静定结构的位移计算.ppt

第八章第八章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 内容提要内容提要 在验算结构的刚度和超静定结构的内力分在验算结构的刚度和超静定结构的内力分 析中，都需要计算结构的位移。本章介绍结构析中，都需要计算结构的位移。本章介绍结构 位移的概念和虚功原理，重点介绍应用虚功原位移的概念和虚功原理，重点介绍应用虚功原 理计算静定结构的位移问题。用图乘法计算静理计算静定结构的位移问题。用图乘法计算静 定结构在荷载作用下产生的位移是本章的重点定结构在荷载作用下产生的位移是本章的重点 内容。内容。 8.1 概述 8.2 静定结构在荷载作用下的位移计算公式 8.3 图乘法 8.4 支座移动引起的位移计算 本章内容本章内容 8.5 互等定理 小 结 8.1 8.1 概述概述 建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形 状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结 构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转 动，称为结构的位移。 8.1.1 位移的概念 使结构发生位移的因素主要有以下三种： （1）荷载作用。 （2）温度变化与材料收缩。 （3）支座移动和制造误差。 (a) 例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如 图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动 了一段距离 ，称为C点的线位移或挠度 ；支座截 面B转动了一个角度 ，称为截面的角位移或转角 。 又如图(b)所示的刚架，在荷载作用下发生如图 中虚线所示的变形。刚架上的C点移动至 点，则 称 为点C的线位移，用C表示。 F （b） CV CH CH C CV 还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向 的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移 ，分别用CH和CV表示，几何关系如图（b）所示， 图中的 为截面C的转角，称为截面C的角位移，上 述线位移和角位移统称为绝对位移。 此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相 对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如 图中虚线所示的变形。 AB AH BH FF 为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是 线位移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移 ，统一称为广义位移。 A、B两点的水平位移分别为AH和BH，它们之 和为(AB )H =AH+BH，称为A、B两点的水平相对 线位移。A、B两个截面的转角分别为 和 ，它们 之和为 ，称为A、B两个截面的相对角 位移。 静定结构的位移计算是结构分析的一个重要 内容，在工程设计和施工过程中，都需要计算结 构的位移。静定结构的位移计算也是超静定结构 内力分析的基础。概括地说，它有以下三个目的 ： 8.1.2 计算位移的目的 1. 1. 验算结构的刚度验算结构的刚度 在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外 ，还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求 ，即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构 在使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构 中，梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至 1/200，否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。 2. 2. 