遗传算法在投资组合中的应用.doc

湖南人文科技学院 1 学科分类号：_ 湖南人文科技学院湖南人文科技学院 本科生毕业论文 题目（中文）：遗传算法在投资组合中的应用 （英文）：_ 学生姓名：刘世媛 学号：05404240 系 部：数学与应用数学系 专业年级：数学与应用数学系 05 级 指导教师：陈国华 职 称：副教授 湖南人文科技学院教务处制 湖南人文科技学院 2 摘要 .1 关键词 .1 前言 .2 第一章 投资组合理论基础 5 1.1 马克威茨的均值方差模型5 1.2 修正的马克威茨模型 .5 1.2.1模型的假设条件6.5 1.2.2模型的数学表达式.6 第二章 遗传算法 7 2.1 遗传算法的特点7 2.2 遗传算法的应用 .7 2.2.1 函数优化7 2.2.2 组合优化7 2.3 遗传算法的现状8 2.4 遗传算法的过程 .9 2.4.1创建一个随机的初始状态.9 2.4.2评估适应度.9 2.4.3繁殖(包括子代突变)9 2.4.4下一代.9 2.5 术语说明10 2.5.1 染色体(CHRONMOSOME) 10 2.5.2基因(Gene)10 2.5.3基因地点(Locus) 10 2.5.4基因特征值(Gene Feature)10 2.5.5适应度(Fitness).10 第三章 风险效用模型的建立及遗传算法求解 .11 3.1 风险目标函数的建立11 3.2 模型的遗传算法求解 .12 3.2.1 编码13 3.2.2 评价13 3.2.3 选择13 3.3.4 交叉13 3.3.5 变异14 第四章 实证分析 15 4.1 初始化种群15 4.2 适应度计算15 4.3 遗传操作 .16 4.3.1 选择操作16 湖南人文科技学院 3 4.3.2 交叉操作16 4.3.3 变异操作.16 致 谢 .18 湖南人文科技学院 4 摘摘 要要：证券投资组合优化问题的实质就是有限的资产在具有不同风险收益特性的证券之间的优化配 问题。本以 E-SV 风险测度为基础提出了组合证券投资决策的效用函数，并立了基于分式规划的投资 组合选择模型，克服了针对马克威茨投资组合理论在实际应用中的局限性。本文提出的模型属于单目 标规划优化模型，求解存在一定的难度，采用遗传算法求解。在计算机上用 Matlab 7.0 编程实现。针 对投资组合模型号的特点，研究了遗传算法的编码、算子和算子参数，设计出一个能够求解投资组合 模型的基于整数编码的遗传算法。实证分析表明，在求解复杂的投资组合模型时，结果显示该方法是 科学而合理的，可为投资者提供有效的理论指导和决策依据。 关键词：投资组合 遗传算法 惩罚函数 湖南人文科技学院 5 引 言 如何规避证券市场投资，风险成为投资理念经家和实践家的永恒话题。许多专家学 者对此问题进行了大量的研究。1952 年，Markowitz 提出的证券组合选择概念标志了现 代证券理论的开端1。该文认为，一个理性的投资者不仅希望“收益率高” ，而且希望 “收益尽可能确定” 。这类意味着投资者在寻求“预期收益最大化”的同时，追求“最小 的不确定性” 。在初期进行投资决策时，必然力求使这两个相互制约的目标达到某种均衡， 文1中提出了经典的均值方差模型，分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资 的预期收益水平和不确定性（风险） 。 目前，对马克维茨投资组合模型的研究面临着两个主要问题：如何处理低风险和 高收益两个目标之间的关系，以达到同时满足更低风险和更高收益的均适可而止关系； 证券种类较多时，所对应的协方差矩阵中包含的大量元素使相应的非线性规划的求解 在计算上产生很大困难。针对上以两点，本文借用马克维茨的证券投资组合理论思想， 改进多目标模型，提出了组合证券投资决策的效用函数，并建立了基于分式规划的投资 组合模型，将多目标的决策组合问题转化成单目标决策问题。 最近十几年来，遗传算法有了很大的发展并得了广泛的应用2。遗传算法以达尔文 的生物进化论作为依据，模拟自然界的生物进化过程，通过优胜劣汰，最终获得最优的 结果3。与传统优化方法相比，遗传算法具有很强的稳健性和很高的效率，可以以较大 的概率得到全局最优解。遗传算法已经被用于求解投资组合优化问题。本文用实数编码， 以评价函数作为一个选择证券并组合的准测来评价不同的证券组合，通过对染色休进行 选择、交叉、变异操作，最终得到低风险、高收益的有效证券组合选择。 