直线二级倒立摆系统控制策略研究毕业设计.doc

青岛理工大学毕业设计 毕 业 设 计（论 文）题目 直线二级倒立摆控制策略研究 毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解*学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用a4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它摘 要 倒立摆是一个复杂的多变量强耦合不稳定非线性的系统，借助于这样一个系统可以有效的检测各种控制理论的好坏。本论文研究了倒立摆系统的建模方法，采用lagrange方程对二级倒立摆系统进行建模。针对倒立摆的状态空间方程，采用matlab软件对倒立摆的稳定性，能控性，能观性和可控度做了分析;采用最优控制理论对倒立摆系统进行稳摆控制并进行仿真，并利用该理论将倒立摆的数学模型加以改进，并对改进后的倒立。经过仿真分析确认改进后的倒立摆系统控制效果得到了明显的改善。 本文分别用pid和lqr控制设计了控制器，通过matlab仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。关键词: 倒立摆,pid,lqr,matlab,仿真iii abstract inverted pendulum is a complex nonlinear multivariable strong coupling system instability by means of such a system can effectively detect the quality of various control theory. this paper studies the inverted pendulum system modeling method using lagrange equation for double inverted pendulum system modeling. for inverted pendulum state space equation, using matlab software inverted pendulum stability, controllability, observability and controllability were analyzed; using optimal control theory pendulum swing stability control system and simulation, and using the theoretical mathematical model of the inverted pendulum will be improved, and the inverted improved. the simulation analysis confirmed the improved inverted pendulum control effect has been significantly improved in this paper, the design of the controller with pid control and lqr control, through matlab simulation to verify the validity of the designed controller, stability and anti-jamming.key words：inverted pendulum,pid, lqr,matlab,simulationiv目 录摘 要iabstractii第1章 绪论11.1 倒立摆系统的研究意义11.2 倒立摆系统的研究现状11.2.1 国外研究现状21.2.2 国内研究现状21.3 倒立摆系统的控制方法31.4 本文的主要内容4第2章 倒立摆系统简介52.1 倒立摆分类52.2 倒立摆的特性62.3 直线二级倒立摆的结构和工作原理62.4 本章小结7第3章 二级倒立摆系统模型的建立93.