数列通项求解.docx

2014届本科毕业论文数列通项求解 目 录1. 引言1.1简要了解迭代法2.数列基本形 2.1等差数列通项 2.2等比数列通项 2.3其他数列通项 2.4通项求解应用3数列基本形 3.1 数列通项求解 3.2和形的结合 3.3数列变式例题应用4数列基本形 4.1分情况求解 4.2数列应用求解4.3例题应用5数列基本形iv5.1数列的构造5.2通项的求解5.3例题的应用6.综合命题应用6.1例题7.总结数列通项求解摘要：本文通过针对各种不同类型的数列关系等式进分类，总结了四大类型数列关系基本类别。主要利用造法和迭代法来分别研究四大基本类型的数列关系等通过不同情况分析来求解其数列的通项公式，并对此做出了总结和分析，通过实例求解来加强对通项公式的解。关键词：数列关系等式，迭代法，构造法，数学归纳法,实例，公式。译文:数列通项求解1.引言数列通项求解是数列研究的重要部分，其中的求解思和方法是重要的研究手段。基本的题型是我们研究的重要对象。数列通项求解主要针对一些常见的基本题型，其中涉数列关系等式，关系式中主要包括线性函数、指数，列通项。通过一些常见的方法（迭代法和构造法），对本的数列关系骨架进行简化分析，将对象的简化方法基本的等比、等差数列基本形式方向化简。研究数列系的基本形式有利于提高学生的综合分析水平，将复的对象简单化。能使学生更加娴熟的运用我们所学的本知识。开阔学生的解题思路，平铺知识的横向关系培养学生的逻辑思维能力。而且能以基本关系式来强所有数列中两个最基本的数列（等比数列和等差数列）通过等差，等比数列的基本性质和通项公式来将其他形式的求解加以解决。市场中很多需要统计和收集的数据，除了依赖统计学外，可以运用到函数法等。针对一些数据不能函数化的，可以运用归纳法，线性归化法，和数列法，将对具体化。使研究人员更加系统化和针对性的研究其变化趋势。本文通过探讨四个数列基本关系的通项求解，将其进分类，简练化求解，重点研究数列的求解过程及其应用1.1简要了解迭代法迭代：按照一定的迭代规则，从原象到初象的反复映过程，它相当于程序设计中的递归运算。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。原象：产生迭代序列的初始的对象，通常称为“种子”初象：原角通过一系列变换操作而得到的象，与原象相对概念。迭代法在代数学和几何学中是重要的研究手段。本文主要是研究在代数学中的应用。通过一些例题的分析加深对迭代的理解。1.2数学归纳法2数列基本形:an+1=qan+pn+k2.1:等差数列令q=1,pn=d,k=0时，数列an+1=an+d(其中a1为首项，d为公差,an为等差数列)则an的通项公式为an=a1+(n-1)d（n2）（累加法求得）例1， an+1=an+1n(n+12),已知a1=1,求数列an的通项公式。解:此关系式类似于an+1=an+d(d为公差,且为常数),但这里的d=1n(n+12)(它并不为常量),一般对于这种分母为n的多次幂的,通学采用裂项相加法(结合累加法),所以d=1n(n+12)=42n(2n+1)=4(12n-12n+1).利用累加法: an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+（a2-a1）+a1=4(12n-2-12n-1+12n-3-12n-2+12-13)+1=4(12-12n-1)+1(n2)也可以用迭代法,但其过程与累加法一致.所以所求an的通项公式为an=4(12-12n-1)+1(n2)1(n=1)2.2：等比数列令q0，pn=0,k=0时，数列an+1=qan(其中a1为着项,q0为公比，an为等比数列)则an的通项公式为an=aqn-1（n2）（累积法求得）例2， an+1=3n2(n+1)2an,已知a11,求数列an的通项公式。