数学专业毕业论文-高等数学思想方法指导下的中学数学教学研究.doc

江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 高等数学思想方法指导下的中学数学教 研究 the effect on the teaching of middle school mathematics under the guidance of thoughts and methods of advanced mathematics 姓 名： 学 号： 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2011 年 3 月 1 日 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 i 高等数学思想方法指导下的中学数学教学研究 xxx 数学与应用数学（师范类） 【摘要摘要】中学数学内容，是常量和变量数学的初步认识，是高等数学许多概 念和理论原型和特征所在。本文在讨论运用高等数学思想方法来研究中学数学 教学，可以取得良好结果的基础上，通过具体例子分析高等数学思想方法在中 学数学教学研究中的指导作用。 【关键词关键词】高等数学 思想方法 中学数学 教学 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 ii the effect on the teaching of middle school mathematics under the guidance of thoughts and methods of advanced mathematics wang yan yan 【abstract】the content of the middle school mathematics is the preliminary understanding of constant and variable mathematics.many concepts and theoretical prototype and features of advanced mathematics lie in the middle school mathematics. the test on studying the middle school mathematics teaching based on discussion of using thought and method of advanced mathematics can achieve good results .the analysis of thoughts and methods of advanced mathematics guide the teaching research in the middle school mathematics based on the concrete examples. 【key words】advanced mathematics thoughts and methods middle school mathematics teaching 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 iii 目录 1 引言1 2 高等数学思想与中学数学教学1 2.1 高等数学思想在中学数学教学中的地位与作用 1 2.2 高等数学思想应用在中学数学教学中的意义 1 2.3 新课标理念下的中学数学教学 1 2.4 中学数学教学中几种主要的高等数学思想方法 2 3 运用高等数学思想方法研究中学数学教学2 3.1 利用“构造”的思想方法研究中学数学教学 2 3.1.1 “函数与方程”的思想方法 2 3.1.2“数学关系”的思想方法 .4 3.1.3 “图形”的思想方法 5 3.2 利用“动”与“静”的相互转化思想研究中学数学教学 6 3.3 利用“变量”与“常量”的转化思想研究中学数学教学 7 3.4 利用微积分思想来研究中学数学教学7 3.4.1 导数函数思想 7 3.4.2 极限思想 9 3.5 利用类比思想研究中学数学教学 .12 3.5.1 用类比法教学12 4 结束语.14 5 参考文献.14 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 1 高等数学思想方法指导下的中学数学教学研究高等数学思想方法指导下的中学数学教学研究 1 引言 新一轮课程改革正在全国范围内如火如茶的开展，这将改变我们现有教育 模式的一此弊端，如课程内容的繁、难、偏、旧；死记硬背、题海战；课程结 构单一，学科体系相对封闭等等。新课程标准更注重学生的发展，重视知识与 能力，强调过程与思想方法，关注情感态度与价值观。 著名数学家，数学教育家 g波利亚曾指出：“对于任何一门学科，我们 要掌握两方面的东西知识和技巧。 ”对于数学学科而言，知识就是概念、定 义、公理、定理、命题、性质和公式法则等；所谓技巧就是内容所反映的思想 方法。数学的精神、思想和方法是数学宝库中最重要的组成部分，是数学学科 赖以生存和发展的重要因素。1 1 2 高等数学思想与中学数学教学 2.1 高等数学思想在中学数学教学中的地位与作用 所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数 学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍 的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。2 高等数学思想是数学思想的一部分,是一种科学的思想,在数学的发展过程 中越来越显示出其核心与灵魂的作用。数学思想方法是数学知识的精髓。