数学专业毕业论文-函数的极值和最值及其应用.doc

函数的极值和最值及其应用摘要数学应用是数学教学的一个重要的任务。本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。文中涉及的实际应用有：1.极值理论在海事安全、保险业、金融风险管理等领域的应用。 2.最值在商业最大利润、税收额最大、最大期望、最优计划安排等问题中的应用。在极值和最值的理论学习后，如何运用所学知识解决实际问题应得到我们的重视。从而认识到极值最值在数学中的重要性及数学在生活中的必不可少性！关键词：极值；最值；应用。 目录1.引言 - 12.函数极值的相关理论 - 1 2.1函数极值的定义- 1 2.2极值的充分条件- 2 2.3函数极值的求解方法- 33.函数最值的相关理论- 6 3.1函数最值的定义- 6 3.2函数最值的求解方法- 74.函数极值和函数最值的区别和联系- 95.极值的应用- 116.最值的应用- 137.结论- 18 参考文献- 19 致谢- 201.引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用。不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现性和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用。许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式。而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其它学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。下面，就让我们系统的归纳和展示，函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！2.函数极值的相关理论2.1函数极值的定义 设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的一个极大值。如果附近所有的点，都有，则是函数的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。费马定理：可导的极值点一定是稳定点极值点一定是稳定点或不可导点。数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数在点处可导，且为的极值点，则.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是.2.2极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设在点连续，在某邻域内可导.(1）若当时，当时， 则在点取得极小值.（2）若当时，当时， 则在点取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且.（1）若，则在取得极大值.（2）若，则在取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设在的某个邻域内,存在直到阶导函数，在处阶可导，且,则.（1）当为偶数时，在取得极值，且当时取极大值，时取极小值;（2）当为奇数时，在处不取极值.2.3函数极值的求解方法函数极值的求解方法有很多，根据定义我们可以用导数法进行求解，但当函数较为复杂, 导数与驻点及不可导点不好求或函数较为复杂时，我们可以采用以下方法进行求解：2.3.1降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 例1：已知，求函数的极值。 解：由题设得，代人得 即函数的定义域为： 当时， 当时，2.3.2转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。 例2：求函数的极小值. 解：设 令 则： 例3：求函数的极值 解：原函数化为： ，其中 解得： 2.3.3换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例4：已知，求的极值. 解： 令 则 （其中） 例5：求函数的极值分析：本例可通过辅助元把所给函数化为二次函数： ，即把上述极值问题转化为抛物线在范围内求最高点和最低点的问题。此处不予以细致解答。2.3.4判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例6：已知满足，求的最小值. 解：由得代人约束条件并以为主元整理得： 解得: （1） 当且仅当时（1）式取等号。 由的对称性知当时， .2.3.5不等式法例7：已知满足，求函数 的极值。 