实验表明，这种简单、易操作的方法不仅能够均衡两目标关系，而且能够解决计算 量大的问题。本文应用遗传算未能求解最佳证券组合时，侧重无需模型遗传自然发生过 程，对不同证券组合进行评价。经比较，该方法得到较低风险与较高收益的证券组合， 对大规模的证券组合，4该方法能够提供给投资者有价值的指导与借鉴，可为投资者提 供有效的理论指导和决策依据。 湖南人文科技学院 6 第一章第一章 投资组合理论基础投资组合理论基础 投资者把资金按一定比例分别投资于不同种类的有价证券或同一种类有价证券的 多个品种上，这种分散的投资方式就是投资组合。通过投资组合可以分散风险，即 “不能把鸡蛋放在一个篮子里 ”。 在投资决策中，如何 “期望收益最大”和“风险的不确定性最小 ” 是投资理论家和实践家永恒的话题。过去，专家学者对此问题行了大量的研究。 1952 年，马克威茨的投资组合理论将期望和方差引入投资管理的分析框架，即均值 方差模型1，奠定了现代投资组合理论的基础，后来，专家学者又提出了许多改进 模型。 1.1 马克威茨的均值马克威茨的均值方差模型方差模型 根据Markowitz的理论，市场上的投资者都是理性的， 即偏好收益厌恶风险, 并 存在一个可以用均值和方差表示的投资效用函数。理性投资者的投资决策遵循以下原则 一是投资者按照其对投资对象所具有的期望收益和风险程度的估计作出投资决策, 即投 资者的效用是投资期望收益和风险的函数二是投资者坚持“ 最大化原则” , 即投资者 将选择能够以较低的风险代价换取较高收益水平的投资组合。该模型5可用数学语言表 示为 nji xX XX RXR i n i i p p , 2 , 1, , 01 min max 1 2 其中，为第 支股票的权重；为投资组合中股票权重向量；和分别为投资组 i XiX p R 2 p 中的期望收益和方差；为股票的期望收益向量为各种股票的协方差矩阵。从理论上讲, R 均值一方差模型的确近乎完美, 但是该模型中以方差度量风险隐含着金融资产收益概率 分布函数为对称性分布的假定, 现实中金融资产不仅有方差风险, 也有偏度风险和峰度 风险，因此均值一方差模型存在先天的构造缺陷。 1.2 修正的马克威茨模型修正的马克威茨模型 1.2.1 模型的假设条件模型的假设条件6 投资者除了投资于风险资产,还购买无风险资产,如银行存款。 投资者都以预期收益率和损失率来评价投资组合。 只考虑非系统风险,不考虑系统风险,因为投资组合并不能降低各项资产的系统风险。 湖南人文科技学院 7 证券都无限可分,证券交易中不必支付交易费用,不允许卖空。 所有投资满足风险大,利益大;风险小,利益小的原则。 1.2.2 模型的数学表达式模型的数学表达式 假设有 项资产,投资组合由权重为,且满足的各项资产构n n XXX, 21 i a1 1 n i i a 成。取 项资产 年收益情况:, nm T m XXXX, 121111 , 222212 T m XXXX 。 T mnnnn XXXX, 21 设，且 T n aaaA, 21 ；,; , 2 , 1, 10 , 1 21 22 2 2 1 1 n T nii n i XXXXaaaBniaa 各项资产的期望收益率为: , 2121nn EEEEEEE 各项资产两两之间的协方差为： ，), 2 , 1,(njijiCij nn n CC CC C 11 111 各项资产的方差为: , 2121nn DDDDDDD 根据马克威茨投资组合理论,用各项资产两两之间的协方差之和来度量风险。 表示期U 望总收益,表示总体风险(即总体的非系统风险) 。投资V 目标为期望收益最大化,总体风险最小化,由此建立 收益- 风险双目标非线性规划投资决策数学模型: nia a ts DBCAAV EAU i n i i T , 2 , 110 . . )min(min maxmax 1 湖南人文科技学院 8 第二章第二章 遗传算法遗传算法 遗传算法（Genetic Algorithm）是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化 过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法，它是有美国 Michigan大学J.Holland教授于1975年首先提出来的，并出版了颇有影响的专著 Adaptation in Natural and Artificial Systems ，GA这个名称才逐渐为人所知。 