为计算超静定结构打基础为计算超静定结构打基础 在计算超静定结构的反力和内力时，除了要 考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位 移条件，需要计算结构的位移。因此，静定结构 的位移计算是求解超静定结构的基础。 3. 3. 计算结构变形后的位置计算结构变形后的位置 在结构的制作、架设等施工过程中，经常需 要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的 施工措施，因而也需要计算结构的位移。 本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算 问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比 例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加 ，而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完 全消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力 与应变的关系符合胡克定律。 8.2 8.2 静定结构在荷载作用下的位移计算公式静定结构在荷载作用下的位移计算公式 在力学中功的定义是：一个不变的集中力所 做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用 线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线 有位移时如图，作用于物体的常力F在位移上 所做的功为 。 8.2.1 实功与虚功 F F 如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘 的A、B两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的 大小不变而方向始终垂直于直径AB。当圆盘转过 一角度 时，两力所做的功为 W=2Fr =M 式中：M=2Fr，即力偶所作的功 等于力偶矩与角位移的乘积。 由上述可知，功包含了两个因素，即力和位 移。若用F表示广义力，用表示广义位移，则功 的一般表达式为 W=F 从以上示例看出，一个广义力可以是一个力 或一个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或 一个角位移。故广义力可有不同的量纲，相应的 广义位移也可有不同的量纲。但在做功时广义力 与广义位移的乘积却恒具有相同的量纲，即功的 量纲。其常用单位为牛顿米(Nm)或千牛顿米 (kNm)。 既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关 系可将功分为两种情况： （1）位移是由做功的力引起的 例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1 由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产 生了位移11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所 示，力F1在位移11上做了功。 11 F 11 由于位移11是由做功的力F1引起的，我们把 力在自身引起的位移上所做的功称为实功。 F （2）位移不是由做功的力引起的，而是由其 他因素引起的。 若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施 加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状 态，F1的作用点沿F1方向又产生了位移12如图所 示。 11 2212 FF 力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒 力)在位移12上做了功。由于位移12不是F1引起的 ，而是由力F2所引起的，我们把力在由其他因素 引起的位移上所做的功称为虚功。 在虚功中，既然做功的力和 相应的位移是彼此无因果关系的 两个因素，所以，可将二者看成 是同一结构的两种独立无关的状 态。其中，力系所属的状态称为 力状态图(a)，位移所属的状态 称为位移状态图(b)。 （a）力状态 （b）位移状态 如果在力状态中有集中力、集中力偶、均布 力和支座反力等外力，统称为广义力，用Fi表示 。i表示与广义力Fi相应的广义位移，若用We表 示外力虚功，则图(a)所示的力状态在图(b)所 示的位移状态上所做的外力总虚功为 当力与位移的方向一致时，虚功为正值，当 力与位移的方向相反时，虚功为负值。 这里所说的虚功并非不存在，而是强调做功过程 中力与位移之间彼此无因果关系。使力做虚功的位移 ，可以是荷载引起的位移、温度变化或支座移动等其 他因素引起的位移，也可以是虚设的位移。但是上述 的所有虚位移必须是约束条件所允许的微小位移。既 然位移状态可以虚设，同样，力状态也可以虚设。 变形体虚功原理是力学分析中广泛应用的一 个十分重要的原理，现将其表述如下：对于变形 体系，如果力状态中的力系满足平衡条件，位移 状态中的变形满足约束条件，则力状态中的外力 在位移状态中相应的位移上所作的外力总虚功等 于力状态中的内力在位移状态中相应的变形上所 作的内力总虚功，即 We= Wi 8.2.2 变形体虚功原理 上式称为变形体的虚功方程。式中：We表示 外力虚功，即力状态中的所有外力在位移状态相 应的位移上所作的虚功总和；Wi表示内力虚功， 即力状态中的所有内力在位移状态相应的变形上 所作的虚功总和。 变形体系的虚功原理的证明从略。 需要指出的是，在推导变形体的虚功方程时， 并未涉及到材料的物理性质，只要在小变形范围内 ，对于弹性、塑性、线性、非线性的变形体系，上 述虚功方程都成立。当结构作为刚体看待时，由于 没有变形，则内力总虚功为零，即Wi=0，于是变形 体虚功原理变成了刚体的虚功原理。变形体虚功方 程变为刚体的虚功方程，即 We=0。所以说刚体的虚 功原理是变形体虚功原理的一个特例。 在工程实际中组成结构的构件都是变形体， 结构在荷载作用下不仅要发生变形，同时还产生 相应的内力。因此，利用虚功原理求解变形体结 构问题时，不仅要考虑外力虚功，而且还要考虑 与内力有关的虚功。 8.2.3 位移计算的一般公式 1. 1. 单位荷载法单位荷载法 现在，我们结合如图所示刚 架，讨论如何利用变形体虚功原 理来建立计算平面杆件结构位移 的一般公式。 如图(a)中虚线表示刚架在荷 载和支座移动等因素的作用下所 发生的变形，这是结构的实际位 移状态，简称实际状态。现在要 求该状态K点沿水平方向的位移 K。 (a) 利用虚功原理求解这个 问题，首先要确定两个彼此 独立的状态，即力状态和位 移状态。由于是求实际状态 下结构的位移，所以应把结 构的实际状态图(a)作为结 构的位移状态。 (a) 而力状态则可以根据所求 位移来虚设。为了便于求出位 移和简化计算，我们选取一个 与所求位移相对应的虚单位荷 载，即在K点沿水平方向施加一 个单位力 =1，如图(b)所示。 这是一个虚设的状态，简称虚 拟状态。 (b) 在虚单位荷载 =1作用下，结构将产生虚反力 和虚内力 、 、 ，它们构成了一个虚设力系。 (b) 根据变形体系的虚功原理，计算以上两种状态 中虚拟状态的外力和内力在相应的实际状态上所做 的虚功。则有 得 （a） 式中：、k实际状态中的轴向应变、剪切应 变和弯曲应变。式（a）即为平面杆系结构位移计算 的一般公式。 由以上位移计算公式的建立过程，可归纳出 用虚功原理求结构位移的基本方法： (1)把结构在实际各种外因作用下的平衡状态 作为位移状态，即实际变形状态。 (2)在拟求位移的某点处沿所求位移的方向上 ，施加与所求位移相应的单位荷载，以此作为结 构的力状态，即虚设力状态。 (3)分别写出虚设力状态上的外力和内力在 实际变形状态相应的位移和变形上所做的虚功， 并由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。 我们把这种在沿所求位移方向施加一个单位 力 =1的位移计算方法称为单位荷载法。 需要说明的是，上述平面杆系结构位移计算 的一般公式，不仅适用于静定结构，也适用于超 静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹 性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，也 适用于由温度变化、制造误差以及支座移动等因 素影响下的位移计算。 2. 2. 