，的单位向量为则变力的单位向量应为所以 变力圆弧的方程为化为参数式即为 所以变力对质点所做的功为 例7. 在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的哪一点做功最大？并求出最大值.【解】设椭球面上第一卦限的点为，则过原点和的直线方程为.故所做功为.也就是说到椭球面上任一点所做功为.现在要求在椭球面的最大值.引入朗格朗日函数，求出该函数唯一驻点为故该唯一驻点就是最值点，最大功例8. 在过点和点的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲线从到的积分的值最小.【解】将以参数方程形式表示为令 令，得或（舍去）是函数的驻点.又，所以在处取到最小值.故所求曲线为.例9.计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.【解】.例10.已知曲线的是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，求.【解】的参数方程为代入到曲线积分得：.（三）格林公式定理：设平面闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有： 其中L是的取正向的边界曲线.注意：在使用格林公式之前要先验证三个条件是否都成立！例1.利用格林公式计算下面的曲线积分（的方向为正方向）（1），是顶点为的三角形正向边界；【解】 .（2），（顺时针）；【解】.（3）.（4），其中为区域，的边界曲线.【解】 【格林公式】 .【其中 （分部） （分部） （兜圈子）.所以 . 】例2. 计算，其中L是椭圆，沿逆时针方向.【解】利用格林公式：.其中，D为由椭圆围成的区域.由于D关于x轴对称，而为的奇函数，故由对称性，.所以， (D之面积).又由于是椭圆域，故A=.例3.计算曲线积分，其中L为沿摆线到.【解】有此积分与路径无关,取直线段从变到0,则 .例4. 计算曲线积分，其中是由位于第一象限中的直线段与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到.【解】这个积分如直接用参数方程法计算是很困难的，同学们可以自己用此法试一下.所以不妨考虑使用格林公式，不过，这里的积分曲线不封闭，不能直接使用.增加辅助线，使得成为封闭曲线.记D为所围成的区域.由格林公式，得： 之面积）=； 又，故例5.设函数在正半轴上有连续导数且若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线，都有 求函数【解】 曲线积分与路径无关的等价定义，即将改写成(一阶线性非齐次微分方程)，则 .由初始条件，得，因此，.例6. 计算为不过原点的正向封闭光滑曲线.【解】若不包围原点，则在所围区域上一阶偏导连续，由格林公式，若包围原点，则在上一阶偏导不连续，不可直接用格林公式.取适当小的，做圆（逆时针），在由()所围区域内一阶偏导连续，根据格林公式，从而（四）平面上的曲线积分与路径无关1平面上的曲线积分与路径无关的定义：设平面区域是一个开区域，函数在上具有一阶连续偏导数，如果对于内的任意两点、以及从到的任意两条有向曲线弧都恒有： 则称曲线积分在内与路径无关.2平面曲线积分与路径无关的等价定义：设平面区域是一个开区域，函数在上具有一阶连续偏导数，如果沿内任意一条闭曲线都有： 则称曲线积分在内与路径无关.3定理2.（曲线积分在内与路径无关的充分必要条件）：设是一个平面单连通区域，在内具有一阶连续偏导数，则在内与路径无关在内处处成立.例1.验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：（1）；（2）.【解】（1）因在整个平面上恒成立，所以必为某一个函数的全微分.可取（其中）；（2）.所以，必为某一个函数的全微分.取，则例2. 是某函数的全微分，求【解】： 因为已给微分式是某函数的全微分，于是即 此为一阶线性方程，其通解为 由，得所以例3.设可微函数且沿平面区域内任何一条封闭曲线均有 求【解】 因为沿平面区域内任何一条封闭曲线均有 所以，即 ，整理得 ，此为贝努利方程.令则.由公式 .所以 由定解条件得即例4.设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有.证明：对内任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有【证明】为使对内任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有，只需即.故只需证明 成立.为此在两边关于t求导得. 令中，则有.例5设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意恒有 求.【解】由积分与路径无关的条件知， 于是，其中为待定函数.由于积分与路径无关，选择积分路径的折线积分：类似地，选择积分路径的折线积分：.由题设知两边对求导，得 从而 （五）第一型曲面积分1.注意：（i）如果是分块光滑的：，则 ；-（3）（ii）如果的面积）；（iii）物理意义：曲面型构件的质量；（iv）存在性：如果在上连续，则必存在；（v）当为闭曲面时，记为；（vi）=；（vii）.2.计算方法（1）.计算公式：（i）设积分曲面的方程由给出，则.所以 （