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析93.2 直线二级倒立摆的数学模型93.2.1 数学建模的方法93.2.2 拉格朗日运动方程103.2.3 推导建立数学模型113.3 本章小结17第4章 二级倒立摆系统控制策略的研究184.1 稳定性分析184.2 能控性能观性分析184.3 本章小结20第5章 倒立摆系统控制系统的设计与仿真215.1 倒立摆 pid 控制方法设计215.2 pid 参数整定235.3 pid控制算法的matlab仿真235.4 二级倒立摆lqr控制设计及仿真265.4.1 二级倒立摆控制系统框图265.4.2 任选加权阵的lqr最优控制仿真27结论和展望30致谢31参考文献32附录a33附录b35第1章 绪论1.1 倒立摆系统的研究意义 倒立摆系统是一个多变量、非线性并且强耦合的自然不稳定系统，可以映射出控制领域诸如系统镇定、随动、跟踪以及鲁棒性许多关键特性。倒立摆系统广泛应用于检验新生控制理论或方法的正确性、实用性以及测试各种现有控制方法之间的性能优劣，同时该装置成本低廉、结构简单又便于实验室操作，受到了世界各国学者和专家的青睐，被广泛应用于研究非线性、变结构、智能控制以及目标定位等多种控制方法中，成为理想的实验平台，被誉为“控制领域的一颗明珠”。倒立摆系统的控制方法在军事防御、机器人研发和一般工业生产过程中都有重要的工程意义，例如，双足机器人的站立行走与二级倒立摆极为相似，火箭等飞行器的助推器可类比一级倒立摆，而多级火箭飞行姿态的控制与多级倒立摆的控制原理相似，这就使得倒立摆的稳定控制和自起摆控制的研究成果广泛深入到各个领域。 随着倒立摆系统研究的不断深入，倒立摆系统的种类也由简单的单级倒立摆发展为多种形式的倒立摆。如直线式倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级。常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成(另有旋转式倒立摆等形式)。控制的目标一般都是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望位置上稳定，而摆杆达到竖直向上的动态平衡状态。由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定性的能力。也就是说，倒立摆统作为控制理论研究中的一种较为理想的实验手段通常有着用来检验控制策略有效性的功能。1.2 倒立摆系统的研究现状鉴于倒立摆的稳定控制研究的重要意义，国内外学者对此给予了广泛关注。国外在60年代就开始了对一级倒立摆系统的研究，在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力。1.2.1 国外研究现状国外对倒立摆系统的研究可以追朔到六十年代，1966年schaefer和cannon应用 bang-bang控制理论, 将一个曲轴稳定于倒置位置。自从倒立摆系统1成为自动控制领域控制实验室的实验和教学工具以来，人们对倒立摆控制的研究既有理论研究又有实验研究。通过计算机仿真的方法对控制理论和控制方法的进行可行性研究；实验研究主要是解决仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。早在1970年，bryon和luenberger首次指出应用观测器重构系统状态，能实现倒立摆系统的稳定控制。1985年,k.furutat 等人又实现了三级倒立摆的稳定控制2。1986年，chung等人对一级倒立摆系统进行了系统辨识,并设计了 pd 反馈控制器和自适应自整定反馈控制器实现了对倒立摆的稳定控制。1989年,anderson等人运用函数最小化和lyapunov 稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。1994年，sinha等人，利用lyapunovfloquet变换得到了三级倒立摆系统的计算机仿真模型3。1.2.2 国内研究现状 国内对倒立摆的研究起步比较晚，大约在上世纪后期，但是成果显著。1989年，哈尔滨工业大学研究生胡正涛完成了二级倒立摆控制装置，采用二次型最优调节器，用降维观测器对系统状态进行重构，同时也用线性函数观测器进行了实验。国内进入90年代后，倒立摆方面的主要研究成果有：1992年，北京理工大学自控系研究生李来湘完成了基于简化模型的二级倒立摆控制，以及在线参数系统辨识。1995年，程福雁等人，对二级倒立摆，采用模糊控制，实现了稳定的倒立摆控制4。1996年，张乃尧，发表了文章“倒立摆的双闭环模糊控制”5，该文章被很多文献引用，对应用智能方法控制倒立摆作出相当大的贡献。1997年王晓凯，将倒立摆的数学模型简化，实现倒立摆的控制实验研究。1998年蒋国飞，基于q学习算法和bp 神经网络进行倒立摆控制，实现了神经网络在控制上的应用。