解:方法一:从关系式中可以看出其形式类似于an+1=qan(其中q为公比)根据累加法:an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=3n-12n23n-22n-123n-32n-2232232312221=3n-1n-1!2(n!)2=3n-1n2方法二:构造等比数列nan具体过程如下所示: an+1=3n2n+12an (n+1)2an+1=3n2an故而可以构造出等比数列n2an其首项为a1,公比为q,所以根据等比数列可以计算出n2an=a13n-1所以求得an=3n-1n2 an+1=n(n+1)an,已知a1=1,求数列an的通项式。解:方法一:根据上个例题所用的方法可以用累加法求解故而由累加法: an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=(n-1)n(n-2)(n-1)(n-3)(n-2)(2*3)(1*2)*1=(n-1)!n!方法二:构造等比数列ann,则关系式变为:an+1n+1=n2ann所以又可以用累加法求得ann=(n-1)!2,则可得an=(n-1)!n!2.3其他通项求解当q0时，n=1,k=0时，即an+1=qan+p.其通项公式求解如下：法一：（迭代法）an=qan-1+p,an=q(qan-2+p)+p=q2an-2+qp+pan=q2(qan-3+p)+qp+p=q3an-3+q2p+qan=a1qn-1+p(qn-2+qn-3+1)a1qn-1+p1-qn1-q但当q=1时可用（累加法：过程与迭代法类似）an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+（a2-a1）+a1 法二：（构造等比数列法）（推荐）构造数列an-为等比数列则an-=q(an-1-)an=qan-1+-q即可得q=p =q+p=p1-q（*）可令an=,求得的值。因而an-p1-q=q(an-1-p1-q)则an=p1-q+a1-p1-qqn-1法三：数学归纳法（不推荐）关非所有的数列关系基本形都可用数学归纳法来解题如果我们不能利用原象及各初象的一些规律变化来猜出其所求通项的话，那么数学归纳法就不适合用来求数列通项。因为数学归纳法本身就是逆向思维的过程，即不能从原条件计算出所求的对象，只能着手于结果。过猜想出已知结果，然后利用通过数学归纳法证明的个步骤（三步曲）来加以说明其猜想是正确的。那么题就得证。下面例3就利用了数学归纳法来求解。具求解步骤可参考例3法三数学归纳法。例3， an+1=3an+1,a1=1,求数列an的通项公式。解:法一:因为此关系式符合形式(二)中的an+1=qan+p所以可构造等比数列an+1-=q(an-)又因其中q=3,p=1,可代入公式可求得=p1-q=-12所以an+1+12=3(an+12);故而an+12=(a1+12)3n-1an=12(3n-1)法二:迭代法:an+1=3an+1=3(3an-1+1)+1=32an-1+3+1=32(3an-2+1)3+1=33an-2+32+3+1=3na1+3n-1+3n-2+32+3+1=3n+1-13-1=12(3n+1-1) 故而an=12(3n-1)法三:数学归纳法:因为a1=1,a2=4.a3=13,所以我们猜想an=12(3n-1)证明:数学归纳法的三步曲证明法(i)当n=1时a1=12(31-1)=1与a1=1符合,故a1=1成立.(ii)假设当n=k时,我们高ak=12(3k-1)成立.(iii)当n=k+1时,ak+1=3ak+1=312(3k-1)+1=12(3k+1-1)故而当n=k+1时成立.所以an=12(3n-1)得证. 当n1，k=0时。即等式变为：an+1=qan+pn法一：迭代法法二：构造等比数列法：1 构造an+1pn+1数列。等式两边除以pn+1得an+1pn+1=qpanpn+1p令an+1pn+1anpn，可得1p-q则根据构造等比数列法可得：an+1pn+1-=qp(anpn-)可得anpn-a1p1(qp)n-1an=pn(a1p1qpn-1+)2 构造an+1-pn数列可求得1q-p其形式同一样。例4，an=2an1+2（-1）n-1,已知a1=1,求数列的通项公式.