声学基础习题解答.pdf.pdf

4-1. 试分别在一维及三维坐标里，导得质点速度试分别在一维及三维坐标里，导得质点速度 v 的波动方程。的波动方程。 解答： （1） 一维坐标 运动方程： x p t v = d d (1) 连续性方程：() t v x = (2) 状态方程：dcp 2 d= (3) 线性化后得到， 运动方程： x p t v = 0 (4) 连续性方程： tx v = ' 0 (5) 状态方程：' 2 0 cp = (6) 由（4）（6）消去p，'，过程如下： 将（6）代入（5）可得 t p cx v = 2 0 0 1 (7) 对式（1）进行关于 t 的偏导运算，对式（7）进行关于 x 的偏导运算，相加后整理得 质点速度 v 的波动方程为 2 2 2 0 2 2 1 t v cx v = (8) 显然，与声压及速度势具有相同形式的波动方程。 （2） 三维坐标 运动方程：p t grad d d = v (9) 连续性方程：() t = vdiv (10) 状态方程：dcp 2 d= (11) 线性化后得到， 运动方程：p t grad 0 = v (12) 连续性方程：( ) t = ' div 0 v (13) 状态方程：' 2 0 cp = (14) 同样，将（14）代入（13）可得 ( ) t p c = 2 0 0 1 div v (15) 对（12）进行关于 t 的偏导，可得 = t p t grad 2 2 0 v (16) 对（15）进行 grad 运算可得 ( ) = t p cgraddivgrad 2 00 v (17) （16）与（17）相加可得 ( ) 2 2 2 0 1 divgrad tc = v v (18) 上式也可由速度势波动方程推导得到： 2 2 2 0 2 1 tc = (19) grad=v (20) 由于graddiv 2 =，于是 由（19）可得 2 2 2 0 1 graddiv tc = (21) 由（20）可得 = 2 2 2 2 grad tt v (22) 将（20） ， （22）代入（21）同样可得到（18） 。 注意，虽然pp 2 graddiv=，但并不意味着( )vdivgrad也有类似的形式，因为 div 算 子与 grad 算子并不能交换位置，前者的运算对象为矢量，后者的运算对象为标量。因此， 与一维坐标不同， 三维坐标下关于质点速度的波动方程与关于声压和速度势的波动方程形式 是不同的。具体如下： 三维坐标下质点速度为三维矢量，可写为kvjviv zyx +=v，则 ( ) + + + + + + + + = + + = k z v j yz v i xz v k zy v j y v i xy v k zx v j yx v i x v z v y v x v 2 z 2 z 2 z 2 y 2 2 y 2 y 2 x 2 x 2 2 x 2 z y x graddivgradv (19) 因此， （18）可写为 2 2 2 0 z 2 y 2 2 x 2 1 t v cxz v xy v x v x = + + (20) 2 2 2 0 z 2 2 y 2 x 2 1 t v cyz v y v yx v y = + + (21) 2 2 2 0 2 z 2 y 2 x 2 1 t v cz v zy v zx v z = + + (22) 写为矩阵形式，可得 = z y x 2 2 2 0 z y x 2 222 2 2 22 22 2 2 1 v v v tc v v v zzyzx yzyyx xzxyx (23) 简写为， 2 2 2 0 1 tc = v v (24) 式中，变换矩阵为 = 2 222 2 2 22 22 2 2 zzyzx yzyyx xzxyx (25) 显然，由于 v 为矢量，其波动方程形式非常复杂，所以，通常以标量声压或速度势描述声场 波动方程。 4-2. 如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为()tzyxq, 0 ，试导 出有流源分布时得声波方程。 ，试导 出有流源分布时得声波方程。 解答： 此时，与无流源分布情况相比，运动方程和状态方程不会发生变化，但是，连续性方程 将会发生变化，具体推导如下： 如图所示，对于三维情况，选取立方体微元，共有六个表面，分别对应于 x，x+dx，y， y+dy，z，z+dz，表面面积分别为 sx，sx，sy，sy，sz，sz。