中学 阶段进行数学思想方法的教学是 21 世纪学校培养具有创新精神与实践能力的人 才的重要手段。而进行中学数学思想方法的教学研究更能使我们中学数学教师 充分吸收国内外数学思想方法论知识，提高对数学思想方法教学重要性的认识， 从而能够有意识、自觉地实践数学思想方法教学。好的数学教学成果不是课堂 上直接教给学生的数学内容本身，而是使学生领会和掌握的隐含在课本内容背 后的数学思想方法，加强数学思想方法教学是中学数学教育现代化的关键。 2.2 高等数学思想应用在中学数学教学中的意义 著名数学家、数学教育家 g波利亚的调查表明，数学思想比形式化的数 学知识更具普遍性，在学生为来的工作和生活中有更加广泛的应用。高等数学 思想是一种高观点，是数学中高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法 分析、处理和解决数学问题的过程之中。用高等数学思想方法指导中学数学教 学，可以提高教学质量和教学水平，拓广学生的解题思路与解题能力。 2.3 新课标理念下的中学数学教学 什么是数学教学过程？教学论认为：数学教学过程既是一种特殊的认识过 程，又是一个促进学生全面发展的过程，它是认识与发展相统一的活动过程。 新课标标准下数学教学过程可作这样的表述：数学教学过程是师生双方在数学 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 2 教学目的指引下，以数学教材为中介，教师组织和引导学生主动掌握数学知识、 发展数学能力、形成良好个性心理品质的认识与发展相统一的活动过程。 其实数学教学过程还可以这样表述：从结构来看，它是一个以教师、学生、 教材、教学目的和教学方法为基本要素的多维结构；从功能来看，它是一个教 师引导学生掌握数学知识、发展数学能力、形成良好心理品质的认识与发展相 统一的过程；从性质来讲，它又是一个有目的、有计划的师生相互作用的双边 活动过程。 新课标标准认为教材是数学教学过程的重要介质，教师在数学教学过程中 应依据课程标准，灵活地、创造性地使用教材，充分利用包括教科书、校本资 源在内的多样化课程资源，拓展学生发展空间。除此之外，新的数学教材已初 步渗透了高等数学的一些知识点和思想方法。教师在数学教学过程中，利用这 些知识点和思想方法来解决中学数学问题显得既简洁又优美。 2.4 中学数学教学中几种主要的高等数学思想方法 高等数学思想方法的内容是丰富的，根据中学数学教材，本文选了中学数 学教学中几种主要的思想方法。 3 运用高等数学思想方法研究中学数学教学 数学思想属于数学上的深层知识，在教学中认真将表层知识教学与深层知 识教学结合起来，能够以数学思想、方法为指导进行各课活动。在教学中联系 旧知识，讲授新知识，渗透数学思想，引导学生运用数学方法，努力提高学生 的数学能力，通过引导学生领会数学知识间内在本质的联系，使学生形成良好 的认知结构，这种教学是应该提倡的。 3.1 利用“构造”的思想方法研究中学数学教学 “构造方法”在高等数学中的应用随处可见，其例子不胜枚举，为数学的 发展立下了不朽的功勋，在数学分析3中更具有举足轻重的作用。 “构造方法” 的主要思想在于构造函数，构造方程，构造数学关系式，构造辅助命题，构造 等价命题，构造图形等等。如果我们用这种方法来研究中学数学，将会使研究 的水平提高一个档次，而且可以简化解题过程。 3.1.1 “函数与方程”的思想方法 函数内容是贯穿于代数知识的主线，函数的定义是建立在集合基础上的， 它把变量和变量之间的函数关系，归纳为两集合中元素间的对应4 4。函数思想 的实质是运用联系和变化的辩证唯物主义观点，从问题中抽象出数学对象及数 量特征，建立函数关系，从而刻画自然界中量的制约关系和依存关系。方程是 中学数学中的重要内容，方程在数学、生产实践及其学科中有广泛的应用。所 谓方程思想就是要解决的问题包含一个或若干个未知量时，寻找含有未知量的 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 3 方程或方程组，通过获得方程或方程组来解决此问题。函数与方程是高中阶段 数学的主要内容，在数学教学中，二次函数与二次方程是重点。各个单元、章 节中也离不开函数也方程，所以在教学中，教师要向学生渗透“函数与方程” 的思想方法，特别是在不等式，三角，解析几何等章节。 例 1 我国古代数学名著孙子算经中有一著名的“鸡兔同笼”问题：今 有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问鸡兔各几只？5 分析：孙子在其著作中给出这一问题的解法，恰是解方程组的过程，这是一个 简单的二元一次方程组。 解法：略。 例 2 已知，且，都是正数，问取得怎样的值时， mmm abcabcmm 以， 为三边可构成三角形？并指出三角形的形状。6abc 分析：题目中有“取得怎样的值”可把视为“变量” ，以， 为边，mmabc 要构造三角形，且指出形状，需考虑对三角形进行分类，若以最大角的大小来 分，则因大角对大边，从给定的式子，直觉地意识到，应为三角 mmm abca 形的最大边。 解：， ，都是正数 mmm abcabcm ,ab ac ，acbabc ， 三边只要满足就可构成三角形。abcbca 构造函数：( ) xx bc f x aa 01,01 bc aa 减函数。( )f x 由已知条件，知，即 mmm abc1 mm bc aa ( )1 mm bc f m aa （1）当时，以， 为边不能1m 1( )(1),1, bc f mfabc aa abc 构成三角形。 （2）当时，即，以， 为三边1m 1f mf1, bc bca a abc 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 4 能构成三角形。 当时，则以， 为边能构12m 22 222 1, bc bca aa abc 成一个钝角三角形。 