数学竞赛资料.doc

取，,则它的积分和为 由此可见积分和极限与他的取点有关，故d不可积。（2）riemann 可积，积分值为0对，在区间在区间0,1中，分母小于的有理数只有有限个，设不超过m个；令 ，任意分割0=；当a=max，任意取点，它的积分和为，其中第一个和式是对小区间有分母小于的有理式求和，这有第二个和式是对小区间没有分母小于的有理数求和，则有例3 求分析：利用定积分定义：原式= 2、n-l公式例1 0t,则_.分析：原式=96 例2、计算 分析：由及积分上下限为1,0则用变量代换，令原式= 又原式= 由形式 令原式= 注： 通过一个线性变换消去倍积分式中的一个因子。973 奇偶性、周期性、对称性例1、试确定一下三个积分的大小顺序分析：的被积函数为奇函数，则的被积函数为偶函数且中的为奇，为偶函数，且小于0，则,所以。例2 求分析：原式=，其中令，则 原式=+=例3. 求分析：令 则故 原式= =例4. 计算：分析：利用对称性 令，原式=故，原式=例5 设是连续函数，证明： 分析：由；函数值不变，则必有换元左边= =左边=右边例6 求分析：原式= =例7 求其中e的闭区间0,4中使被积函数的有意义的一切值所成集合分析：原式= =2() =2() =4=例3计算分析：原式= 令 = =例9 计算： 分析：令原式=i ， 则i=， =且 所以 令， =则 故 =例10 已知， 分析：由于故4、不可有n-l公式 （换元法，分部积分法）例1求（1） （2）分析(1)令，原式=故原式=（2）令 原式= =例2、求分析： 所以： 其中 例3设，计算分析：原式（令）=当当、例4计算： 分析：换元还原出原式移项原式= =原式故：原式=例5计算分析：原式=i=则其中又 故=则 2=积分上限函数+变换积分次序例6设，及求分析：用积分上限函数 故 =令则=例7设，求分析： = 5不直接用n-l公式的积分含三角函数的积分例1计算分析：令，原式= 则2=-原式=例2计算分析：原式=，故原式= 例3计算： 分析：令，原式=，故原式= 注意：含有参变量的积分法例 求分析：令，则= =所以： 由故 原式=6 广义积分（倒代换）例1 设为任意实数；计算分析：由被积函数形式可令，则 原式=例2计算： 分析：为无界点，故该积分为广义积分，故原式=原式=例3计算分析：1、（部分分式法）因为，即 （1）所以 （2）（注：不能由（1）得，因为右边的两个被积函数都不收敛，同样（2）中两个对数要合成一个对数，才可用n-l公式）2（倒代换）原式= 故原式=例4对参数p、q讨论广义积分的收敛性分析：令 分两种情况（1） 当q0时收敛 收敛 收敛（2） 当q0时令r=-q，则由（1）知0p+r+1r,即qp+10,0p+1q 或 q0,q0，是一常数（其中logx底数是不为1的任意常数）解：令 则=例9.计算分析：在处、0处无定义，故为广义积分，令x=2u。得 故 例10.设 a，b均为常数，a-2，a0，求a，b为何值时，使得 解: 而 若 上述极限不存在，所以要等式成立，则必须有，那么，原式 例11.对，令 ，证明：证明：令 ，得 因为s0,则 ，故对，有，所以 例12.证明积分 分解 分析：当，令 ，显然如果级数收敛，则原积分收敛，不难看出的符号是交错的，令，得 单调递减 又 即 所以，单调递减且趋向于0，满足laibniz级数，则收敛 所以，本题主要把这个无限区间上的积分分成无穷段，构成一个级数求和形式，然后通过对这个级数的分析，利用laibniz准则知级数收敛，从而积分收敛，这也是证明广义积分收敛的一种方法。例13.计算(级数求解) 解： 又 故 三综合题例1.已知积分，不是初等函数，试求，使是一个初等函数，并求该积分。解：法一;(常规方法) 原式 故 原式 法二：（待定系数法） 令 两边求导得. 例2.计算：分析： 由于 所以 原式 例3.设 ，如果，且当时 ，求 分析： 设 ,则由题设得： 由的 则代入得 由得 则 或 ，又即 ，故 ，例4.计算： 分析：令 ，则原式 故 原式例5.设，在内恒有，且，记，则（ ）a. b. c. d.不确定分析：由得和，则 即 由taylar公式，故 例6.计算：的值，其中n为正整数 分析;猜想，该积分值与n无关，即即若故作差 若为0，则可得答案 令原式，则 同理可求得： 例7.设是的一个原函数，且，求 解 由 由 故 或 （舍） 则 故 例8.求满足下列性质的曲线c：设为曲线上任一点，则由曲线，所围成区域的面积a与曲线c和，所围成的面积b相等（注：需加条件“”）解; 由题意得 ，则 b 由 a=b 又 代入上式，则 即 则 是的函数，对求导得 ，由得 则有 ，则 即 即为所求 c为时，同理可得，c： 练习二1. 求定积分的值（分部积分 ）2. 求定积分 （变量代换 ，）3. 求定积分的值。（先求出递推式，由递推式得）4. 求定积分的值 （）5. 设常数，求 （积分区间分开 ）6. 求， ，：（1）绕轴；（2）绕轴；（3）绕的体积 （；）7. 已知，求的表达式。()8. _()9. _()10. _()11. 已知 ，且 ，求 （3）12. 设为的连续函数，且满足方程，求及常数c ( ,)13. 设为的连续函数，且当时， 求 （）14. 已知两曲线与在点（0，0）