几种典型的虚拟状态几种典型的虚拟状态 单位荷载法是计算结构位移的一般方法，其 不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算 结构任何性质的位移，只要虚拟状态中所设虚单 位荷载与所求的位移相对应，即保证广义力与广 义位移的对应关系即可。现举出几种典型的虚拟 状态如下： （1）若计算的位移是结构上某一点沿某一方 向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位 集中力(a)。 （2）若计算的位移是杆件某一截面的角位移 ，则应在该截面上施加一个单位集中力偶图(b)。 （3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移， 则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向 平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力 的大小等于杆长的倒数图(c)。 （4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向 的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对 反向共线的单位集中力图(d)。 (5)若计算的位移是结构上某两个截面的相对角 位移，则应在这两个截面上施加一对反向单位集中 力偶图(e)。 (e) (6)若计算的是桁架中某两杆的相对角位移，则 应在该两杆上施加两个方向相反的单位力偶 图(f) 。 需要明确的是，虚拟状态中单位荷载的指向是 可以任意假设的，若按式（a）计算出来的结果是正 值，则表示实际位移的方向与虚拟荷载的方向相同 ，否则相反。 若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的 ，没有支座位移的影响（即c=0），则式(a)可简 化为 8.2.4 荷载作用下的位移计算公式 式中，微段的变形ds、ds、kds是由荷载引起。 (b) 若用 FN、FS、M表示实际位移状态中微段上 由荷载产生的轴力、剪力和弯矩，在线弹性范围 内，变形与内力有如下关系： 式中：EA、GA、EI杆件的拉压刚度、剪切 刚度、弯曲刚度，K为剪力分布不均匀系数，其 与截面形状有关。 (c) 将式（c）代入式（b），得 (d) 式（d）为静定结构在荷载作用下位移计算 的一般公式。式中， 、 、 表示在虚拟状态中 由广义单位荷载引起的虚内力，这些虚内力和原 结构由实际荷载引起的内力，它们都可以通过静 力平衡条件求得。 公式（d）综合考虑了轴向变形、剪切变形和 弯曲变形对结构位移的影响。在实际应用中，则根 据不同形式的结构特性，对不同形式的结构分别采 用不同的简化计算公式。 (1) 对梁和刚架而言，弯曲变形是主要的变形， 而轴向变形和剪切变形对结构位移的影响很小，可 以忽略不计。所以式（d）简化为 （*） (2) 对于桁架，由于各杆件均只有轴向变形 ，且每一杆件的轴力和截面面积沿杆长不变， 所以式（d）简化为 (3) 对于组合结构，梁式杆件主要承受弯矩， 其变形主要是弯曲变形，可只考虑弯曲变形对位 移的影响。而链杆只承受轴力，只有轴向变形， 所以其位移计算公式简化为 (4) 对于拱，当不考虑曲率的影响时，拱结构 的位移可以近似的按式（*）来计算。通常情况下 ，只需考虑弯曲变形的影响，按式（*）计算，其 结果已足够精确。仅在计算扁平拱的水平位移或 者拱轴线与合理轴线接近时，才考虑轴向变形的 影响，即 需要说明的是，在上述位移计算公式中，都 没有考虑杆件的曲率对变形的影响，这对直杆是 正确的，而对曲杆则是近似的。但是，在常用的 结构中，如拱结构、曲梁和有曲杆的刚架等，这 些结构中构件的曲率对变形的影响都很小，可以 略去不计。 【例8.1】 求图（a）所示简支梁的中点C的竖向 位移和截面B的转角。已知梁的弯曲刚度EI为常量。 (a) 【解】 1) 求点C的竖向位移CV 。 在点C沿竖向施加单位力 =1，作为虚拟力 状态如图（b）所示。 (b) l/2l/2 A 分别建立虚设荷载和实际荷载作用下梁的弯 矩方程。取点A为坐标原点，当0xl/2时，有 l/2 A l/2 x x 由于该梁C点左右对称，所以CV只需计算一 半，把结果乘2倍，即得 （） 2) 求截面B的转转角 。 在B端施加一单单位力偶 ，作为虚拟力状 态如图(c)所示。 (c) A C B l 分别建立虚设荷载和实际荷载作用下梁的弯 矩方程。 