当时，则以， 为边能构成一个直角三角2m 222 abcabc 形。 当时，即则以，2m 2 ,f mf 22 222 1, bc bca aa a ， 为边能构成一个锐角三角形。bc 例 3 证明：如果，那么。 22 111xxyy0xy 证明：构造函数 2 lg1f xxxxr 易证在是奇函数且单调递增 f xr 22 111xxyy 22 lg1lg1f xfyxxyy 22 lg11xxyy lg10 f xfy f xfy 是增函数 f x xy 即0xy 3.1.2“数学关系”的思想方法 例 4 已知数列，求。 n a 11 21,1 nn aana n a 分析：希望能把转化为 11 21,1 nn aana 1 21 nn aanbaa nb 即 1 2222 nn aanbaanab 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 5 1 22 nn aaanab 即1, 21aab3b 解：由已知，设 1 32(1)3 nn anan 3 nn ban 则，即是公比为 2 的等比数列且 1 2 nn bb n b 11 1 31 1 35ba 即 1 5 2n n b 1* 5 23() n n annn 3.1.3 “图形”的思想方法 如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某 种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关 系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问 题的结论。在数学教学中，构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。 这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析 几何图形。 例 5 已知，01,01ab 求证：。 2222 2222 11112 2abababab 证明：构造单位正方形，o 是正方形内一点，o 到 ab,ad 的距离为 , b a 则 aobocodoacbd 其中 22 |baao 22 ) 1(|babo 22 ) 1() 1(|baco 22 ) 1(|bado 2| bdac 2222 2222 11112 2abababab 综上可知，构造法体现了数学发现的思维特点， “构造”不是“胡思乱想” ， 不是凭空“臆造” ，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观 察为先导，以分析为武器，通过仔细地观察、分析、去发现问题的各个环节以 a b c d o 1b b a 1a 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 6 及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。最后还应指出，构造法并非是上述 题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的几种，对于同一道题既能 有几种构造法，也可以用其它方法来解。在数学教学中，应注意对学生创新性 思维的培养，使学生体会知识间的内在联系和互相转化，能创造性的构造解决 问题的有力条件，巧妙地解决问题，从而获得学习的愉悦感和成功的体验。 3.2 利用“动”与“静”的相互转化思想研究中学数学教 学 一切事物都是运动的。运动是绝对的，静止是相对的，动中有静，静中有 动。用运动变化的观点解决数学问题是中学数学教学中的重点和难点。在运动 变化的问题中，要培养学生大胆创新，勇于探索的精神，在变中寻求不变量， 应用 不变量使问题得以解决。 例 6 求证：无论为何值，曲线总过定点。a 22 4220250xyaxaya 分析:“定点” ，表现“静态”的特征；无论为何值，表现出“动态”的特征。a 以“动”求“静” ，这是解决问题的基本思想。 解：因为： 当时，曲线方程为（1）0a 22 250xy 当时，曲线方程为（2）1a 22 4250xyxy 根据（1）和（2）两曲线方程得到这两条曲线的交点是和。5,03,4 由于的变动，表现为曲线的变动，曲线的交点是否变动？a 当时，曲线为（3）1a 22 42450xyxy 根据（2）和（3）两曲线方程得到这两条曲线的交点也是和。5,03,4 所以对于任意的，总过定点和。a 22 4220250xyaxaya5,03,4 例 7 如图已知正方形 abcd 的边长为，e 为 bc 之中点，f 为 cd 上任一点，a 现沿 ae，af 折起，使 b, d 两点重合，成立体图形。求 b 点到面 aef 的最大距 离 。 分析：按照一般的方法，可以建立 bg 的函数关系式求 最值，但太繁琐了。这题可利用“动” “静”转化的思 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 7 想来解。 解：因为点 f 为 cd 上的动点，所以折起后 b 点到面 aef 的距离不定，但沿 ae 折起时,当面 bae面 aef 时，b 到面 aef 的距离最大。即abe 斜边 ea 上rt 的高 bg= 为所求。 5 5 a 3.3 利用“变量”与“常量”的转化思想研究中学数学教 学 数学分析主要研究变量与函数。通过对变量与函数的研究推导出一系列的 公式，法则及定理。在中学数学教学中， “变量”与“常量”的相互转化是一个 难点。教师可以根据一个题目的讲解，渗透这种数学思想方法。 例 8 解方程。 3 2 55510xx 分析：此题若按三次方程求解相当困难。