王卫华在1999年，运用专家模糊控制6，实现了单级倒立摆的动态控制。在 2005 年日本爱知世界博览会上，世界各地的专家们对李祖枢教授关于在运动状态下实现精确控制的仿人智能控制理论研究中所取得成果给与了充分肯定，以直线二级摆为基础，之后又成功研究出世界上首例双摆杂技机器人。2005 年国防科学技术大学的罗成、胡德文等人利用基于 lqr 的模糊插值实现了五级倒立摆的控制。2010 年，重庆大学自动化学院的肖琳采用仿人智能控制理论，完成了环形倒立摆 up-up 和 up-down 的大回环运动控制。同年燕山大学的安志银完成了基于神经网络旋转二级倒立摆系统的预测控制研究。目前，许多学者正致力于引用模糊控制、神经网络、预测控制与变结构控制等各种方法实现对倒立摆系统的稳定控制。2011 年中南大学的聂炜和肖伟分别完成了基于 rbf-arx 模型的 lqr 控制方法和遗传算法在倒立摆系统的应用。2011 大连理工大学的张宁引入了扩展的卡尔曼滤波（ekf），并用 ekf 算法来优化变论域自适应模糊控制器，实现了直线倒立摆起摆与稳摆控制的优化与改进，并且控制效果良好。2011 年南京航空航天大学的杜明洲实现了基于 c/s 模式的倒立摆远程控制，通过 lqr、神经网络等方法对倒立摆稳摆控制器，结合起摆和稳摆，讨论了决策的切换问题，实现了理想的控制效果。1.3 倒立摆系统的控制方法 对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究 ，无论在理论上和方法上都具有重要意义，不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战， 更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法、探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践.并且可以促成相互间的有机结合,当前倒立摆的控制方法可分为以下几类： （1）状态反馈控制7。基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈，实现对倒立摆的控制。常见的利用状态反馈的方法有：1)线性二次型最优控制；2)极点配置8；3) 状态反馈h 控制9；4)鲁棒控制。（2）pid 控制。基于倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，根据倒立摆系统的状态方程和输出方程设计出 pid 控制器，实现对倒立摆的控制。（3）云模型控制10。云模型是一种拟人控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种控制不需要系统数学模型，而是根据人的经验、逻辑判断和感受，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决非线性问题和不确定性问题。（4）自适应控制。许多控制系统多为静态控制，自适应控制随着环境的变化而变化，属于一种动态控制系统，从而提高控制精度。（5）非线性控制11。实际系统多被进行线性化处理，非线性系统更能准确反映实际系统，对提高系统控制精度具有更大意义。（6）神经网络控制12。神经网络能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，任意充分地逼近复杂的非线性关系，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将 q学习算法和 bp 神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。（7）采用遗传算法与神经网络相结合的方法13。基于倒立摆数学模型设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制。（8）模糊控制14。主要是确定模糊规则设计出模糊控制器，实现对倒立摆的控制。1.4 本文的主要内容本文主要是以倒立摆的仿真控制装置为平台，分析研究了极点配置、最优控制方案，用matlab和simulink对控制方案进行了仿真，并实现了直线二级倒立摆仿真系统的控制。本文总共分四个部分，下面介绍一下本文各部分的主要内容。 第1章 绪论。介绍了倒立摆的研究背景和研究意义，倒立摆控制的研究发展状况和主要控制方法。 第2章 二级倒立摆系统简介。 对倒立摆分类,倒立摆特性,倒立摆实验装置进行介绍，以及对倒立摆计算机控制系统结构和工作原理进行简述。