2.1 遗传算法的特点遗传算法的特点 遗传算法是一类可用于复杂系统优化的具有鲁棒性的搜索算法，与传统的优化算 法相比，主要有以下特点： （1）遗传算法以决策变量的编码作为运算对象。传统的优化算法往往直接决策变 量的实际植本身，而遗传算法处理决策变量的某种编码形式，使得我们可以借鉴生物 学中的染色体和基因的概念，可以模仿自然界生物的遗传和进化机理，也使得我们能 够方便的应用遗传操作算子。 （2）遗传算法直接以适应度作为搜索信息，无需导数等其它辅助信息。 （3）遗传算法使用多个点的搜索信息，具有隐含并行性。 （4） 遗传算法使用概率搜索技术，而非确定性规则。 2.2 遗传算法的应用遗传算法的应用 由于遗传算法的整体搜索策略和优化搜索方法在计算是不依赖于梯度信息或其它 辅助知识，而只需要影响搜索方向的目标函数和相应的适应度函数，所以遗传算法提 供了一种求解复杂系统问题的通用框架，它不依赖于问题的具体领域，对问题的种类 有很强的鲁棒性，所以广泛应用于许多科学，下面我们将介绍遗传算法的一些主要应 用领域： 2.2.1 函数优化函数优化 函数优化是遗传算法的经典应用领域，也是遗传算法进行性能评价的常用算例， 许多人构造出了各种各样复杂形式的测试函数：连续函数和离散函数、凸函数和凹函 数、低维函数和高维函数、单峰函数和多峰函数等。对于一些非线性、多模型、多目 标的函数优化问题，用其它优化方法较难求解，而遗传算法可以方便的得到较好的结 果。 湖南人文科技学院 9 2.2.2 组合优化组合优化 随着问题规模的增大，组合优化问题的搜索空间也急剧增大，有时在目前的计算 上用枚举法很难求出最优解。对这类复杂的问题，人们已经意识到应把主要精力放在 寻求满意解上，而遗传算法是寻求这种满意解的最佳工具之一。实践证明，遗传算法 对于组合优化中的 NP 问题非常有效。例如遗传算法已经在求解旅行商问题、 背包 问题、装箱问题、图形划分问题等方面得到成功的应用。 此外，GA也在生产调度问题、自动控制、机器人学、图象处理、人工生命、遗传 编码和机器学习等方面获得了广泛的运用。 2.3 遗传算法的现状遗传算法的现状 进入 90 年代，遗传算法迎来了兴盛发展时期，无论是理论研究还是应用研究都成 了十分热门的课题。尤其是遗传算法的应用研究显得格外活跃，不但它的应用领域扩 大，而且利用遗传算法进行优化和规则学习的能力也显著提高，同时产业应用方面的 研究也在摸索之中。此外一些新的理论和方法在应用研究中亦得到了迅速的发展，这 些无疑均给遗传算法增添了新的活力。遗传算法的应用研究已从初期的组合优化求解 扩展到了许多更新、更工程化的应用方面。 随着应用领域的扩展，遗传算法的研究出现了几个引人注目的新动向：一是基于 遗传算法的机器学习，这一新的研究课题把遗传算法从历来离散的搜索空间的优化搜 索算法扩展到具有独特的规则生成功能的崭新的机器学习算法。这一新的学习机制对 于解决人工智能中知识获取和知识优化精炼的瓶颈难题带来了希望。二是遗传算法正 日益和神经网络、模糊推理以及混沌理论等其它智能计算方法相互渗透和结合，这对 开拓 21 世纪中新的智能计算技术将具有重要的意义。三是并行处理的遗传算法的研 究十分活跃。这一研究不仅对遗传算法本身的发展，而且对于新一代智能计算机体系 结构的研究都是十分重要的。四是遗传算法和另一个称为人工生命的崭新研究领域正 不断渗透。所谓人工生命即是用计算机模拟自然界丰富多彩的生命现象，其中生物的 自适应、进化和免疫等现象是人工生命的重要研究对象，而遗传算法在这方面将会发 挥一定的作用，五是遗传算法和进化规划 （Evolution Programming,EP）以及进化策 略（Evolution Strategy,ES）等进化计算理论日益结合。 EP 和 ES 几乎是和遗传算法同 时独立发展起来的，同遗传算法一样，它们也是模拟自然界生物进化机制的智能计算 方法，即同遗传算法具有相同之处，也有各自的特点。目前，这三者之间的比较研究 和彼此结合的探讨正形成热点。 