显然，zysdd x =，zxsdd y =， yxsdd z =。 以x方向为例， 在单位时间内从该方向进入该体积元的质量应该为()zyvxdd x ， 经 由 体 积 元 流 出 的 质 量 为()zyvxdd dxx+ ， 取 其 一 阶 泰 勒 展 开 即 为 () () zyx x v v x x ddd x x + 。 因 此 ， 单 位 时 间 内 从 外 部 流 入 体 积 元 的 净 质 量 为 () zyx x vx ddd 。同理可得，单位时间内从 y，z 方向流入体积元的净质量为 () zyx y vy ddd ， () zyx z vz ddd 。 同时，由于存在体积流源，单位时间内向单位体积里注入的媒质质量为()tzyxq, 0 ， 则单位时间内注入体积元的媒质质量为zyxqddd 0 。 设单位时间内体积元内质量增加量为zyxddd t ，则由质量守恒可得 () () () zyx t zyxqzyx z v zyx y v zyx x v z y x ddddddddddddddd 0 =+ (1) 即 ()qdiv t 0 =+ v (2) 线性化后得到 ( )qdiv t 00 ' =+ v (3) o x y z 运动方程：p t grad 0 = v (4) 状态方程：' 2 0 cp = (5) 由（3）（5）经过简单的消元处理最终可得 t q t p c p = 0 2 2 2 0 2 1 (6) 显然，此时多了一个源项，非齐次波动方程。 4-3. 如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体积力为如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体积力为()tzyx,f，试导出有 体力分布时的声波方程。 ，试导出有 体力分布时的声波方程。 解答： 显然，与无体力分布情况相比，此时连续性方程和状态方程保持不变，而运动方程发生 改变。外界施加给体积元的力为矢量。 同 4-2，选择立方体微元。x 方向：x 处侧面上受到的外力（面力）为()zyppdd 0 +，x+dx 处侧面上受到的外力（面力）为()zyx x p ppzypppdddddd 00 +=+，则 x 方向面 力引起的合力为zyx x p ddd 。同样地，y 方向面力引起的合力为zyx y p ddd ，y 方向面 力引起的合力为zyx z p ddd 。 体积力()kfjfiftzyx zyx ,+=f， x f， y f， z f为体积力在三个方向上的分量。 质点速度()kvjvivtzyx zyx ,+=v， ， x v， y v， z v为质点速度在三个方向上的分量。 则 x，y，z 三个方向上的平衡方程分别为 zyxfzyx x p t v zyx x dddddd d d ddd x + = (1) zyxfzyx y p t v zyx y dddddd d d ddd y + = (2) zyxfzyx z p t v zyx z dddddd d d ddd z + = (3) 即运动方程变为： f v +=p t grad d d (4) 连续性方程：()0div=+ v t (5) 状态方程：dd 2 cp = (6) 线性化后，可得 运动方程：f v += p t grad 0 (7) 连续性方程：( )0div ' 0 =+ v t (8) 状态方程：' 2 0 cp = (9) 将（9）代入（8）并对时间求偏导，可得 0div 1 0 2 2 2 0 = + tt p c v (10) 由（7）可得 ()( )f v divgraddivdiv 0 += p t (11) 由（10） ， （11）可得 ( )fdiv 1 2 2 2 0 2 = t p c p (12) 显然，如果()tzyxq, 0 ，()tzyx,f同时存在，则 ( )fdiv t q1 0 2 2 2 0 2 + = t p c p (13) 4-7 试问夏天（温度高达 40）空气中声速比冬天（设温度为 0）时高出多少？如果平面 波声压保持不变， 媒质密度也近似为不变， 求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。  解答： (1) 声速随温度变化的规律为 ttc6 . 06 .331)c( 0 +(m/s) (1) 则 2440*6 . 