曲线插值和曲线拟合.ppt

第一章 曲线插值与曲线拟合 刘云华 1 2 1 引言 2 拉格朗日插值多项式 3 分段低次拉格朗日插值 4 Neville逐步插值方法 5 Newton插值 6 Hermite插值和分段三次Hermite插值 7 曲线拟合 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼 近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 概念 x0x1x2x3x4x g(x) f(x) 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 问题 l是否存在唯一 l如何构造 l误差估计 设则 所以 有解，当且仅当系数行列式不为0 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点： 对应于 则 Vandermonde行列式 多项式插值的Lagrange型 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 要求 则 求，易知： 记 l线性插值 12 x 0 y 图2-2 二次插值 14 这是一个二次函数，用二次函数 近似代替函数 ，在几何 上就是通过曲线 上的三点 ，作一抛物 线 近似地代替曲线 （图2-3），故三点插值(二次插 值)。 图2-3 y x 0 例： 16 例 已知 分别用线性插值和 抛物插值求 的值。 解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11 故用线性插值求得的近似值为 17 仿上，用抛物插值公式所求得的近似值为 将所得结果与 的精确值10.7328相比较，可以看出抛物插值 的精确度较好。 为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式改写成对 称形式 算法： fx=0.0 for(i=0;i=n;i+) tmp=1.0; for(j=0;ji;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); for(j=i+1;j=n;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); fx=fx+tmp*yi; return fx; Lab02 Lagrange插值 对函数构造插值，并求 插值节点取为： (1) (2) 对N=5，10，20，40比较以上两组节点的结果。 Chebyshev点 误差 解： 求 设 易知 有n+2个零点 由a的任意性 例：已知 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。 解： n = 1分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 利用 这里 而 sin 50 = 0.7660444 ) 18 5 (50sin 1 0 p L0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001 利用sin 50 0.76008, 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好。 n = 2 ) 18 5 (50sin 2 0 p L0.76543 sin 50 = 0.7660444 2次插值的实际误差 0.00061 高次插值通常优于 低次插值 例子 P14P17 26 4 分段低次插值 例2、例4表明，适当地提高插值多项式的次数，有可能提高计 算结果的准确程度。但是决不可由此提出结论，认为插值多项式的 次数越高越好。例如，对函数 先以 为节点作五次插值多项式P5(x) ，再以 为节点作十次插值多项式P10(x) ，并将曲 线 描 绘在同一坐标系中，如图2-5所示。 27 -1 0 1 x y 1 y=1/(1+25x2) y=P5(x) 图2-5 y=P10(x) 28 这种分段低次插值叫分段线性插值。在几何上就是用折线代替曲线 ，如图2-6所示。故分段线性插值又称折线插值. x y=f(x) y o x0 x1xn x2 图2-6 29 类似地，为求 的近似值，也可选取距点 最近的三个节点 进行二次插值，即取 这种分段低次插值叫分段二次插值。在几何上就是用分段抛物线代 替曲线，故分段二次插值又称分段抛物插值。为了保证 是距点 最近的三个节点，（4.2）中的 可通过下面方法确定: （4.2） 30 Neville逐步插值方法 通过两点插值逐步生成多点插值的方法 两点插值 31 三点插值：由两个两点插值（x0,y0）(x1,y1)与 （x1,y1）(x2,y2) 32 多点Neville插值 2 2 Hermite插值 在节点处已知函数值和导数值 两点三次Hermite插值 两点三次Hermite插值误差分析 例子 P26p29 三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。 每个小区间不高于3次， 有4n个未知数，我们的已知条件如下： 共3n-3+n+1=4n-2个条件 给定端点弯距值 给定端点转角值 58 曲线拟合的最小二乘法 1 引 言 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘解的求法 59 曲线拟合的最小二乘法 1 引 言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据 出发，寻求函数y = f(x)的一个近似表达式y=（x）（称为经验公式）。从 几何上，就是希望根据给出的m个点 ，求曲线 y = f(x) 的一条近似 曲线 y=（x）。因此，这是一个曲线拟合的问题。 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式问 题，但用它来解决这里提出的问题，有明显缺陷。 首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线y=（x） 严格地通过所给的每个数据点 ，就会使曲线保持原有的测试误差。 当个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。 其次，由实验提供的数据往往较多（即m较大），用插值法得到的近 似表达式，明显地缺乏实用价值。 60 因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类中寻求一个“最好”的 函数（x）来拟合这组数据，是一个值得讨论的问题。 