第3章 二级倒立摆系统模型的建立。介绍了直线二级倒立摆的物理结构，在一定假设条件下，用拉格朗日方程，建立起二级倒立摆系统的标称数学模型，并对其进行了线性化，初步分析了其运动特性。第4章 二级倒立摆控制策略的研究。根据第二章模型的建立与初步分析考虑控制器的设计。本章对二级倒立摆系统的稳定性，系统的能控性和能观性进行了初步分析，并用matlab计算进行验证，确定二级倒立摆系统的控制策略。第5章 控制系统的matlab仿真。本章为控制系统的仿真章节，根据已经建立的系统数学模型和控制器，设定选取了一些参数，求得k值，然后用仿真软件对pid控制方案，一一进行了控制系统的仿真，得出了仿真结果即各个输出量的波形。最后是结论。对全文进行的一次总结，指出了此次设计的总体理论概述。第2章 倒立摆系统简介 本章简要介绍了倒立摆的分类、倒立摆系统的特性；简要分析了倒立摆系统建模的方法；利用lagrange方程详细的推导了直线二级倒立摆的数学模型；根据倒立摆系统的特点，在平衡点附近得到系统的状态空间方程；并根据相关理论对倒立摆系统的特性进行了分析。2.1 倒立摆分类 倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。2) 环形倒立摆系列环形倒立摆是在圆周运动模块上装有摆体组件，圆周运动模块有一个自由度，可以围绕齿轮中心做圆周运动，在运动手臂末端装有摆体组件，根据摆体组件的级数和串连或并联的方式，可以组成很多形式的倒立摆。3) 平面倒立摆系列平面倒立摆是在可以做平面运动的运动模块上装有摆杆组件，平面运动模块主要有两类：一类是xy 运动平台，另一类是两自由度scara 机械臂；摆体组件也有一级、二级、三级和四级很多种。4) 复合倒立摆系列复合倒立摆为一类新型倒立摆，由运动本体和摆杆组件组成，其运动本体可以很方便的调整成三种模式，一是2)中所述的环形倒立摆，还可以把本体翻转90 度，连杆竖直向下和竖直向上组成托摆和顶摆两种形式的倒立摆。按倒立摆的级数来分：有一级倒立摆、两级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，一级倒立摆常用于控制理论的基础实验，多级倒立摆常用于控制算法的研究，倒立摆的级数越高，其控制难度更大，目前，可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。2.2 倒立摆的特性 虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。2)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。 3) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。4) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。2.3 直线二级倒立摆的结构和工作原理图2.1 二级倒立摆系统直线二级倒立摆系统主要由以下几部分组成，如图2.1所示。其机械本体主要包括底座（导轨）、小车、驱动小车的交流伺服电机、同步皮带、一级摆杆、二级摆杆、限位开关及光电码盘等。通过控制交流伺服电机，带动皮带转动，在皮带的带动下小车可以在导轨上运动从而控制两级摆杆的运动状态。交流伺服电机带有光电式脉冲编码盘，根据脉冲数目可得出工作轴的回转角度，由传动比换算出小车直线位移。在小车的运动导轨上有用于检测小车位置的传感器，小车位置的信号被传送给控制系统，通过控制算法计算出控制量控制电机，从而控制小车的位置，使两级摆杆垂直于水平面。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使两级摆杆稳定在垂直于水平面的位置。计算机运动控制卡伺服驱动器伺服电机光电码盘1光电码盘2光电码盘3摆杆1摆杆2二级倒立摆计算机控制示意图如图2-1； 图2.2 计算机控制结构示意图图 2.2中的光电码盘 1由伺服电机自带 ,可以通过该码盘的反馈换算出小车的位移、 速度信号 ,并反馈给伺服驱动器和运动控制卡;通过光电码盘 2和光电码盘 3的反馈 ,可以分别换算出摆杆1和摆杆 2的角度、 角速度信号 ,并反馈给运动控制卡;计算机从运动控制卡中读取实时数据 ,确定控制决策 (小车向哪个方向移动、 移动的速度、 加速度等 ) ,并由运动控制卡来实现该控制决策 ,产生相应的控制量 ,使电机转动 ,带动小车运动 ,保持摆杆 1和摆杆 2的平衡.2.4 本章小结倒立摆是一个验证理论的正确性及实际应用中的可行性的典型对象。