0)c0()c40( 00 =cc(m/s) (2) (2) 根据声强公式可知， 00 2 2c p i a =(w/m2) (3) 由于声压保持不变，且媒质密度也近似不变，则两种环境中声强变化的百分率为 %75. 6%100 )c0( 1 )c40( 1 )c0(%100 00 0 0 040 = cc c i ii (m/s) (4) 即夏天声强比冬天要低 6.75%. (3) 根据声强级公式可知， ref i i lg10sil =(db) (5) 于是 3 . 0 )c40( )c0( lg10lg10lg10lg10silsil 0 0 0 40040 040 = c c i i i i i i refref (db) (6) 即夏天声强比冬天要低 0.3db. 4-10 在 20的空气里，求频率为 1000hz、声压级为 0db 的平面声波的质点位移幅度，质点 速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为 120db，上述各量又为多少？ 为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值， 借用线性声学结果估计需要多大的声压 级？ 解答： (1) 声压级 spl0db，可得有效声压为 pa102 5 refe = pp (1) 则声压幅值为 pa10222 5 ea =pp (2) 质点速度幅值为 s c p v a /m108 . 6 8 00 a = (3) 质点位移幅值为 m100823. 1 11 a = a v (4) 平均能量密度为 315 2 00 2 m/j107936. 2 2 = c pa (5) (2) 声压级 spl120db，可知 120lg20 ref e = p p (6) 可得有效声压为 pa2010 ref 6 e =pp (7) 则声压幅值为 pa2202 ea =pp (8) 质点速度幅值为 s c p v a /m108 . 6 2 00 a = (9) 质点位移幅值为 m100823. 1 5 a = a v (10) 平均能量密度为 33 2 00 2 m/j107936. 2 2 = c pa (11) (3) 即要求s/m344 0e = cv，则如果仍然按照线性声学假设的话， pa104276. 1 5 2 0000e =cvcp e (12) 甚至超过了大气压，于是 db197lg20spl ref e = p p (db) (13) 4-25 试计算入射声波与反射声波幅值相等时的平面驻波声场中的平均能量密度。 解答： (1) 采用余弦形式表示声压。 由于入射波和反射波幅值相等，设入射声波和反射声波分别为 ()kxtpp a =cos 01 (1) ()kxtpp a +=cos 02 (2) 则驻波场总声压为 ()()tkxpppp a coscos2 021 =+= (3) 即总声压幅值为 ()kxpp aa cos2 0 = (4) 故由平均声能密度公式可知 () 2 00 2 2 2 00 2 cos2 2c kxp c p aa = (5) (2) 采用复指数形式表示声压。 由于入射波和反射波幅值相等，设入射声波和反射声波分别为 ()kxtj a epp = 01 (6) ()kxtj a epp + = 02 (7) 可以得到相同的计算结果。 4-26 设有一沿 x 方向的平面驻波， 其驻波声压可表示为 ()()kxtj ra kxtj ia epepp + += ， 若已 知 2/j iara epp=，试求该驻波声场的平均声能量密度和平均声能流密度（声强）i。 解答： 方法一、 由教材中式（4127）可知，两列具有相同频率，固定相位差的声波的叠加可表示为 +=cos 2 00 21 21 c pp aa (1) 式中， 12 =为两列波的相位差。 对题目中驻波声压的表达式进行改写， 将之写为与教材中统一的形式， 即声压表示为幅值与 相位的乘积形式，如下： ()()2/+ += kxtj ia kxtj ia epepp (2) 由此可知，两列波的声压幅值相等，为 iaaa ppp= 21 (3) 但两列波的声压相位不同，相位差可表示为 2/2)2/( 12 =kxkxkx (4) 而由于两列波声压幅值相等，其平均声能密度也相等，为： 2 00 2 21 2c pia = (5) 将式（35）代入（1）中可得，该驻波声场的平均声能密度为： () ()kx c p kx c p c p c p ia iaiaia 2sin1 2/2cos 22 2 00 2 2 