机械优化设优化设计的基本概念.ppt

机械优化设计机械优化设计 机械工程学院 计划学时数：30学时 使用教材使用教材 孙靖民. 机械优化设计. 北京：机械工业出版社，2002 学习参考书学习参考书 1 陈立周，机械优化设计方法，北京：冶金工业出版社，1997 2 刘惟信. 机械最优化设计. 北京：清华大学出版社，1994 3 陈秀宁，机械优化设计. 浙江：浙江大学出版社， 课程介绍 第一章第一章 优化设计的基本概念优化设计的基本概念 1-1 绪论 1-2 优化设计问题的示例 1-3 优化设计的数学模型 1-4 优化问题的几何解释和基本解法 优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念 和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。 而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒 主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方 案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中 的应用，便是优化设计。 优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项 新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探 索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有 工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。 优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化 。 1-1 绪论 1.1.优化、优化设计和机械优化设计的含义优化、优化设计和机械优化设计的含义 （1）来源：优化一语来自英文optimization，其本意是寻优的 过程； （2）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max 表示)或极小(以min表示)的过程。优化方法也称数学规划，是用 科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学； （3）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应 用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求 的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案 。 机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合 ，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案 和最佳设计参数。 优化设计流程 常规设计流程 2.2.优化设计的发展概况优化设计的发展概况 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几 里得（euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一 切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪微积分的 建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某 些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展 缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法。 直到本世纪40年代初，由于军事上的需要产生了运筹学， 并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机 最佳俯冲轨迹的设计等。 50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优 化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界 大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规 划是其主要内容。 近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工 、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统 、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效 果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经 取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的 因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大 。 最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6o年 代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计 方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著 提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优 化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬 勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领 域中得到应用。 l第一阶段 人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的 直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。 随着人类对自然界认识的不断深入，寻找最优逐渐从下意识的、缺乏系统性的行为发展到目的明确的有意识活动，并 在数学工具日渐完善的基础上，对各种寻找最优的活动进行数学描述和分析，指导寻优活动更有效地进行，从而形成 了最优化理论与方法这一应用数学理论分支 l 第二阶段 数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积 分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得 到迅速发展。 l 第三阶段 工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给 解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发 了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任 的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和 直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其 是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途 径。 l 第四阶段 现代优化方法：如遗传算法、 模拟退火算法、 蚁群算法、 神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优 策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发 展。 机械优优化设计应设计应 用实例 美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构 优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优 化设计，使成本降低约10%。 实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻 自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使 设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多 的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。 基础：（1）最优化数学理论 （2）现代计算技术 内容：（1）将工程实际问题数学化； （建立优化设计数学模型） （2）用最优化计算方法在计算机上求解 数学模型。 优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具 。 3. 本课程的任务 该课程的主要目的和任务目的和任务： 了解和基本掌握机械优化设计的基本知识； 扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的 基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质 。 1-2 1-2 优化设计问题的示例优化设计问题的示例 优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机 技术，求取工程问题的最优设计方案。 优化设计包括： （1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学 模型； （2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程 序运算求解。 已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不 带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3， 使箱盒用料最省。 分析： （1）箱盒的表面积的表达式； （2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件： （a）体积要求； （b）长度要求； x1 x2 x3 箱盒的优化设计箱盒的优化设计 数学模型数学模型 设计参数 ： 设计目标： 约束条件 ： 已知：传动比i, 转速n, 传动功率p，大小齿轮的材料，设 计该齿轮副，使其重量最轻。 分析： （1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达； （2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）； （3）设计约束条件： （a）大齿轮满足弯曲强度要求； （b）小齿轮满足弯曲强度要求； （c）齿轮副满足接触疲劳强度要求； （d） 齿宽系数要求； （e） 最小齿数要求。 直齿圆柱齿轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计 数学模型数学模型 设计参数 ： 设计目标： 约束条件 ： 1-31-3 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 1.1.设计变量设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些 基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量 ，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。 在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基 本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、 变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物 理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示 。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则 称为n维设计问题。 由n个设计变量 为坐标所组成的实空间称 作设计空间设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。 设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量， 则称为n维设计问题。 按照产产品设计变设计变 量的取值值特点，设计变量可分为为连续变连续变 量 （例如轴轴径、轮轮廓尺寸等）和离散变变量（例如各种标标准规规格等） 。 图1-1 设计变量所组成的设计空间 （a）二维设计问题 （b）三维设计问题 只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1（a）所示 的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用 图1-1（b）所表示的空间直角坐标表示。 设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设 计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度 亦愈大、求解亦愈复杂。 小型设计问题：一般含有210个设计变量； 中型设计问题：1050个设计变量； 大型设计问题：50个以上的设计变量。 目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。 如何选定设计变量？ 