解:方法一:迭代法:an=2an-1+2(-1)nan-1=2an -2+(-1)n-1an-2=2an-3+(-1)n-2an=2n-1a1+2n-1*(-1)+2n-2*(-1)2+2(-1)n-1=2n-1-(-1)n*(-2)n-1+(-2)n-2+(-2)2n-1(-1)n*21-2n-13=232n-2+-1n-1方法二:构造数列an(-1)n-在等式两边都除以(-1)n,则关系式变为:an(-1)n+2an-1(-1)n-1=-2令an(-1)n=an则an+2an-1=-2令an=,计算出=-23,则可将式子变换为:an+23=-2(an-1+23)所以an+23=a1(-2)n-1将an=an(-1)n,a1=-13,代入上式中,可得an=232n-2+-1n-1方法三:构造数列an-(-1)n则方程则变为: an-(-1)n=2an-1-(-1)n-1经计算可得=-23与方法二所算出的值是一致的.则an+23(-1)n=(a1-23)2n-1经化简可得:an=232n-2+-1n-1an+1=4an+2n+3n+1,已知a1=1,求数列的通项公式法一:可采用迭代法法二:构造数列法可构造an-12n-23n-数列则an-12n-23n-3=4( an-1-12n-1-23n-1-3)与关系式对比可计算出1=2=3=-13经代入an+132n+133n+13=a1+(1321+1331+13)4n-1=24n-1+1所以移项后an=24n-1-132n-133n+23当q 0,n 1,k 0时，等式既为：an+1=qan+pn+k.其通项求解步骤如下：（i）令pn=0,可求得的值。=k1-q,还原pn得an+1-=q(an-)+pn (ii)上式an+1-=q(an-)+pn中，令an=an-,得an+1=qan+pn根据可构造等比数列an-pn.随即便可求得数列例5：an+1=3an+2n+1已知a1=1,求数列通项an.方法一:迭代法方法二:构造数列法此题型可构造出两种类型的数列一类是:an-12n-2;根据an+1-12n+1-2=32an-12n-2,通过与原式比较,可计算出1=-12,2=-1所以根据等比数列通项公式可求得:an+122n+1=(a1+1221+1)(32)n-1an=723n-1-2n-12另一类是:an-1-22n由an+1-1-22n+1=3(an-1-22n)这一类与上一类其实是同一类型,所计算出来的1,2的值是相同的.同样根据等比数列通项可计算出an的值.3数列的基本形式:an+1=qan+pn+k.31数列通项求解当q,p,k者不为零时，通项公式求解如下：方法一：迭代法方法二：构造等比数列法即构造等比数列an-1n-2即an+1-1 (n+1)-2=q(an-1n-2)求得an+1=qan+1(1-q)n+1+2(1-q)比较得11-qp1+21-q=k1=p1-q,2=k-p-kq(1-q)2.(其中q1)故而可根据等比数列通项公式求解可算得an的通项公式。3.2数列变式例题应用例6，an+1=4an+3n+1,已知a1=1,求通项an.代入3.1方法二中我们所推得的公式可求得1=-1,=-23.具体的方法步骤已在3.1中推得.那么an+1+(n+1)+23=4an+n+23所以an+n+23=(a1+1+23)4n-1所以an=234n-n-233.3结合，等式an+1=qan+pn+rn+t(其中q,p,r,t均为常量)，则an的通项公式求法如下：（i）先令pn=0,根据3.1算出1，2。原后还原pn,得等式:an+1-1(n+1)-2=q(an-1n-2)+pn(ii)（i）中等式变换成2.3中（二）基本形，令bn=an-1n-2则等式变为：bn+1=qbn+pn.则可构造出bn-pn或bnpn-形式的等比数列。求得1p-q（iii）根据（i）和（iii）可求出an的通项公式an+1-1(n+1)-2-pn+1=q(an-1n-2)-pn则an=(a1-1-2)-pqn-1+1n+2+pn其中1，2，是已知的。以上证明中已给出例7.an+1=3an+2n+n+1,已知a1=1,求数列an的通项的公式。