00 2 2 00 2 2 00 2 = += (6) 声强表示为： ()kx c p ci ia 2sin1 00 2 0 = (7) 方法二： 直接由驻波合成声场出发，可知 ()()()() ()()() +=+= +=+= + (8) 由此可知，驻波场声压幅值为 ()()=+= (9) 则该驻波声场的平均声能密度为： ()kx c p c p iaa 2sin1 2 2 00 2 2 00 2 = (10) 声强表示为： ()kx c p ci ia 2sin1 00 2 0 = (11) 4-27 某测试环境本底噪声声压级 40db，若被测声源在某位置上产生的声压级 70db，试问 置于该位置上的传声器接收到的总声压级为多少？如本底噪声也为 70db，总声压级又为多 少？ 解答： 通常，可假设本底噪声与声源产生的声音不相干，则满足以下非相干声波的声压迭加关系， 如下： 2 e2 2 e1 2 e ppp+= (1) 由声压级公式可知，对于本底噪声，有 2 1 . 0 2 1 2 2 11 1 1 10lg10lg20 ref l e ref e ref e pp p p p p l= (2) 同样，对于声源产生的声音，有 2 1 . 0 2 2 2 10 ref l e pp= (3) 则当本底噪声声压级为 40db 时，传声器接收到的总声压级为 ()()db701010lg101010lg10lg10 741 . 01 . 0 2 2 21 +=+= ll ref e p p l (4) 当本底噪声声压级为 70db 时，传声器接收到的总声压级为 ()db731010lg10 77 +=l (5) 4-29 如果测试环境的本底噪声声压级比信号声压级低 n db，证明：由本底噪声引起的测试 误差（即本底噪声加信号的总声压级比信号声压级高出的分贝数）为 db101lg10 10 += n l  若 n=0 即噪声声级与信号声压级相等，此时?=l，为了使1n (4) 同样地， db3 .16) 110lg(101 . 0 01. 0 = = c m ，满足重墙假设。 则最终采用中频重墙假设的近似公式计算双层墙隔声量，如下： ()()db5 .90lg20lg20tl 1111 = += +=kd c m c m (6) 显然，远远比简单将墙加厚有效。 5-1 有一声管在末端放一待测吸声材料， 现用频率为 500hz 的平面声波测得管中声压的驻波 比 g=10，并确定离材料表面 0.25m 处出现第一个声压极小值，试求该吸声材料的法向声阻 抗率以及法向吸声系数。 解答： 由于驻波比 g=10，则声压反射系数的绝对值为 11/9 1 1 = + = + = g g rp (1) 由于频率 f=500hz，则波长688. 0500/344/ 0 = = = =fc m (2) 离材料表面出现第一个声压极小值的位置可表示为 ()()25. 0 4 1=+=+ (3) 则可得到4535. 0 从而法向声阻抗率为 43.46986.95 1 1 00s jc er er z j p j p += + =+= + = (4) 法向吸声系数为 ()()()() 331. 0 43.46941586.95 41586.9544 2 2 2 2 00 00 + = + = + = + = ss s xcr cr (5) 或直接由下式计算 331. 01 2 = p r (6) 5-3 设在面积为 s 的声管的末端装一个面积为 s1的活塞式振子，如图所示，假定活塞质量 为 mm，弹簧的弹性系数为 km，力阻很小，可以忽略，试求管中的声压反射系数。 解答： 显然，管中存在两种声波：入射波和反射波。 入射波表示为： ()()kxtj iai epp = = (1) 反射波表示为： ()()kxtj rar epp + + = = (2) 弹簧振子的机械阻抗为： = += = += m m m mmm k mj k mjrz (3) 对应的声阻抗为： = = m m m a k m s j s z z 2 1 2 1 1 (4) 由于活塞表面与管末端类似于扩张管界面处，故满足声压连续，体积速度连续，即声阻抗应 该是连续的。