取A点为坐标原点， 当0xl时，则 和M的 方程为 A C B l x x 则 计算结果为负值，说明实际的转角 与所设单 位力偶的方向相反，即是逆时针方向。 ( ) 【例8.2】 求图（a）所示刚架上点C的水 平位移CH 。已知各杆的EI为常数。 (a) 【解】在C点沿水平方向施加单位力 ，作 为虚拟力状态如图(b)所示。 分别建立虚设荷载和实际荷载作用下刚架各杆 的弯矩方程。 AB杆 BC杆 则点C的水平位移为 计算结果为负值，表明实际位移方向与所设单 位荷载的方向相反。 （） 【例8.3】 求图（a）所示桁架结点C的竖向位 移。已知各杆的弹性模量均为E=2.1105MPa，截 面面积A=12cm2。 (a) 【解】在点C沿竖向施加单位力 ，作为 虚拟力状态如图(b)所示。 计算虚拟力状态的杆件内力如图(b)所示。 (b) -5/6 -5/6 -4/3 2/3 2/3 计算实际状态的杆件内力如图（c）所示。 (c) 具体计算过程列表进行，见下表。由于桁架及荷 载的对称性，计算总和时，在表中只计算了半个桁架 。杆DE的长度只取一半。最后求位移时乘以2。 杆 件 /kN 杆长长l/mm A/mm2 E/(kN mm2) /m m AC AD DE DC 2/3 -5/6 -4/3 5/6 60 -75 -60 0 4000 2500 0.54000 2500 1200 1200 1200 1200 2.1102 2.1102 2.1102 2.1102 0.63 0.62 0.63 0 =1.88mm CV =21.88=3.76mm() 【例8.4】 如图所示为一等截面圆弧形曲杆，已 知杆的I和A均为常数。求B点的竖向位移。并比较 剪切变形和轴向变形对位移的影响BV。忽略曲率的 影响。 F 【解】 1) 在B点加单位竖向荷载 。分别 计算在实际荷载和虚设单位荷载作用下的内力。 取B点为坐标原点，在与OB成角的任意截面上 ，两种状态下的内力分别为 (b) (a) 实际荷载状态 M=Frsin FS=Fcos FN=Fsin 虚设荷载状态 =Frsin =Fcos =Fsin 2)计算位移BV。位移公式为 将ds=rd，代入位移公式。 为为比较较，分别计别计 算M、FN、FS引起的位移， 并用 、 、 表示。 设设杆的截面为为矩形(K=1.2)，宽宽度为为b，高度为为 h,并设设G=0.4E，h/r=1/10，则则 计计算结结果表明，当截面高度h远远小于半径r时时 ，轴轴向变变形和剪切变变形对对位移的影响很小，可以 忽略不计计。 【例8.5】组合结构如图（a ）所示。其中CD、BD为二力杆 ，其拉压刚度为EA；AC为受弯杆 件，其弯曲刚度为EI。在D点有 集中荷载F作用。求D点的竖向位 移DV。 C D B A EI EA EA a a a (a) (b) 【解】在D点沿竖向施加 单位力 ，作为虚拟力状 态如图（b）所示。 分别计算虚设荷载和实 际荷载作用下链杆的轴力图 (b，c)，并建立受弯杆的弯 矩方程。 C D B A EI EA EA a a a (b)(c) 1 F BC 杆 AB 杆 C D B A EI EA EA a a a C D B A EI EA EA a a a x x 求得D点的竖向位移为 8.3 8.3 图乘法图乘法 由上节知道，在计算由荷载作用引起的梁和 刚架的位移时，需要建立弯矩方程和进行繁琐的 积分运算，利用图乘法求位移，可以避免这些繁 琐的计算。 在计算由荷载作用引起的梁和刚架的位移时 ，需要计算积分 。 8.3.1 图乘公式及适用条件 式中 是两个弯矩方程的乘积。若在满足一 定条件的情况下，能画出两种状态下的弯矩图， 则上式可以转换为用弯矩图互乘的方法，即用图 乘法代替积分运算，这样可使计算得到简化。现 在对上面的积分式进行分析： 如果该杆截面的弯曲刚 度EI为一常数，则 如图所示为直杆段 AB 的两个弯矩图，假设 图为 一直线图形，M图为任意图 形。 这里tan为一常数，则有 由于 图为一直线图形，所以 图中某一点 的纵坐标为 式中，dA表示M图的微面积（图中阴影线 部分的面积）；积分 表示M图的面积对于y 轴的静矩，它等于M图的面积A乘以其形心C到y 轴的距离xC，即 。 所以 设M图的形心C所对应的M图中的竖标为yC，由 图有 对于由多个弯曲刚度EI为常数的杆段组成的结构 ，用图乘法计算位移的公式为 显然，图乘法是将积分运算问题简化为求图形的 面积、形心和竖标的问题。 