各种控制方案在倒立摆上都有实现如：pid控制、状态反馈控制、lq控制算法、预测控制、变结构控制以及模糊控制等。在三回路pd控制中主要对控制器的参数整定，通过极点配置来整定参数解决了人工整定的难点，对pid参数的整定有了简单有效的方法，对以后的研究起到了引导作用。第3章 二级倒立摆系统模型的建立3.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析本次仿真设计的二级倒立摆模型系统由机械部分和电路部分组成。机械部分包括底座，框架，滑轨，直流永磁式力矩电机，测速电机，电位器，齿型传动皮带，小车，摆杆，触发开关以及一些连接轴等。主要机械结构部分如图3.1所示。上摆杆下摆杆测角电位器测角电位器小 车滑 轨框 架电 机水平调节栓伪形传送带底 座测位电位器 图3.1 直线二级倒立摆的物理结构图对直线二级倒立摆控制系统而言，将功率放大器、力矩电机、小车、摆、皮带及皮带轮等的组合体视为控制对象，其输入是功率放大器的输入信号，输出是小车的位移和摆杆的角度。3.2 直线二级倒立摆的数学模型3.2.1 数学建模的方法所谓系统的数学模型就是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础，所以要对一个系统进行研究，首先要建立它的数学模型。建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本文采用分析力学方法中的lagrange方程推导倒立摆的系统模型。lagrange方程有如下特点：1.它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程式的数目和系统的自由度是一致的。2.理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。3.lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程，为了列出系统的运动方程，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量广义力。因此用lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。3.2.2 拉格朗日运动方程拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程。广义坐标： 系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。如果系统的运动用n维广义坐标q1,q2,qn来表示，我们可以把这n维广义坐标看成是n维空间的n位坐标系中的坐标。对于任一系统可由n维空间中的一点来表征。系统在n维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹。拉格朗日方程： (3.1)式中，拉格朗日算子，系统的广义坐标，系统的动能，系统的势能。拉格朗日方程由广义坐标和表示为： (3.2)式中，系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中，设系统的三个广义坐标分别是。 3.2.3 推导建立数学模型在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设：1.摆杆1、摆杆2及小车均是刚体；2.传动带与皮带轮之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象；3.小车的速度与小车运动时所受的摩擦力成正比；4.小直流放大器的输入成正比于车的驱动力，且无滞后，不计电机电枢绕组中的电感；5.下下摆的转动速度与摆转动时所受到的摩擦力矩成正比；6.