因此，直管末端的声阻抗同样可由式(4)表示，则直管末端的声阻抗率为： = = m m m as k m s s js s z szz 2 1 2 1 (5) 根据声阻抗率与反射系数的关系可知 00 1 1 c r r z p p s + = + = (6) 则管中声压反射系数为 00 2 1 00 2 1 00 00 c s sk mj c s sk mj cz cz r m m m m s s p + = + = + = + = (7) 假设问题变为如下：假设问题变为如下： 设在面积为设在面积为 s 的半无限长直管的末端装一个面积为的半无限长直管的末端装一个面积为 s1的活塞式振子， 弹性系数为的活塞式振子， 弹性系数为 km， 质量 为 ， 质量 为 mm，阻尼忽略，而且该振子受到激励力为，阻尼忽略，而且该振子受到激励力为 tj ae ff = =，则试求活塞位移及管中声压。 假设直管中只传播平面声波。 ，则试求活塞位移及管中声压。 假设直管中只传播平面声波。 解答： 此时，由于管子无限长，且采用平面波假设，则管中声阻抗为 s c za 00 = = (1) 则根据声阻抗连续条件， 管中声阻抗等于活塞表面声阻抗， 则由于管中空气振动引起的活塞 表面力阻抗为 2 1 00 's s c zm = = (2) 于是活塞表面总的力阻抗由两部分迭加而成，即 2 1 00 s s ck mjz m mm + =+ = (3) 与习题 5-3 相比，由于这是一个机械激励问题，则存在空气振动引起的力阻抗' m z，称为辐 射阻抗项，产生的声压作用独立于 tj ae ff = =的作用。而习题 5-3 是一个声激励问题，不 存在' m z项，活塞辐射声压最终可计入反射声压里。 5-7 设有一长为 l 的声管，管末端 l 处为刚性壁，管口有一声源在管中激励平面波，试分别 以下列两种情况求该声管中的声场表达式。 (1) 声源保持恒定的振速幅值 ua； (2) 声源的力阻抗为 mmm jxrz+=+=，并且施加于声源上的力振幅保持恒定。 解答： (1) 管中同时存在入射波和反射波，如图 1 所示。 图 1 设入射波声压和反射波声压分别为 ()()kxtj iai epp = = (1) ( () )kxtj rar epp + + = = (2) 于是，入射波质点振速和反射波质点振速分别为： o l pi pr uaejt x ()()kxtjia i e c p v = = 00 (3) ()()kxtjra r e c p v + + = = 00 (4) 声场边界条件： 0= =+ += = ri vvlx时，时，（刚性壁面条件） (5) tj ari euvvx =+=+=时，时，0（刚性壁面条件） (6) 将式（3）和（4）代入（5）和（6）可得， 0 0000 = jklrajklia e c p e c p (7) a raia u c p c p = 0000 (8) 由此可得， 1 2 00 = = klj a ra e uc p (9) klj a ia e uc p 2 00 1 = = (10) 于是 ()()lxktj klj a i e e uc p 2 2 00 1 = = (11) ()()kxtj klj a r e e uc p + + = = 1 2 00 (12) 总声场可表示为 ()() jkxlxjktj klj a ri eee e uc ppp+ =+=+ =+= 2 2 00 1 (13) (2) 管末端声阻抗为= = al z，则根据声阻抗转移公式可得管口声阻抗如下 ( )( ) ( )( ) ( )( )kl s c j kljz s c kl s c jz s c z al al a ctg tan tan 00 00 00 00 0 = + + = + + = (14) 则管口的等效力阻抗为 ( )( )klscjszz am ctg 00 2 00 = (15) 于是管口声源总的力阻抗由机械阻抗和管口等效阻抗之和，表示为 ( ( ) )klscxjrzzz mmmmw ctg 000 +=+=+=+= (16) 于是假定力的振幅为 fa，则声源振速为 ( )( )klscxjr ef z ef u mm tj a w tj a ctg 00 + = + = (17) 即 ( )( )klscxjr f u mm a a ctg 00 + = + = (18) 代入式（13）即可。 5-8 设在面积为 s1的管中充满 11c 的流体，而在面积为 s2的管中充满 22c 的流体，而两根 管子用极薄的材料隔开，假定声波从 s1管中传来，s2管延伸无限，见图所示，试求 s2管中 的声功率透射系数。 