需要说明的是，用图乘法计算位移时，梁和 刚架的杆件必须满足以下条件： （1）杆段的弯曲刚度 EI为常数。 （2）杆段的轴线为直线。 （3）各杆段的 M 图和 图中至少有一个为直 线图形。 对于等截面直杆，前两个条件自然满足。至 于第三个条件，虽然在均布荷载的作用下M图的形 状是曲线形状，但 图却总是由直线段组成，只要 分段考虑也可满足。于是，对于由等截面直杆段 所构成的梁和刚架，在计算位移时均可应用图乘 法。 应用图乘法时应注意： (1)在图乘前要先对图形进行分段处理，保证 两个图形中至少有一个是直线图形。 (2) A与yC是分别取自两个弯矩图，竖标yC必 须取自直线图形。 (3) 当A与yC在杆的同侧时，乘积AyC取正号； A与yC在杆的异侧时，乘积AyC取负号。 下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积 及其形心位置。在应用图示抛物线图形的公式时 ，必须注意曲线在顶点处的切线应与基线平行， 即在顶点处剪力为零。 在图乘运算中，经常会遇到一些不规则的复 杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定， 在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法， 将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。 8.3.2 图乘技巧 （1）若两个图形都是直 线，但都含有正、负两部分如 图所示，可将其中一个图形分 解为ABD和ABC两个三角形， 分别与另一个图形图乘并求和 。 M图 A C D B C1 C2 yC2 yC1 （2）如果M图为梯形 如图所示，可以把它分解为 两个三角形，然后把它们分 别与 图相乘，最后再求和 ，即 C1 C2 l d c yC1 C a b D BA M图 式中： yC2 （3）若M图是非标准抛物线 图形时，可以把AB段的弯矩图分 解为一个梯形和一个标准抛物线图 形如图所示两部分，这段直杆的 弯矩图与相应简支梁在两端弯矩 MA、MB和均布荷载q作用下的弯矩 图是一样的。 AB AB q a AB C D dx dx a q AB MB MA 从上图可以看出，以C、D连线为基线的抛物线 在形状上虽不同于水平基线的抛物线，但两者对应的 弯矩图竖标处处相等且垂直于杆轴，因此两个抛物线 图形的面积大小和形心位置是相等的，即 （不能采用上图中的虚线CD长度）。 必须指出，所 谓弯矩图的叠加是指弯矩图竖标的叠加。 （4）如果杆件（或杆段）的两种弯矩图都不 是直线图形，其中一个图形为折线形，应按折线 分段的方法进行处理 如图所示，然后分别进行 图乘再求和。 另外，即使弯矩图是直线图 形，但杆件为阶梯杆，在这种情 况下，由于各杆段的弯曲刚度不 同，所以也应分段图乘。 【例8.6】 求图示简支梁中点C的竖向位移 CV。梁的EI为常数。 【解】 在简支梁中点C加单 位竖向力 ，如图(c)所示。 分别作荷载产生的弯矩图 M图和单位力产生的弯矩图 图，如图（b，c）所示。 C 因M图是曲线，应以M图作为A ，而 图是由 折线组成，应分两段图乘。但因图形对称，可计算 一半再乘两倍。 所以 【例8.7】 求图示悬臂梁在B点的竖向位移 BV。梁的EI为常数。 【解】在悬臂梁B点加竖向单 位力 ，如图(c)所示。 分别作荷载产生的弯矩图M图 和单位力产生的弯矩图 图，如图 (b，c)所示。 l AB ql2 图乘时要注意，此时的M图的 B点不是抛物线的顶点，因而面积 和形心不能直接用公式。而是应将 M图分解为一个上边受拉的三角形 A1和一个下边受拉的抛物线图形A2 。图形的面积和纵坐标计算如下： l AB ql2 A1 A2 y1 y2 于是B点的竖竖向位移为为 l AB ql2 A1 A2 y1 y2 【例8.8】 求图（a）所示外伸梁C点的竖向 位移CV。梁的EI为常数。 (a) 【解】 在C点加竖向单 位力，如图(c)所示。 分别作荷载及单位力所 产生的M图图(b)和 图图 (c)。 A1 A2 图包括两段直线，所以，整个梁应分为 AB和BC两段进行图乘。AB段的M图可以分解为 一个在基线上边受拉的三角形A1和一个在基线下 边受拉的标准二次抛物线图形A2。 BC段的M图则为一个标准二次抛物线图形A3。 M图中各分面积与相应的图中的纵坐标分别计算如 下： 于是C点的竖向位移为 A1 A2 （） yc3 yc2yc1 【例8.9】 求图（a）所示悬臂刚架梁中点D的 竖向位移DV。