解：由已知式配方得： （1） （2） 得 解得： 其实，函数极值的解题方法不少,如三角法、参数法,极坐标法、区间法等都有一定的技巧性.解题时应认真分析,审查题目的特征、结构、挖掘隐含条件,抓住特征,发挥联想,运用灵活多变的替代、转化,有时还需要反其常规,逆向思维,以退为进选择合理的解题方法,逐步提高解题技能,才能做到准确简捷地解题.本文就此不做具体展示。3.函数最值的相关理论3.1函数最值的定义3.1.1函数最值 设函数在区间上有定义，如果存在一点，使得不小于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最大值，又可记为 ；同样使得不大于其他所有的，亦即 ，则称是在上的最小值，又可记为 .注意：函数在上未必一定有最大（小）值。例如函数在区间上无最大值但有最小值，最小值为0；又如函数在区间上有最大值为0，但无最小值；而函数在内既无最大值又无最小值。3.1.2函数最值与上（下）确界的关系设函数在上有定义，则它的所有函数值组成一个数集，这个数集有它的上确界和下确界，即，例如同样的函数在的上确界为1，下确界为0.容易知道，函数在上的最大（小）值一定是它在区间上的上（下）确界，但反过来，上（下）确界未必是最大（小）值，这是因为函数可能不存在最大（小）值。例如函数在内有上确界1，但无最大值。3.2函数最值的求解方法3.2.1导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间a，b上的最值可分以下两步步骤进行：1.求函数的导数 2.求函数在a，b内令的的值（称之为“驻点” ）3.判断驻点左右两侧的正负，以此判断函数曲线的走向（为上升，为下降），左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值。4.如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5.求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。例： 求函数在闭区间-2，2上的最大值和最小值。 解：先求导数得：， 令即， 解得 计算得： 比较得3.2.2几何法例如：已知，求函数的最小值。 解：本题的几何意义是在直线上求一点，使得到点的距离之和为最小。如图： 设：点坐标为，直线的方程为。由几何光学原理知当点光源从射出后，经镜面反射到点。这时就是所求的最小值。设点关于光线的对称点为，于是 ，由 解得 其实，对于函数最值的求解，我们可以依据极值的求解。通过最值的定义与最值和极值的关系来求解最值。而对于实际生活中出现的求解函数最值的问题，我们通常使用定义法和极值最值关系来求得我们需要的答案。对此，下面最值的应用一节中我们会具体给出。4.函数极值和函数最值的区别和联系4.1区别 极大值与极大值点：如果存在点的某一邻域，使得对任意，则称为的极大值点，叫做极大值。极小值与极小值点：如果存在点的某个邻域，使得对任意，则称为的极小值点，叫做极小值。最大值：在的定义域上，如果存在，使得对任意，有：，则称是的最大值点，称作函数的最大值。最小值：在的定义域上，如果存在，使得对任意，有：，则称是的最小值点，称作函数的最小值。4.2联系极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点。 即在最值的求解中，我们可以先求得函数在定义区间的极值和端点处得值，将所得数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值。简单说明，最大（小）值不一定是极大（小）值，因为定义区间的端点为最值时，此处导数不一定为零，即不是极值。同理定义区间的极大（小）值，也不一定是函数的最大（小）值，最大（小）值可能在端点处取得！但如果区间内只有一个极值，那么这个极值一定是最值(最大值或最小值)。4.3最值和极值的联系与区别（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；（2）极值未必是最值；（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。根据极值最值的联系和区别，我们了解到，函数的极值和最值有着密不可分的关系，下面就让我们继续展示函数极值和最值在实际生产生活中的具体应用，以及数学学习在科学发展和经济生活中是如何占据着重要的位置。5.极值的应用5.1极值理论拯救生命发生在1953年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅。此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤。而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护。