上摆对下摆的相对角速度与上摆运动时所受到的摩擦力矩成正比；二级倒立摆的运动分析示意图如图3.2所示yxxfm1m3m2m图3.2 二级倒立摆运动分析示意图倒立摆系统参数如下：小车质量1.32kg摆杆1质量0.05kg摆杆2质量0.13kg质量块质量0.236kg摆杆1与垂直向上方向的夹角摆杆2与垂直向上方向的夹角摆杆1到转动中心质心的距离0.0775m摆杆1到转动中心质心的距离0.25m作用在系统上的外力首先，计算系统的动能： (3.3)小车动能： (3.4)摆杆1动能： (3.5)式中，摆杆1质心平动动能 摆杆1绕质心转动动能 (3.6) (3.7)则 (3.8)摆杆2动能： (3.9)式中，摆杆2质心平动动能 摆杆2绕质心转动动能 (3.10) (3.11) （3.12） 质量块动能： (3.13)因此，可以得到系统动能： (3.14)系统的势能为：(3.15)至此得到拉格朗日算子： (3.16)由于因为在广义坐标上均无外力作用，有以下等式成立： (3.17) (3.18)展开(2.17)、(2.18)式，分别得到(2.19)、(2.20)式 (3.19) (3.20)将(2.19)、(2.20)式对求解代数方程，得到以下两式 (3.21) (3.22)表示成以下形式： (3.23) (3.24)取平衡位置时各变量的初值为零， (3.25)将(2.23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) (3.31) (3.32)得到线性化之后的公式 (3.33)将在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 (3.34) (3.35) (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.40)得到 (3.41)即: (3.42) (3.43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程: (3.44)取状态变量如下： (3.45)则状态空间方程如下： (3.46)将以下参数代入 求出各个值：得到状态方程各个参数矩阵：3.3 本章小结本章主要运用拉格朗日方法对直线二级倒立摆进行数学建模,并对数学模型线性化，推导出它的状态空间方程表达式，为后面的二级倒立摆控制策略的研究做好准备。 第4章 二级倒立摆系统控制策略的研究在研究控制方案之前，首先应该对被控对象的特性及本质有充分的了解。因此，在建立了系统的数学模型之后，利用一些仿真手段对被控对象的特性加以分析，是很有必要的。4.1 稳定性分析二级倒立摆的特征方程为: (4.1)matlab中，用函数eig(a)来计算系统矩阵的特征值，经过计算，系统的特征值为： (4.2)开环系统有两个开环极点位于平面右半平面上，所以系统是不稳定的。4.2 能控性能观性分析对于线形状态方程 (4.3)其能控性矩阵为： (4.4)求的秩 (4.5)所以系统是完全能控的。其能观性矩阵为： (4.6)求的秩 (4.7)所以系统是完全能观的。可控性矩阵的条件数决定系统控制的难控程度，条件数越大，系统越难控制。可控性矩阵的条件数为： (4.8)前面能控性和能观性的判断毕竟是针对线性化后的数学模型。实际的倒立摆的非线性很重，同时一些参数（如转动惯量等）的数值并不一定准确，另外一些参数（如摩擦力矩系数）也不准确，对象的条件数较大，这些因素都使得二级倒立摆的实际控制比较难以实现。对于倒立摆这一自然不稳定系统，在研究使其能够稳定的控制方案之前，首先要搞清楚倒立摆系统在自然条件下的运动特性是怎样的？对于这个问题的解有助于我们更加深入了解倒立摆系统的本质，进而设计出比较适合的控制方案。系统的状态矩阵a,b,c,d如下:利用 matlab 计算系统状态可控性矩阵和输出可控性矩阵的秩：clear;a= 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0 ;b= 0 0 0 1 6.64 -0.088;c= 1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;d=0 0 0;cona=b a*b a2*b a3*b a4*b a5*b;cona2=c c*a c*a2 c*a3 c*a4 c*a5;rank(cona)rank(cona2)得到的结果如下:ans =6ans =3或是通过 matlab 命令ctrb 和obsv 直接得到系统的可控性和可观测性。uc=ctrb(a,b);vo=obsv(a,c);rank(uc)rank(vo)运行得到结果:ans =6ans =6可以得到，系统状态和输出都可控，且系统具有可观测性。4.3 本章小结本章主要在状态空间模型基础上对倒立摆系统的能控性和能观性以及稳定性进行定性分析，并用matlab计算进行验证，证明分析正确性，为后面的仿真和实验控制打下理论基础。