解答： 设管 s1中入射波和反射波分别为 ()()kxtj iai epp = = ， ()kxtj ia i e c p v = 11 (1) ( () )kxtj rar epp + + = = ， ()kxtj ra r e c p v + = 11 (2) 设管 s2中透射波为 ()kxtj tat epp = ， ()kxtj ta i e c p v = 22 (3) 与不存在薄膜的扩张管相比，边界条件发生了变化：界面处声压相等连续，法向质点振速相 等连续，即 tri ppp=+ (4) tri vvv=+ (5) o pi pr x 1c1 2c2 pt s1 s2 将式（1）（3）代入（4）（5）可得， += 22 11 2 1 1 c c pp taia (6) = 22 11 2 1 1 c c pp tara (7) 则声功率透射系数为 22 11 1 2 2 22 11 1 11 2 2 22 2 1 2 1 4 c c s s c c s c p s c p si si t ia ta i t w + = (8) 设 22 11 21 c c r =， 1 2 12 s s s=，则 ()2 21 1221 1 4 r sr tw + = (9) 5-11 欲在一面积为 s 的通风管道中设计一共振消声器，要求在偏离共振频率 fr的一个倍频 程范围内消声量不低于 12db，试问这时消声量的腔体 vb应如何选择？ 解答： 根据共振消声器的消声量计算公式可知， () ()db 1 1lg10 2 2 22 += z z tl (1) 式中， sc vb r 0 2 =， r f f z =。 则偏离共振频率 fr一个倍频程相当于在 z=2，即 12 9 4 1lg10 2 + (2) 可得到78. 5。于是， r b br f s v sc v 63378. 5 2 0 = (3) 5-12 试证明在计及声阻 rb时，共振式消声器的消声量公式为 () + + += 2 2 22 2 1 1 4 41 1lg10 z z x x tl s s ，其中 00c sr x b s = 解答： 由式（537）可知共振消声器的声强透射系数为 2 2 00 22 2 bb bb i xr s c xr t + + + = (1) 而 b bb c mx 1 =， b b s l m 0 =， 2 00c v c b b =， 00c sr x b s = 则 2 0000 22 22 2 + + = s c r s c xr xr t bbb bb t (2) 即 + + += + + += = 2 00 2 2 2 00 22 2 0000 2 1 41 1lg10 2 1lg10 1 lg10 s c c mx s c x xr s c r s c t tl b bs s bb b t (3) 共振频率为 bb r cm f 1 2 1 =，则 ()1 2 1111 2 2 00 = =z c v f cm cc m b bb bb b (4) 代入式（3）即可证明结论， sc vb r 0 2 = 5-13 设在一面积为 s 的主管的旁侧装一面积为 sb，长为 l 的封闭管，如图所示，式球主管 中消声量公式，并指出在什么情况下消声量达到极大值。 解答： 此时的管内声波传播如图所示。 此时旁支管内存在入射波和反射波，但是旁支管口总声压 pb与总的质点速度 vb仍然满足： bb b b zs p v = (1) zb为旁支管口的声阻抗。 则式（537）仍然成立，即 2 2 00 22 2 bb bb i xr s c xr t + + + = (2) 由于旁支管末端刚性封闭，即管末端声阻抗为= al z，则根据声阻抗转移公式，则根据 声阻抗转移公式可得旁支管口声阻抗如下 ( ) ( ) ( )kl s c j kljz s c kl s c jz s c z al al b ctg tan tan 00 00 00 00 = + + = (3) 于是， ( )kl s c xbctg 00 =，0= b r (4) 代入式（2）可得 2 tan 2 1 1 + = kl s s t b i (5) 则 o pi pr x pt sb s pbipbr += 2 tan 2 1lg10 1 lg10kl s s t tl b i (6) 显然当=kltan时 tl 最大，即 ()()l, 2, 1, 0,12 2 1 =+=nnkl (7) 5-14 设有一半径为 a 的圆形声管，在管口装有一半径为 a0的活塞式声源，已知其质量为 mm，弹簧的弹性系数为 km，力阻很小可以忽略，作用在活塞上的力为 tj eff a =。