由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范。这些海堤根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战。科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准。这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微。极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容。然而这些建议，旨在防止类似mvderbyshire货船沉没的悲剧重演。1981年，mvderbyshire在日本以南海面遭遇台风而沉没，船上44名船员全部遇难。2000年，一份官方调查发现，这艘船的前舱舱口盖在大浪的冲击下塌陷，导致海水涌入。这一调查结论清洗了船长和船员的冤屈，他们曾因这一悲剧的发生而遭到指责。 这一结论部分基于兰开斯特大学(lancasteruniversity)乔纳森陶恩(jonathantawn)教授和珍妮特赫弗南(janetheffernan)博士的研究结果。两位学者利用极值理论考察了船舶舱盖被足够狂暴的海浪冲击所打开的各种可能性。在与劳氏(lloydsregister)共同进行的研究中，上述两位学者还使用极值理论，说明除了在灾难发生后推荐增加防护层外，对类似derbyshire那样大小的船舶而言，其舱盖强度应该再提高35%。几个月后的2001年12月，大型散装货船克里斯多佛号(christopher)在亚速尔群岛附近海面沉没，27名船员遇难。最后时刻的无线电通讯报告显示，该船的前舱舱口盖已经被海浪冲垮。这是derbyshire命运可怕的重复可能这也正说明，若不遵照行事，即使是最成熟的理论也起不了保护作用。 5.2极值理论在其他行业中的应用例如保险业：保险公司需要对洪水、风暴和飓风等极端事件的发生机率进行评估，因而成为最早的受惠者之一。若高估了风险，保险费高得不切实际，可能吓走顾客；如果低估了风险，一旦事件发生，保险公司又会蒙受损失。根据极值理论，飓风遵循“0.1比95”的法则，即1000种飓风中只有一种是真正的威胁，这种飓风来一次，就可以吞噬掉理赔总额的95%。了解这一点后，保险公司就可以制定更适当的保费水平，这对自己和客户都有利。 极值理论还进入了金融风险管理领域，这个行业至今仍因1998年长期资本管理公司(longtermcapitalmanagement)的崩溃而隐隐作痛。在俄罗斯经济灾难的打击下，这家对冲基金巨擘手足无措，由15家银行组成的财团不得不进行救援，动用的资金高达35亿美元。为防止这样的事件再次发生，风险经理们密切关注他们所谓的“受险价值”(var)，即固定时间周期内(一般为10个交易日)某种概率之下，比如百分之一，交易可能发生的最大亏损值。然而受险价值方法也仅仅和它所基于的概率曲线不相上下而已。极值理论显示，使用常见的钟型曲线也不够好，容易导致低估巨大冲击的真实风险。 但是，极值理论还处在襁褓期，数学家们仍在探索它的潜能，特别是在预测同时发生的几个极端事件方面的潜能。即便如此，这一方法已在帮助我们挽救生命和财富了。对于我们的生活已经起到了不可或缺的地位。 6.最值的应用 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把实际问题翻译为数学语言,找出问题的关键,根据题中所给条件之间的相互关系,把问题化为常规问题。通过把主要关系近似化,形式化,抛开实际意义,抽象出一个数学模型,选择合适的数学方法求解。6.1最大利润与最小成本问题利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。如果设总成本为c，固定成本为c0，可变成本为c1，产量为q，那么，总成本函数可表示为：c（q）=c0+c1(q)。设产品销售量等于产量q，产品价格为p，则收益函数为：r(q)=p(q) 例如：某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产1吨产品的成本为60元，市场对该产品的需求规律为 (其中为价格，为需求量)，求产量为多少时利润最大；最大利润时的价格又是多少？因为总成本是产量的函数，即，而销售总收益为： 于是总利润为令,得驻点，所以为极大值，也是最大值。即当生产量吨时总利润最大，此时最大利润是2000元。当产量吨时，价格（元），即最大利润时的价格是80元。又如，用每平方米10元的钢板，制作一个4立方米的油箱，油箱的底部是正方形，形状是长方体，无盖，焊接成本40元，问最低总费用是多少？若设油箱底边长为米，高度为米，则体积，其高，则油箱表面积为，油箱所用总费用等于焊接成本费用加油箱所用原料成本费用，即 ，令，解得驻点，所以是极小值点，也是最小值点，此时高度，当 时，（元）。即当边长为2米，高位1米时，最低的费用是160元。