第5章 倒立摆系统控制系统的设计与仿真5.1 倒立摆 pid 控制方法设计pid 控制算法是控制领域中发展最早，生命力最强，应用最广泛的控制算法 ，它简单明了，易于掌握，时至今日，仍然在很多工业场合仍是首选的控制方法之一在pid控制算法中将输出量与输入量的差值通过比例（p）、积分（i）和微分（d）线性组合构成系统的输出量，输出量能修正与控制被控对象的作用，故称 pid 控制器，其原理图如图：最优控制就是在一定条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统规定的性能指标具有最优值的一种控制。对于线性系统，若取状态变量的二次型函数的积分做为系统的性能指标，这种系统最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称线性二次型(lqr)问题。线性二次型控制理论已成为反馈系统设计的一种重要工具。图5.1 pid控制原理图由图 5.1 我们可以知道，整个系统可以简要概括为三要素：测量、比较、执行。测量关注的是输出量，与输入量比较，用这个偏差调节系统的响应。我们大家都知道经典控制理论对被控对象有着许多约束条件，而且在设计控制器时一般需要有关被控对象的较精确模型。pid 控制器的关键在于 p、i、d 这三个参数的调整，对于参数的获取一般可以根据过往经验，人们在不断的摸索中总结了一些规律。归纳总结 pid 算法具有下述优越性：(1)它的基本原理，容易理解，易于人们掌握。(2)良好的适应性，pid 控制算法之所以被广泛的使用，正是因为其强大的生命力。实际工程中，被控系统有的是线性的，有的是非线性的，但无论线性与否，都可以通过适当的、合理的简化，忽略系统次要因素，可以线性化得到动态时不变系统，实现 pid控制的目的。(3)系统的鲁棒性强是 pid 算法的另外一个优点。系统抗击外界干扰的能力比较强。但是 pid 控制方法并不完美，它的使用有很大的局限性，正是因为这种局限性使其在控制非线性、时变、耦合及参数和结构不确定的系统中，不能实现理想的效果。传统的 pid 控制器是线性的，它将系统的给定 rin ( t )与实际输出值 yout ( t )做差构成系统的偏差量： (5.1)pid 的控制规律为： (5.2)或写成传递函数形式： (5.3)其中，为比例系数；为积分时间常数；为微分时间常数。对于经典 pid 算法中各个校正环节的作用具体如下所述：(1)比例环节：通过改变 p 可以增大或减小控制系统的偏差信号 e(t)，比例环节的控制效果取决于比例系数的取值，值越大，则系统的响应速度越块。但是的取值不是没有限制的，当它的取值过大会造成系统的超调量增大，系统产生震荡严重，影响系统的动态性能。(2)积分环节：可以在一定程度上消除静差，提高系统的无差度，使系统的静态性能得到改善和提高。它的控制效果受积分时间常数大小的制约,越大则积分作用越弱，反之则越强。的取值要适度，当其较大时，积分作用很小，系统虽然不易产生震荡，但随之而来的问题是过渡时间较长；当较小时，积分作用较强，这时过渡时间较短，但是有可能产生震荡。(3) 微分环节：对信号的变化具有提前的控制作用，能够减小系统的超调，克服震荡，整个系统的稳定性有个很大的提高。 而其作用的强弱由其时间常数的大小决定，越大则抑制偏差变化的作用越强，反之则越小。5.2 pid 参数整定倒立摆的 pid 控制系统中，由于倒立摆控制的目的是希望小车保持在导轨的某一固定位置（一般都设定中心位置或倒立摆导轨两端），由于倒立摆系统的开环不稳定性，在加入控制器之前首先需要对系统的输入输出量进行分析。我们都知道，倒立摆系统是一个单输入多输出的系统，在整个系统中，小车位移与速度，一二级摆杆角度和角速度的关系是线性的，整个控制系统的输出量为：小车位移、一级摆角、二级摆角。pid 控制中，一个控制器只能对一个输出量进行控制，因此在对二级倒立摆的控制中，采用三个 pid 控制器，分别对系统的小车位移、一二级摆杆的角度加以控制。由于积分控制对倒立摆的控制不适合，因此本设计不考虑积分环节对系统的影响，整个系统加入三路 pd 闭环控制。图5.2 二级倒立摆pid控制系统具体结构图由上图可以看出，k 1 k 6是需要整定的量,k 1对应小车位移,k 4代表小车速度。k 2代表一级摆角度,k 5代表一级摆角度度，k 3代表二级摆角度，k 6代表二级摆角速度。需要整定的 pd 六个参数和和系统六个状态变量一一对应。由上图可以看出其控制结构与状态反馈控制系统结构极其相似，因此采用状态反馈控制系统的极点配置法来确定pd 控制器的六个数。