若将“”看作“未知数” ， x 看x5 作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程” 。5 解：由题可得 2 23 521510xxx 解之得或51x 2 1 50 xx x x 所以方程的解 123 512 52512 52 15, 22 xxx 3.4 利用微积分思想来研究中学数学教学 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用创了向近代数 学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应 用.在高中阶段，学生通过实例，如由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的 过程。理解导数概念，了解导数在研究函数的中单调性、极值等性质中的作用； 极限理论也是微积分的理论基础。初步了解定积分的概念，会用牛顿一莱布尼 兹公式计算比较简中的定积分；理解微积分基木公式，为以后进一步学习微积 分扫下基础。但是高中阶段，微积分基木公式没有给出证明，只要求学生会运 用等等，这些公式、定理的推广、认定、证明，包括定积分计算中的换元积分 法、分部积分法等都在大学阶段继续学习。通过学习，学生将体会微积分的思 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 8 想及其丰富内涵，感受微积分在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价 值。 3.4.1 导数函数思想 中学数学用代数方法研究函数的一些性态，如单调性，周期性和极值等， 但由于方法的限制，这些研究不全面，计算也繁琐，不易掌握其规律，导数函 数为我们更广泛地研究函数的性态提供了有力的工具。 例 9 已知函数，的导函数是，对 2 2 ln ,(0)f xxax x x f x fx 任意两个不相等的正数，证明：当时，。 1,2 x x0a 12 12 22 f xf xxx f 解：由题可得 32 4 “2 a fx xx 当，0a “0fx 为定义域上的凸函数 f x 12 12 22 f xf xxx f 本题若用初等数学的方法则比较繁琐，证明如下： 由得： 2 2 ln ,(0)f xxax x x = 12 2 f xf x 22 12 12 12 lnln11 22 axxxx xx = 22 1212 12 12 ln 2 xxxx ax x x x （1） 2 1212 1212 2 242 xxx x xxxx 又 2 22 12121212 24xxxxx xx x （2） 12 1212 4xx x xxx 12 12 2 xx x x 12 12 lnln 2 xx x x 0a 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 9 （3） 12 12 lnln 2 xx ax xa 由（1） ， （2） （3）得 2 12 121212 1212 lnln114 ln 2222 axxxxxxxx a xxxx 即。 12 12 22 f xf xxx f 例 10 已知，在时取得极值，且， 32 0f xaxbxcx a1x 11f （1）试求的值。, ,a b c （2）试判断是函数的极大值还是极小值，并说明理由。1x 解： （1） 2 32fxaxbxc 是方程的极值点1x f x 1x 是方程的两根。 0fx 即 10f320abc 即 10f320abc 由题得即 11f 1abc 由得 13 ,0, 22 abc （2）由（1）可知即 3 13 22 f xxx 3 11 2 fxxx 当或时，1x 1x 0fx 当时，11x 0fx 即在和上是增函数，在是减函数。 f x, 1 1,1,1 即当时，函数取得极大值。1x 11f 当时，函数取得极小值。1x 11f 3.4.2 极限思想 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 10 极限法是微积分的理论基础。极限法是指用极限概念分析问题和解决问题 的一种数学方法。极限法是一种思想和方法论，是过程与结果的统一。它的一 般步骤可概括为:对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认 这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后通过极限计算来得到这结 果。 极限思想提供了从变量的无限变化中研究其变化趋势的数学方法，使人们从有 限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变成为可能，在生活生产 实践中，在各个学科各个方面都具有广泛的应用价值。 古代哲学家庄周所著的庄子天下篇中的“一尺之捶，日取其半，万 世不竭”表达了极限思想。古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限 思想来求圆的周长，他首先作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边 形的周长就越接近圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割 以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。 ”正是用这种极限的思想求出了较为精 确地，即“徽率” 。 7 7 例 11 给定抛物线，证明在轴正向上必存在一点 m，使得 2 20ypx px 对于抛物线上过 m 的弦 pq，取定值。 22 11 mpmq 分析：假设点 m 确实存在，由题可得对过 m 点且垂直 x 轴的弦（如左图） ，所以也过这个定值。 