基本不等式的证明(1).doc

基本不等式的证明（1） 开课教师 江苏省太仓高级中学 徐彩娥 开课时间 4月6日上午第三课开课地点 江苏省太仓高级中学 高一（4）班教学目标：1、 探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；2、 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件；3、 渗透数形结合和等价化归的数学思想4、 通过学生实验、观察、归纳、抽象、概括，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。5、 能应用基本不等式解决一些简单的问题，培养学生学习数学的兴趣和学以致用的能力；教学重点：基本不等式的探索过程和证明教学难点：等号成立条件教学过程：一、创设问题情景：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b。 问题1、如何合理的表示物体的质量？二、学生活动1、简单的做法是把两次称得物体质量“平均”得m=。（猜想，合理吗？） 2、根据杠杆原理，设物体质量为m，天平的两臂长分别是则 显然，比较科学、合理，3、概念引入两个正数，我们把称为a、b的算术平均数， 称为几何平均数。问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？学生讨论：通过取一些具体的数据进行实验（借助计算机）猜想问题3：如何证明？三、建构数学基本不等式的证明揭示课题求证：证法一：（作差法）=所以，当且仅当时，等号成立。解释“当且仅当“的含义从两方面理解：一方面是当时取等号，即，另一方面是仅当时取等号，即。综合证法二：（分析法）， 要证明 ，只要证明 只要证明 只要证明 成立 （当且仅当时，等号成立。）这种“执果索因”的证明方法称为“分析法”。书写格式必须是：（1）要证，即证（或用表示即证） （2） 上述各步均可逆证法三：我们可将上面的证法“倒过来”写，即（当且仅当时，等号成立。）这种由因索果的证明方法称之为“综合法”或“公式法”说明：比较法（比差、比商法）、分析法、综合法是证明不等式的基本方法。所以两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。即：如果a,b是正数，那么问题4、，这个不等式仍然成立吗？强调：正数a、b的范围可以扩充到非负数。把不等式称为基本不等式。分析基本不等式（1）公式使用条件 （2）等号成立条件 （3）可以直接用、变形用。问题5： 你能给出基本不等式几何解释吗？ 基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”此不等式又一证明方法以长为a+b的线段为直径作圆，在直径ab上取点c，使ac=a,cb=b过点c作垂直于直径ab的弦dd,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于cd，即，其中当且仅当点c与圆心重合；即a=b时，等号成立四、数学应用例1判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请证明。（1）（2）；（3）；（4）（5）*（6）（备用）例2、证明（1）（2）结论： 平方平均数 算术平均数 几何平均数 调和平均数五、回顾反思1、 今天这节课学了哪些主要知识？2、 在解