取极点为j=-2+5*j -2-5*j -5+4*j -5-4*j -8+6*j -8-6*j时，利用matlab中的极点配置函数可求出：5.3 pid控制算法的matlab仿真设定系统初始状态量为加入pid控制器后系统的状态量为带入 整理得sys=46.6564*(u(7)-u(1)+75.1740*(0-u(2)-162.8217*(0-u(3)+25.2800*(0-u(4)+0.3594*(0-u(5) -26.5211*(0-u(6)图5.3 二级倒立摆simulink方框图首先分析 pid 控制器对二级倒立摆控制的可行性，设定系统仿真时间5秒，系统输入阶跃响应，系统初始状态0.1 0 0 0 0 0,经matlab仿真。图5.4 pid算法仿真图由于配置系统的闭环极点都在s平面的左半部，因此我们知道系统一定稳定。由仿真结果可以看出，系统响应时间比较短。另外由图可知系统超调量很大，可以适当增加微分系数。总之，仿真结果符合预期控制效果，不足之处是无论摆杆、小车都要经历2次以上震荡才能达到稳定状态。因为pid控制算法中的六个状态量的系数是通过极点配置法计算得出的，分别调节各系数，观测响应曲线。保持不变，改变,则图5.5 调整的pid仿真图由上图可知小车的位移震荡范围减小，一级摆杆、二级摆杆震荡范围也是如此，由于改变了，也就改变了闭环极点的位置，整个系统震荡减小，并且能更快的达到稳定。5.4 二级倒立摆lqr控制设计及仿真5.4.1 二级倒立摆控制系统框图 对二级倒立摆采用lqr控制设计，确定系统的状态反馈，其系统的框图如图5.6所示。k1k2k3k4k5k6rr_y1x1x2x3x4x5x6y2y3y4y5y6+图5.6 二级倒立摆控制系统的框图输出，即小车的位移，一级、二级摆与竖直方向的夹角。控制器设计时，系统输入为单位阶跃输入。系统运行时，通过控制器的调节，小车可以达到指定位置，摆杆可以回到竖直位置。用lqr控制，其关键问题是加权阵的选择，本文针对加权阵的确定方式对二级倒立摆系统进行仿真研究。5.4.2 任选加权阵的lqr最优控制仿真实现最优控制的具体程序参见附录的最优控制法m文件。1. 当加权矩阵：q=diag300,500,500,1,1,1，r=1时，反馈矩阵k= 17.3205 113.4766 -201.3120 18.6033 2.8296 -32.7717极点：仿真结果如图5.7。2. 当加权矩阵：q=diag100,200,200,1,1,1，r=1时，反馈矩阵：k=10.0000 96.5301 -149.8891 11.3964 3.5448 -24.1513，极点：仿真结果如图5.8。3. 当加权矩阵：q=diag10,50,100,1,1,1，r=1时，反馈矩阵：k =3.1623 6.5641 -113.6327 4.9789 4.2746 -17.9577，极点： 仿真结果如图5.9。图5.7 最优控制第一组仿真图5.8 最优控制第二组仿真图图5.9 最优控制第三组仿真图通过三组仿真图象的对比，当r 不变而q 变大时，调整时间减少，超调量减小，摆杆的角度变化也减小，上升时间也同时减小。37结论和展望 倒立摆系统作为典型的非线性多变量、强耦合和快速运动的高阶不稳定统，是研究控制理论的理想实验手段，尤其是二级倒立摆系统的稳定控制，难度大、挑战性更强。本文以仿真的直线二级倒立摆为研究对象，首先叙述了倒立摆控制技术的发展及国内外的研究现状，推导了直线二级倒立摆的数学模型；随后设计了二级倒立摆的极点配置、最优控制方案，并用matlab对控制方案进行了仿真；根据设计在仿真软件matlab中通过在simulink工具箱中的模块选取，最终完成了控制系统的安装与调试，最后实现了对直线二级倒立摆的实时控制。取得了一些成果和经验并得到了一些结论。(1) 直线二级倒立摆系统的数学模型采用经典力学进行建模分析，简单易懂，但需要罗列和解算大量微分方程，同时还需考虑质点组受到的约束条件，计算量大且复杂；而采用分析力学中的拉格朗日方程建模只需考虑系统的动能和广义力两个方面，计算简单、工作量小，大大简化建模过程。(2) 通过极点配置、最优控制算法研究倒立摆的稳定控制，巩固了现代控制理论这一在工程实践中有着广泛应用的相当成熟的理论。(3) 通过在对干扰条件下的仿真结果和无干扰条件下的仿真结果的对比，可以看出极点配置控制、最优控制控制的优缺点，同时也可以看出本次设计控制系统的控制器具有很好的稳定性和抗干扰性。(4) 整个系统的设计过程，是对专业知识融会贯通的过程，同时也提高了对相关学科的掌握。如进一步熟练了数学工具matlab及simulink的运用，掌握了对仿真与实际控制系统的调试方法。 就本文所涉及的范围来说，研究的内容是有限的，只是对直线二级倒立摆系统控制方法进行了很小范围的探索；由于没有经验，在进行仿真实验中也遇到了许多困难，对控制系统参数的作用没有理解透彻