各杆的EI为常数。 F (a) 【解】在梁中点D加竖向 单位力图(c)。 分别作荷载作用下的M图 图(b)和单位力作用的 图图(c)。 Fl Fl Fl 0.5l 0.5l 0.5l (c) (b) 在应用图乘法时，把单 位力产生的 图作为图形的面 积，梁上的 图面积作为A1， 柱上的 图面积作为A2图(c) 。 Fl Fl Fl 0.5l 0.5l 0.5l A1 A2 y1 y2 (c) (b) 于是D点的竖竖向位移为为 8.4 8.4 支座移动引起的位移计算支座移动引起的位移计算 静定结构是无多余约束的几何不变体系，支座 移动对静定结构不产生任何内力和变形，只产生刚 体位移。如图所示，静定刚架由于地基的沉陷，使 支座A发生了竖向位移，整个刚架发生了如图中虚 线所示的刚体位移。 因此，静定结构在支座移动时的位移计算，属 于刚体的位移计算问题，位移计算公式可简化为 式中： 虚拟状态的支座反力； c 实际状态的支座位移； 虚拟状态下所有支座反力在实际状 态的支座位移上所做的外力虚功之和。 在上式中，当虚拟状态的支座反力方向 与实际支座位移的方向一致时乘积 取正号 ，否则取负号。 【例8.10】 如图（a）所示结构，若A端发生水 平移动a，竖向下沉b，转角 。求由此引起的点B 的水平位移BH和竖向位移BV。 (a) 【解】 1) 求BH 。 在B点加一水平单位力，如图（b）所示。 由结构的整体平衡条件，计算支座反力。 （b） （） 位移BH为 2) 求BV 。 在B点加一竖向单位力，如图 （c）所示。 (c) 由结构的整体平衡条件，计算支座反力。 位移BV为 （） (c) 8.5 8.5 互等定理互等定理 本节介绍线弹性体系的三个互等定理，即 功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理 。其中最基本的是功的互等定理，其余两个定 理可由功的互等定理推导得到。这几个定理在 计算位移和求解超静定结构时是很有用的，也 是今后学习、研究其他有关内容的基础。 设同一结构分别受到两组外力F1和F2的作用， 如图 (a，b)所示的两种状态。 8.5.1 功的互等定理 （a）状态I AB 12 （b）状态II AB 12 F1 F2 状态中，在F1产生的内力用FN1、FS1、M1表 示，F1产生的与F2相应的位移为21。 状态中，在F2产生的内力用FN2、FS2、M2表 示，F2产生的与F2相应的位移为12。 （a）状态I 21 AB 12 （b）状态II 12 AB 12 F1 F2 若以We12表示状态的外力在状态的位移上 所做的虚功，则根据虚功原理可写出虚功方程如下 ： 反过来，若以We21表示状态的外力在状态 的位移上所做的虚功，可写出虚功方程如下： (a) (b) 比较(a)、(b)，可知以上两式的右边完全相同 ，故有We12 = We21 。或写为 F112=F221 上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移 上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的 位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。显然， 功的互等定理研究的是同一结构的两种状态的虚功 关系。 位移互等定理是功的互等定理的一种特殊情况 ，研究的是同一体系的两种状态，在两个作用点分 别作用单位力时，在单位力的作用点沿单位力方向 的位移之间的关系。 8.5.2 位移互等定理 在如图所示的两种状态中，结构受到的荷载 均为单位荷载，即都只受一个单位力F1=F2=1的作 用。设用12表示由F2=1引起的与F1相应的位移，用 21表示由F1=1引起的与F2相应的位移，则由功的互 等定理可得 F112= F221 因F1= F2=1，故有 12=21 （a）状态I 21 AB 12 （b）状态II 12 AB 12 F1=1F2=1 上式表明：第一个单位力引起的第二个单位力 作用点沿第二个单位力方向上的位移，等于第二个 单位力引起的第一个单位力作用点沿第一个单位力 方向上的位移。这就是位移互等定理。显然，位移 互等定理是功的互等定理的一种特殊情况。需要说 明的是，这里的单位力可以是广义力，而位移是相 应的广义位移。位移互等定理将在后面的力法中求 解超静定结构时用到，