00 pq 00 11 mpmq 设，有 000000 ,0 ,m xp xyqxy 但从这个式子还看不出点 m 是哪个定点，下 22222 000000 111121 mpmqyyypx 面再考察弦的一个极限情形一轴的正半轴，它也过 m 点，它的一个端点是原点 o,另一个端点可以看成是跑到无穷远处的极限点，此时虽不能再称它是抛物p 线的弦了，它是弦的一个极限情形但显然有，因此有mp ，它是定值，且应有，由此可得。于是可以 222 0 111 mompx 2 00 11 pxx 0 xp 猜想定点为，剩下只需验证过点的任一弦均有,0m p,0m ppq 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 11 （定值） 。 222 111 mpmqp 解：设过的直线参数方程为（为直线倾斜角， 为,0m p cos sin xpt yt t 参数） 。代入抛物线方程得。 222 sin2 cos20tptp 这个方程的两根 及几何上分别表示 mp 及 mq 的值，且 1 t 2 t 2 121 2 22 2 cos2 , sinsin pp ttt t 所以 2222 12 1111 mpmqtt = 22 12 2 2 1 2 tt t t = 2 121 2 2 1 2 2ttt t t t = 2222 4 4cos4sin 4 pp p = 2 1 p 这就证明了是满足题意的定点。,0m p 例 12 已知数列中，且对于任意正整数，总有， n a 1 1a n 1 2 n n n a a a 是否存在实数，能使得对于任意正整数恒成立？若存在，, a b 2 3 n n aab n 给出证明；若不存在，说明理由。8 8 分析：极限思想 如果这样的存在的话，则由，可得，对, a b 2 3 n n aab lim n n aa 两边取极限，得，解得或 1 2 n n n a a a 2 a a a 0a 3a 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 12 若，则数列应该是以 1 为首项，为公比的等比数列。0a n a 2 3 可知 12 2 1, 3 aa 显然，不合题意，舍去； 1 2 1 2 a a a 若 3a ，将 1a 代入，可求得 2 3 n n aab 3b 此时，同样验证，亦可得出矛盾。 2 33 3 n n a 12 ,a a 因此，满足题意的实数不存在。, a b 3.5 利用类比思想研究中学数学教学 当两个对象或两类事物的一些属性相同或相似时，猜想他们的另一些属性 也可能相同或相似的思考方法叫做类比。9 9类比是从特殊到特殊的思考方法。 类比 得到的结论仅仅是一种猜想，可能正确也可能不正确。10 10类比的关键是寻找合 适的类比对象。 在中学数学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方 法，能使学生巩固旧知识、掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复 杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。 3.5.1 用类比法教学 随着课程改革的深入展开，培养学生的综合解题能力越来越重要，数学学 习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。 类比可以使学生经历探究的学习过程，改变学生的学习方式；类比能培养学生 直觉思维能力，是种很重要的思维方法；类比可以增强学生的数学应用意识， 提高解决问题的能力。 数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想， 从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去，促进发现新结论。教学 中由于提供了思维发生的背景材料，既活跃了课堂气氛，又有利于在和谐、轻 松的氛围中完成新知识的学习。通过对近几年高考数学试题的分析研究，不难 看出类比思想已逐渐渗透于高考试题之中，因此，在数学教学和解题中，教师 要有意识地对学生进行类比推理能力的训练。 （1）高中立体几何学习阶段，可以让学生探索一些空间的点、线、面，观 察其是否具有与平面中类似或相同的关系。通过类比培养其空间想象能力。例 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 13 如：平行公理（即若直线，则）在平面与空间都成立；而平面/ / , / /ab bc/ /ac 中成立的命题：“若直线，则”拓展到空间则不一定成立；从,ab bc/ /ac 平面向量到空间向量，同样是从二维到三维的推广，将向量的运算规则由二维 到三维的拓展，采用“类比”手段也是行之有效的。11 （2）练习中，渗透类比法解题 例 13 如图 2，在正方形 abcd 中，m 是 bc 边（不含断点 b,c）上任意一点， p 是 bc 延长线上一点，n 是的平分线上一点。若,求证：dcp90amn am=an. 下面给出一种思路： 证明： （1）在边 ab 上截取,连aemc 接 me，在正方形 abcd 中， 90bbcd abbc nmcamnamb =bamb =mab =mae aemmcn aemmnc ammn （2）若将（1）中的“正方形 abcd”改为“正三角形 abc” ，如图，n 是 的平分线上一点，则当acp 时，结论是否还60amn ammn 成立？说明理由。 分析：（2）中只是由“正方形”改为 “正三角形”且改为，试试采用类比问题中“构造90amn 60amn 江西师范大学 2011 届学士学位毕业论文 14 全等三角形”的方法能否证明？ammn 例 14 中学数学中存在许多关