解:解题思路如下:(i) 先令2n=0,则关系式变为an+1=3an+n+1(ii) 将上式代入3.1方法二中的公式结论计算出1=-12,2=-34.则关系式可写为:an+1+12n+1+34=3an+12n+34(iii) 然后还原2n回以上变换后的关系式中则关系式变为:an+1+12n+1+34=3an+12n+34+2n我们可以令bn=an+12n+34则其形式变为bn+1=3bn+2n这类关系式变为2.3其他通项求解中(二)基本形式an+1=qan+pn,这类求解可以化为其他两种等比数列形式其一为:bn-2n等比通项求解形式其二为:bn2n-等比通项求解形式其实这两种形式基本上步骤和方法思路是一致的所求解出的值是一样的,因为这两种形式的通项成对应比例.那么我们就选择其一构造出等比数列求其通项.则bn+1-2n+1=3 (bn-2n)可计算出=-1.则bn+2n=(b1+21)3n-1(其中b1= a1+12*1+34=94)则bn=1743n-1-2n又因为bn=an+12n+34所以我们求得an=1743n-1-2n-12n-344.数列的基本形式： an+1=anqpnk(其中q,p,k,皆为常数)4.1分情况求解（i）当q=0时，通项公式an=kpn-1(ii)当q=1,n=1,k=1时，不等式变为：an+1=pan,可知an为首项a1,公比为p的等比数列。(iii)当q0，n0，k0时，即等式an+1=anpnk。可由累积法可求得其数列的通项：an+1=an+1ananan-1a2a1a1=knp(n+n-1+n-2+1）a1=a1knpn(n+1)2.(iv)当q,n,k,都不为零时，等式an+1=anpqnk的通项公式求解运算如下：采取的方法是等式两边取对数将数列的高次幂降为低次幂。可取以10，e,2等常见的数作为底数取对数，现取以e为底数，则对等式取完对数后等式变为：lna1+1=lna1q+lnpn+lnklnan+1=qlnan+nlnp+lnk令lnan=cn , lnp=q,lnk=k,则cn+1=qcn+nq+k上等式与基本形相同。根据二所采取的方法可求得cn的通项公式.cn=f(1,2)=(a1-1-2)qn-1+1n+2lnan.对等式两边取以e为底的指数，即可算出an=ecn. 4.2例题应用例8，an+1=2an23n,首项a11，求数列an的通项公式。解:关系式an+1=2an23n中等式左方为通项的一次幂,等式的右方为通项的二次幂,因为幂不对等,不能通过构造等比数列或其他的数列来计算出an的通项,所以我们必须将其高次幂降为一次幂才能构造出等比数列求解.目前为止,我们所清楚通项降幂的方法为等式两方对数化（求导，求导不利于将所研究的重点放在所学的知识上，而且易将问题复杂化，所以我们不采用求导方法来进行求解）,然后指数化,将其还原.至于取何数为低,只须其为等于0的有理数即可.为了使计算不复杂化,我们计算所取的底数应为常见的.如(e,2,3,4,10等).在本题中我们取以e为底的对数进行求解运算.具体求解如下所示:将an+1=2an23n中等式两边以e为底对数化,其形式变换为:lnan+1=2lnan+nln3+ln2我们令lnan=an其形式变换为:an+1=2an+nln3+ln2这种形式的通项关系类型为:an+1=qan+pn+k(见3.1方法2)此类型可构造出an-1n-2形式.我们知道:an+1-1(n+1)-2=2(an-1n-2)(*)根据3.1方法2所得出的结论利用所求解出的1,2公式即1=p1-q,2=k-p-kq(1-q)2(其中q=2,p=ln3,k=ln2)经计算可得出1=-ln3,2=-ln6代入(*)利用等比数列通项公式(an=a1qn-1)an+1+(n+1)ln3+ln6=2(an+nln3+ln6)所以an+nln3+ln6=(a1+1*ln3+ln6)2n-1(其中a1=lna1=0)将an=lnan代入上式得:lnan+ln3n+ln6=ln182n-1即ln6*3n*an=2n-1ln18将此等式两边以e为底指数化.