如果管 末端为一半径为 al的开口，见图所示，并已知其符合 kal c fkhz (3) 习题 5-18 在上题的号筒喉部装一面积相同的活塞声源， 其振动频率为 1000hz。 如果已知它 向号筒中辐射的平均声功率为 1w，试求活塞声源的位移振幅。如果将号筒拿掉，把活塞置 于一块大的障板上， 并且使活塞的位移振幅保持不变， 试问这时它向空间辐射多少平均声功 率？ 解答： 号筒喉部声阻为： 2 0 00 0 2 1 = ks c ra (1) 则活塞辐射声功率可表示为 () 2 2 000 22 00 2 2 1 2 1 2 1 2 1 aaaar u k scusrurw = (2) 则活塞声源速度振幅为 s/m9662. 1 2 1 2 2 000 = = k sc w ua (3) 于是，活塞声源位移振幅为 m101293. 3 4 = a a u (4) 由于13653. 0 0 =ka，可以得到活塞辐射阻（教材 6-5-39）为 () 2 0 2 00 2 a kc rr = (5) 于是如果将号筒拿掉，把活塞置于一块大的障板上，并且使活塞的位移振幅保持不变，则它 向空间辐射平均声功率为 ()0672. 0 4 22 0 2 00 2 2 1 = aar ua kc urw w (6) 说明号筒对声辐射有增幅作用。 5-25 有一矩形管内充空气，管子的截面积为 2 m08. 01 . 0= yx ll，在管口有一声源产生 频率从 1000hz2000hz 的振动，管的另一端延伸无限，试讨论管中声波的传播情况。 解答： 简正频率为 2 2 0 , 2 + = y y x x nn l n l nc f yx (1) 将矩形管尺寸代入可得，2150 01 =fhz，1720 10 =fhz，4300 02 =fhz，3440 20 =fhz。  所以，当17201000=fhz 时，管中产生唯一的平面波，当20001720=fhz 时，管 中除产生平面波外，还伴随着产生一个高次波1720 10 =fhz。 6.2 设以离开脉动球源中心为 r 的地方作参考点，试求距离为 2r，4r，10r 等位置上的声压 级之差等于多少分贝？观察者从球心为 1m 及 100m 的地方， 分别移动同样的距离m1=r， 观察到的声压级的变化相等吗？如果不等，问各等于多少？ 解答： （1）r 处声压幅值为： ( ) r a pa= 1 (1) 2r 处声压幅值为： ( ) r a pa 2 2 = (2) 4r 处声压幅值为： ( ) r a pa 4 3 = (3) 4r 处声压幅值为： ( ) r a pa 10 4 = (4) 则与 2r，4r，10r 等位置上的声压级之差分别为 db62lg20lg20 2 lg20 2 lg20 )2( )1 ( 0 )2( 0 )1 ( )2()1( = a aaa pp p p p p p p ll (5) db124lg20 )3()1( = pp ll (6) db2010lg20 )4()1( = pp ll (6) （2）不相等。 1m 处： ( ) apa= 1 (7) 2m 处： ( ) 2 2 a pa= (8) 则观察者从球心为 1m 的地方，移动距离m1=r，观察到的声压级变化为 db62lg20lg20 )2( )1 ( )2()1( = a a pp p p ll (9) 100m 处： ( ) 100 1 a pa= (10) 101m 处： ( ) 101 2 a pa= (11) 则观察者从球心为 100m 的地方，移动距离m1=r，观察到的声压级变化为 db086. 0 100 101 lg20lg20 )2( )1( )2()1( = a a pp p p ll (12) 6-4 空气中一半径为 0.01m 的脉动球源，辐射 1000hz 的声波，欲在距球心 1m 的地方得到 74db 声压级，问球源表面振速幅值应为多少？辐射声功率为多大？ 解答： 由距球心 1m 处的地方声压级为 74db 可知， pa1418. 0db74 2 lg20 0 = a a p p p (1) 则 1418. 01418. 01= aa rpa r a p (2) 于是表面声压幅值为 pa18.14 01. 0 1418. 0 0 = a a pa (3) 则表面振速幅值为 () s/m1898. 0 1 00 2 00 = + = kac ka pv aa (4) 辐射声功率可以采用声源表面的值计算，也可由距球心 1m 处的球面计算，这里采用后者。  