6.2税收额最大问题问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积）。假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是 （1）其中表示产品的税率，表示市场消费的数量。由于税率等于，所以政府的收益就应等于税率和市场消费数量的积，即 （2）其中和被假设为非负值，的定义域为，由于和时，都等于零，所以在0与3之间达到极大值。对（2）式求导数有解得驻点，将它代人（2）式，即收益，再将代人（1）式，求得税率。所以当税率为时，政府可获得最大收益7.79.6.3最大期望问题对策论使用的最基本、最重要的概念是期望值。期望值就是：若一个试验有几种可能结果，其收益值分别为m1，m2。mn，发生的概率分别为p1，p2。pn,则期望收益值为e=m1p1+m2p2+。mnpn。期望值不能解释为一次试验必然发生的值，它是大量试验的平均收益。在市场竞争中，e 是竞争者在长期经营中期望得到的平均收益，若e=0，则说明该竞争者对竞争双方是公平的，若e 是正值，则说明该竞争者对一竞争者有利，对另一竞争者不利。通常情况下，正的收益可解释为利润，收入或盈利，负的收益可解释为损失、惩罚、亏空。例如：一堆产品有六个等级，其数量各为。各级品售出一件的盈利见下表1，试问该堆产品每件平均销售盈利是多少？因为各级品出现的可能性相同，所以各级品出现的概率均为,因此作表1 如下：结果123456概率收益123456各级产品销售的期望值 （元）这就说明，这堆有六个等级的产品每件平均销售盈利是3.5元。又如：某出租车公司每天每辆汽车的租金是16元（汽油和运行里数是顾客的一类费用），每辆汽车每天的费用是6元，若一辆汽车出租一天，该公司盈利10元；若汽车没租出去，每辆汽车每天损失6元。所以该公司的利润依赖于两个因素：一是汽车的需求，二是该公司用的汽车数。据以前出租的记录，汽车的每天需求情况如下：顾客数89101112概率0.10.10.30.30.2试求顾客的期望数和该公司拥有的最佳汽车数（即获得最大期望利润的汽车数）。 解：顾客的期望数为 e=8*0.1+9*0.1+10*0.3+11*0.3+12*0.2=10.4，因为少于11 个顾客是期望值，所以顾客数不应该超过11个。那么该公司有多少辆汽车呢？因为费用在决定利润时起主要作用，所以汽车数可能是最接近10.4 的整数。下一步要计算每个可能汽车数的期望利润，选择最大利润对应的汽车数。假如该公司现有10 辆汽车，若没租出去的总费用为60元。顾客数可为8、9、10 个以上三种时的期望利润等于 有11 辆汽车时，若没租出去的总费用为66元，顾客数分别为8、9、10 和11以上四种情况，其期望利润等于总之，按照上面过程可计算出该公司拥有8至12辆汽车时的期望盈利，列表2 如下：汽车拥有数89101112期望利润8088.495.297.294.4通过表2 可以看出，该公司拥有11 辆汽车时，利润最大。6.4最优计划安排，最佳混合生产问题在经济活动中，经常要考虑两个问题。一是确定了一项任务，研究怎样精打细算，使用最少的人力、物力去完成；二是已有一定数量的人力、物力，研究怎样合理安排，使他们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。例如：某工厂能生产a、b 两种产品，生产a 种产品1 吨需用煤9 吨，劳动力30 个（以工作日记），电4000 度；生产b 种产品1 吨需用煤4 吨，劳动力100 个，电5000 度。已知产品a、b 每吨售价分别为700 元和1200 元。现该厂有煤360 吨，可投入劳动力3000 个，规定用电不得超过200000 度。问a、b 产品各应生产多少吨才能使总产值最大？分析：设应生产a、b 两种产品分别为x1,x2吨，则生产a产品要耗煤9x1吨，生产b 产品要耗煤4x2，总耗煤量为9x1+4x2（ 吨）；同理生产x1吨a 产品， x2吨b 产品供需劳动力30x1+100x2（个），电4x1+5x2（千度），产值为700x1+1200x2（元）。根据题意，煤、电、劳动力的投入都有一定的限制，其约束条件为：用煤不能超过360 吨，用电不能超过200000 度，投入的劳动力不超过3000 个；目标是使总产值最大，于是得到数学模型为: 求解可得到问题的最优解，即当生产a 产品20吨，b产品24吨时，创造的总产值最大，最大产值是42800元，这时煤还剩余84 吨，电和劳动力均无剩余。综上所述，提高生产和工作效率，使企业获得最佳产出的经济效益，达到收入最大、成本最低或收益最高等，这无疑是企业决策者和管理人员们十分关心的问题。解决这类问题的思路是：第一根据实际问题中的数量关系列出函数关系式及求出函数的定义域；第二利用求函数极值和最值的方法求解。求解函数最值的方法去解决。可见，函数最值的应用是如此之广，用处是如此之大！7.结论通过对函数极值和最值及其应用的学习，我们知道了极值