随着拟合效果“好”、“坏”标准的不同，解决此类问题的方法也不同 。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法，即最小二乘法。 2 什么是最小二乘法 如前所述，在一般情况下，我们不能要求近似曲线 y=f（x）严格地 通过所有数据点 ，亦即不能要求所有拟合曲线函数在 xi 处的偏差 （亦称残差） 都严格地趋于零。但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋 势，要求i都较小还是需要的。达到这一目标的途径很多，常见的有 ： (1)选取（x），使偏差绝对值之和最小，即 (2.1) 61 (2) 选取（x），使偏差最大绝对值最小，即 (2.2) (3)选取（x），使偏差平方和最小，即 (2.3) 为了方便计算、分析与应用，我们较多地根据“偏差平方和最小”的原 则（称为最小二乘原则）来选取拟合曲线y=（x） 按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为 最小二乘法。 本章要着重讨论的线性最小二乘问题，其基本提法是：对于给定数据 表 x x1 x2 xm y y1 y2 ym 62 要求在某个函数类 （其中nm）中寻求一个函数 (2.4) 使*(x)满足条件 (2.5) 式中 是函数类 中任一函数 。 满足关系式（2.5）的函数 ，称为上述最小二乘问题的最小二 乘解 。 由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据 所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类 ,即确定 所具有的形式；然后按最小二乘法原则（2.3）求取最小二乘解 ， 即确定其系数 。 63 3 最小二乘解的求法 由最小二乘解（2.4）应满足条件（2.5）知，点 是 多元函数 的极小点，从而 满足方程组 即 64 亦即 若对任意的函数h(x)和g(x) ，引入记号 则上述方程组可以表示成 写成矩阵形式即 (3.1) (3.2) 65 方程组(3.2)称为法方程组。当 线性无关时，可以 证明它有唯一解 并且相应的函数(2.4)就是满足条件(2.5)的最小二乘解。 综上分析可得 定理1 对任意给定的一组实验数据 (其中 互异), 在函数类 ( 线性无关）中,存在唯 一的函数 使得关系式(2.5)成立，并且其系数 可以通过解方程组(3.2) 得到。 作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是代数多项式拟合，即取 则由(3.1)知 66 故相应的法方程组为 (3.3) 67 例 1 某种铝合金的含铝量为 ，其熔解温度为 c，由实验测得 与 的数据如表3-1左边三列。使用最小二乘法建立 与 之间的 经验公式。 解 根据前面的讨论，解决问题的过程如下： （1） 将表中给出的数据点 描绘在坐标纸上 ， 如图3-1所示。 （2） 确定拟合曲线的形式。由图3-1可以看出，六个点位于一条 直线的附近，故可以选用线性函数（直线）来拟合这组实验 数据，即令 180 图 3-1 y 300 260 220 30507090 x 68 其中a,b为待定常数。 （3） 建立法方程组。由于问题归结为一次多项式拟合问题， 故由 (3.3)知，相应的法方程组形如 经过计算（表3-1）即得确定待定系数a，b的法方程组 （4）解法方程(3.5)得 a=95.3524 , b=2.2337 代入(3.4)即得经验公式 y=95.3524+2.2337x (3.4) (3.5) (3.6) 69 i 136.91811361.616678.9 246.71972180.899199.9 363.72354057.6914969.5 477.82706052.8421006.0 584.02837056.0023772.0 687.52927656.2525550.0 396.6145828365.28101176.3 表 3-1 70 所得经验公式能否较好地反映客观规律,还需通过实践来检验.由(3.6) 式算出的函数值(称为拟合值) 与实际值有一定的偏差。由表3-2可以看出，偏差的平方和 ，其平方根（称为均方误差） 在一定程度上反映了所得经 验公式的好坏。同时，由表3-2还可以看出，最大偏差 . 如果认为这样的误差都允许的话，就可以用经验公式(3.6)来计算含铝 量在36.987.5%之间的溶解度。否则，就要用改变函数类型或者增加实验 数据等方法来建立新的经验公式。 例 2 在某化学放应里，测得生成物的浓度y%与时间t的数据表见表3-3， 是用最小二乘法建立t与y的经验公式 。 解 将已知数据点 描述在坐标纸上，见图3-2。由图3-2 及问题的物理背景可以看出，拟合曲线 应具下列特点： 71 i123456 36.946.763.777.884.087.5 177.78199.67237.64269.13282.98290.80 181197235270283292 -3.222.672.64-0.87-0.02-1.20 10.377.136.970.760.00041.44 26.6704 表 3-2 72 t12345678 y4.006.408.008.809.229.509.709.86 t910111213141516 y10.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60 表 3-3 （1） 曲线随着t的增加而上升，但上升速度由快到慢。 y 10 5 0 4812t16 图 3-2 73 （2）当t=0时，反应还未开始，即y=0; 当 时，y趋于某一常数. 故曲线应通过原点(或者当t=0时以原点为极限点)，且有一条水平 渐近线。 具有上述特点的曲线很多。选用不同的数学模型，可以获得不同的拟 合曲线与经验公式。 下面提供两种方案: 方案1: 设想 是双曲线型的，并且具有下面的形式 (3.7) 此时，若直接按最小二乘法原则去确定参数a和b , 则问题 归结为求二元函数 的极小点，这将导致求解非线性方程组: (3.8) 74 给计算带来了麻烦。可通过变量替换来将它转化为关于待定参数的线.性 形函数。为此，将(3.7)改写成 于是，若引入新变量 则(3.7)式就是 75 同时，由题中所给数据 表3-3可以算出新的数据表表3-4这样，问题就归结为 ： 根据数据表3-4，求形如 的最小二乘解. 参照例1的做法，解方程组 i12316 1.000000.500000.333330.06250 0.250000.156250.125000.09434 表 3-4 76 既得 a=80.6621, b=161.6822 代入(3.7) ,既得经验公式 (3.9) 方案2： 设想 具有指