w100433. 314 4152 1418. 0 4 2 42 2 2 00 2 = = r c p w a (5) 6-6 两只 20.32cm（8 英寸）扬声器纸盆对着纸盆紧密河口，这样可以模拟“脉动球源辐射” 。 设脉动球半径m1 . 0 0 =r，求hz100=f时的同振质量。假定每个扬声器本身的力学质量为 0.01kg，同振质量与力学质量之比为多少？ 解答： 同振质量为 () kg0147. 0 1 2 00 = + = a r r s ka kacx m (1) 同振质量与力学质量之比为 735. 0 2 = m r m m (2) 6-10 将频率为 100hz，辐射声功率为 0.1w 的点声源放在宽广的水面附近的空气中，试求：  （1）在离声源 1km 远处水面附近的声压； （2）离声源 1km 垂直高处的声压。 解答： 由于点声源放在水面附近的空气中，根据刚性壁面的镜像原理，可以看作同相小球源靠 得很近，应该满足1kl，k 为波数，l 为点源与水面垂直距离的两倍。满足该条件，同相 小球源相当于声压幅值加倍的单极子源。 所以， r a pa 2 = (1) 由于点声源的声辐射功率为 6049. 6 222 00 =aa c w (2) 于是，任何方向上的声压幅值可以表示为 pa0051. 0 2 = r a pa (3) 6-11 两个频率相同、源强分别为 01 q和 02 q的同相振动点声源相距 l 排列，如图 6-11 所示。 证明离声源很远处的声压为 () ()() + += cos sin cos cos 4 02010201 00 l qqj l qqe r ck jp krtj 解答： 两个声源的辐射声压分别为： () 1 1 0100 1 4 krtj e r qck jp = (1) () 2 2 0200 2 4 krtj e r qck jp = (2) 式中， 2/cos 1 lrrr= (3) 2/cos 2 lrrr+= (4) 于是合成声压为 ()() () () ()() () ()()+= += += += + kqqjkqqe r ck j kjkqkjkqe r ck j eqeqe r ck j e r qck je r qck jppp krtj krtj jkjkkrtj rktjrktj sincos 4 sincossincos 4 4 44 02010201 00 0201 00 0201 00 02000100 21 (5) cos 2/cos l kl= (6) 代入即可得证。 6-16 由声柱指向特性(6-3-23)式出发，证明长度为 l 的均匀直线声源的指向特性为 ( ) sin sinsin l l d = 解答： 将长度为 l 的直线声源划分为 n 段，每个小线段视为一个点源，点源位置假定为小线段 中心位置。因此，等效声柱由 n 个点声源组成，点声源间距为 l/n 则根据图 6-3-5 可知，等 效声柱的总长度为 l p r q01 q02 () n l nl1 = (1) 而且， sin 2n l = (2) 于是，根据(6-3-23)式可得 ( ) () () = = = sinsin sinsin sin 2 sin sin 2 sin sin sin n l n l n l kn n l kn kn kn d (3) 当 n 无穷时， ( )( ) sin sinsin lim l l d n d = = (4) 得证！ 6-22 有一直径为 30cm 纸盆扬声器嵌在无限大障板上向空气中辐射声波，假设它可以看作 是活塞振动，试分别画出它们在 100hz 与 1000hz 时的指向性图，当1000=fhz 时，主声 束角宽度为多少？此扬声器临界距离 zg为多少？ 解答： (1) 直径 d=30cm，则半径 a=0.15m. 频率100=fhz，则波数 1 m83. 1 =k，于是274. 0=ka，1274. 0, 0sinka，近乎 于无指向性，与教材图 6-5-2(a)类似。 频率1000=fhz，则波数 1 m3 .18 =k，于是74. 2=ka，74. 2, 0sinka ，指向性并 不是非常尖锐，与教材图 6-5-2(b)类似。 (a)           (b) 图 6-5-2 (2) 1000hz 时，主声束角宽度为 ()()4 . 1arcsin2/61. 0arcsin2=a 显然，无解，即不存在主极大夹角。这是很明显的，因为83. 3ka是不可能出现极