任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。 变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难 度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点： （1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小 的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。 （2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。 例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d ，弹簧中径d，工作圈数n和自由高度h。在设计中，将材料的许 用剪切应力 和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内 设计弹簧，则可把弹簧中径d作为设计常量。 2 2. .约束条件约束条件 设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是 工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求， 就称为可行设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件 称作约束条件，简称约束。 约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约 束两种类型： (1)等式约束 (2)不等式约束 显显式约约束 隐隐式约约束 约约束函数有的可以表示成显显式形式，即反映设计变设计变 量之间间 明显显的函数关系，有的只能表示成隐隐式形式 ,如例中的复杂结杂结 构的性能约约束函数（变变形、应应力、频频率等），需要通过过有限元 等方法计计算求得。 根据约约束的性质质可以把它们们区分成： 性能约约束针对针对 性能要求而提出的限制条件称作性能约约束。 例如，选择选择 某些结结构必须满须满 足受力的强度、刚刚度或稳稳定性等要 求； 边边界约约束只是对设计变对设计变 量的取值值范围围加以限制的约约束称作 边界约约束。例如，允许许机床主轴选择选择 的尺寸范围围，对对轴段长度 的限定范围围就属于边界约约束。 图1-2 设计空间中的约束面（或约束线） (a)二变量设计空间中的约束线 (b) 三变量设计空间中的约束面 如图1-4上画出了满足两项约束条件g1（x）=x12x2216 o和g2 （x）2x20的二维设计问题的可行域d，它位于x2=2的上面和圆 x12x22=16的圆弧abc下面并包括线段ac和圆弧abc在内。 图1-3 约束条件规定的可行域d 可行域可行域 : : 在设计设计 空间间中，满 满足所有约束条件的所构成的 空间间 。 3.3.目标函数目标函数 在优化过程中，通过设计变量的不断向f(x)值改善的方向 自动调整，最后求得f(x)值最好或最满意的x值。在构造目标 函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计 变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标 函数的有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运 动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷 最小等等。 为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价 函数，它是优化的目标，称为目标函数，以f(x)表示。 在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标 函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多 目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函 数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的 求解亦愈复杂。 在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些 目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函 数之间的关系。 目标函数等值（线）面目标函数等值（线）面 目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空 间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情 况，常采用目标函数等值面的方法。 目标函数的等值面（线）数学表达式为： c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空 间中，f(x1,x2)=c 代表x-x设计平面上的一族曲线。 对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面 称为等值线或等值面。 图1-4 等值线 图1-5表示目标函数f（x）与两个设计变量x1，x2阶所构成 的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设 计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一 系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标 函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数 值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈 平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数 的变化规律。 从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中 f=40的等值线就是使f(x1,x2)=40的各点x1,x2t所组成的连 线。 如图函数 的等值线图。 图1-5 等值线 4. 4. 优化设计问题一般数学形式：优化设计问题一般数学形式： 满足约束条件 ： 求设计变量向量 使目标函数 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完 善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为 复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使 问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时 间，有时也会改善优化结果。 最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若 目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求 -f（x）的最小值，因为min-f（x）与maxf（x）是等 价的。当然，也可看成是求1f（x）的极小值。 5. 5. 建模实例建模实例 1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对 优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改 进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。 2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常 数和设计变量。 3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件， 有时要构造多目标函数。 4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量 纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。 建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤： 人字架结构优化设计人字架结构优化设计 受力分析图圆杆截面图 桁杆示意图 d 由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载 为2p，两支座之间的水平距离为2l，圆杆的壁厚为b，杆 的比重为，弹性模量为e，屈服强度为 。求在桁架不被 破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直 径d。 解：桁杆的截面积为 ： 由此得稳定约束： 圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知： 压杆稳定的临界应力为 此应力要求小于材料的屈服极限，即： 于是杆截面的应力为： 负载2p在每个杆上的分力为： 桁杆的总重量为： 另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型： 6. 6. 优化设计的分类优化设计的分类 对于最优化问题一般可作如下分类： 还有其它的一些划分方法： 如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量 规划问题； 二次规划、几何规划、随机规划等。 例1：如下二维非线性规划问题 一、几何解释一、几何解释 1-4 1-4 优化问题的几何解释和基本解法优化问题的几何解释和基本解法 通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的 基本思想。 目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。 如不考虑约束，本例的无约束最优解是： ， 约束方程所围成的可行域是d。 图图1-91-9 l由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几 何的方法得该切点为 ， 对应的最优值为 l (见图） 用图解法求解用图解法求解 例例2 2： l解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲 线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上 使等值线具有最小值的点。 l解：先画出等式约束曲线 的图形。 这是一条抛物线，如图 例例3 3： l再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域） l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点， a b c d 以及等值线与可行集的切点，易见可行 域为曲线段abcd。当动点沿抛物曲线 段abcd由a点出发时，ab段目标函数 值下降。过点b后，在bc段目标函数值 上升。过c点后，在cd段目标函数值再 次下降。d点是使目标函数值最小的可 行点，其坐标可通过解方程组： l得出 ： a b c d l 由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我 们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已 不便在平面上作图，此法失效。 l 在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同 一常数值的是 x| f(x)=c, c是常数称为目标函数 的等值面。 l等值面具有以下性质： l（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数 是单值函数； l（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快， 而稀疏的地方变化得比较慢； l（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似 地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。 求解优化问题的基本解法有： 二、基本解法二、基本解法 解析法解析法 数值解法数值解法 解析法：解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据 函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析 解的求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。 局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复 杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数 学分析方法就会带来麻烦。 最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值 计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算 的迭代方法具有以下特点： 1）是数值计算而不是数学分析方法； 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算； 3）最后得出的是逼近精确解的近似解。 这些特点正与计算机的工作特点相一致。 数值解法：数值解法：这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代 方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当