形式为:eln(6*3n*an)=e2n-1ln18简化为: 6*3n*an=182n-1可得an=182n-1 6*3n=182n-1-13n-1.5.数列的基本形式iv :an+1=qan+pan-1+rn+sn+t,已知a1=a,b1=b 5.1数列的构造.iv形式中令r=s=t=0,则an+1=qan+pan-1其an的求解如下：可构造数列an-an-1为等比数列。即如下： an-an-1=(an-1-an-2)（*）an=(+)an-1+an-2此等式与iv比较可得 +=q-p 可知，是方程x2-qx-p=0 的两根 。在iv基本形式中，可令an+1=x2,an=x,an-2=1,等式变换为： x2-qx-p=0 根据韦达定理，可求得方程的两根x1和x2。（x1=,x2=,或x1=,x2=）那么，等比关系可如下形式：an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)an-x2an-1=x1(an-1-x2an-2) ,则an-x1an-1=(a2-a1)x2n-2即an=an-1+(a2-a1)n-2或an=an-1+(a2-a1)n-2此或等式又形如2.3中（二）式，可根据其方法一（迭代法）和方法二（构造法）求得an的通项公式。具体过程不详细说明。留给读者证明。 5.2iv的通项求解当r,s,t均不为零时，数列关系式an+1=qan+pan-1+rn+sn+t那么根据5.1（*）可知 an-an-1=(an-1-an-2)+rn+sn+t在上式中令an=an-an-1,则形式变为：an=an-1+rn+sn+t其形式又与3.3数列关系等式相同。根据3.3的三步曲求解可解出an的通项（an通项中有pn与qn项，）即an可写成an= an-an-1=mqn+npn+t即an=an-1+mqn=npn+t求解中参考2.3中（二）例4中可算出an的通项公式。5.3例题应用例9.an+1=2an+3an-1+2n+2n+1,a1=1,a2=1时，求an的通项公式。解:解题思路如下：在关系式.an+1=2an+3an-1+2n+2n+1中，其中根据我们所讨论的数列基本关系形式iv中5.2iv的通项求解中，首先先配凑an+1=2an+3an-1.将其形式变换为：an+1-an=(an-an-1)然后令an+1=an+1-an,还原项数2n+1，则原式变为：an+1=an+2n+1；之后将其配凑成等比数列形式。即an+1-1(n+1)-2=(an-1n-2)再后还原2n即上式变为:an+1-1(n+1)-2=(an-1n-2)+2n最后配凑上式再令bn= an-1n-2原式变为：bn+1=bn+2n可以将其变为通项为bn-32n或者bn2n-3的等比数列形式。由此可以计算出bn，进而可以算出an+1与an之间的关系。可以结合所学的所有an+1与an之间的数列关系表达式可以算出an的通项公式.下面就是具体的计算过程:(i)在关系式an+1=2an+3an-1中,令an+1=x2,an=x,an-1=1.其形式变为:x2=2x+3可计算出x1=-1,x2=3.我们令=-1,=3,所以an+1+an=3(an+an-1)(ii)还原2n+1,令an+1=an+1+an其形式变为:an+1=3an+2n+1将上式整理为:an+1-1(n+1)-2=3(an-1n-2)通过计算得出1=-1,2=-1.(iv) 还原2n,令bn=an-1n-2则其形式变为:bn+1=3bn+2n通过构造形如bn-32n或bn2n-3等比数列来求解.我们选择构造 bn-32n 等比数列.则bn+1-32n+1=3(bn-32n)通过计算可得2=-1.(v) 结合上述公式得出an+1与an之间的关系等式为:an+1=-an+3n+1-2n+1-n-2(vi) 构造(v)中所得出的关系等式an+1+12n+1+34=-an+12n+34+3n+1-2n+1an+1+12n+1+34-343n+1+232n+1=-(an+12n+34-343n+232n)那么可计算出an=343n-232n-43(-1)n-12n-34=34(3n-