1991 年 D.Whitey 在他的论文中提出了基于领域交叉的交叉算子 （Adjacency based crossover），这个算子是特别针对用序号表示基因的个体的交叉，并将其应用 到了 TSP 问题中，通过实验对其进行了验证。 D.H.Ackley 等提出了随即迭代遗传爬山法 （Stochastic Iterated Genetic Hill- climbing，SIGH）采用了一种复杂的概率选举机制，此机制中由 m 个“投票者”来 共同决定新个体的值（ m 表示群体的大小）。实验结果表明， SIGH 与单点交叉、均 匀交叉的神经遗传算法相比，所测试的六个函数中有四个表现出更好的性能，而且总 体来讲，SIGH 比现存的许多算法在求解速度方面更有竞争力。 湖南人文科技学院 10 H.Bersini 和 G.Seront 将遗传算法与单一方法（simplex method）结合起来，形 成 了一种叫单一操作的多亲交叉算子 （simplex crossover），该算子在根据两个母体 以 及一个额外的个体产生新个体，事实上他的交叉结果与对三个个体用选举交叉产生的 结果一致。同时，文献还将三者交叉算子与点交叉、均匀交叉做了比较，结果表明， 三者交叉算子比其余两个有更好的性能。 国内也有不少的专家和学者对遗传算法的交叉算子进行改进。 2002 年，戴晓明 等应用多种群遗传并行进化的思想，对不同种群基于不同的遗传策略，如变异概率， 不同的变异算子等来搜索变量空间，并利用种群间迁移算子来进行遗传信息交流，以 解决经典遗传算法的收敛到局部最优值问题 2004 年，赵宏立等针对简单遗传算法在较大规模组合优化问题上搜索效率不高的 现象，提出了一种用基因块编码的并行遗传算法 （Building-block Coded Parallel GA，BCPGA）。该方法以粗粒度并行遗传算法为基本框架，在染色体群体中识别出 可能的基因块，然后用基因块作为新的基因单位对染色体重新编码，产生长度较短的 染色体，在用重新编码的染色体群体作为下一轮以相同方式演化的初始群体。 2005 年，江雷等针对并行遗传算法求解 TSP 问题,探讨了使用弹性策略来维持群 体的多样性,使得算法跨过局部收敛的障碍 ,向全局最优解方向进化。 2.4 遗传算法的过程遗传算法的过程 遗传算法是基于生物学的，理解或编程都不太难。下面是遗传算法的一般算法： 2.4.1 创建一个随机的初始状态 初始种群是从解中随机选择出来的，将这些解比喻为染色体或基因，该种群被称 为第一代，这和符号人工智能系统的情况不一样，在那里问题的初始状态已经给定了。 2.4.2 评估适应度 对每一个解(染色体)指定一个适应度的值，根据问题求解的实际接近程度来指定 (以便逼近求解问题的答案 )。不要把这些“解”与问题的“答案”混为一谈，可以 把它理解成为要得到答案，系统可能需要利用的那些特性。 2.4.3 繁殖(包括子代突变) 带有较高适应度值的那些染色体更可能产生后代 (后代产生后也将发生突变 )。 后代是父母的产物，他们由来自父母的基因结合而成，这个过程被称为“杂交”。 湖南人文科技学院 11 2.4.4 下一代 如果新的一代包含一个解，能产生一 个充分接近或等于期望答案的输出，那么 问 题就已经解决了。如果情况并非如此， 新的一代将重复他们父母所进行的繁衍过程， 一代一代演化下去，直到达到期望的解为止。 2.4.5 并行计算 常容易将遗传算法用到并行计算和群集环境中。一种方法是直接把每个节点当成 一个并行的种群看待。然后有机体根据不同的繁殖方法从一个节点迁移到另一个节点。 另一种方法是“农场主/劳工”体系结构，指定一个节点为 “农场主”节点，负责选 择有机体和分派适应度的值，另外的节点作为 “劳工”节点，负责重新组合、变异和 适应度函数的评估。 2.5 术语说明术语说明 由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的搜索算法，所以在这个算法中会用 到很多生物遗传学知识，下面是我们将会用来的一些术语说明： 2.5.1 染色体染色体(Chronmosome) 染色体又可以叫做基因型个体 (individuals),一定数量的个体组成了群体 (population),群体中个体的数量叫做群体大小。 2.5.2 基因(Gene) 基因是串中的元素，基因用于表示个体的特征。例如有一个串S1011，则其中 的 1，0，1，1 这 4 个元素分别称为基因。它们的值称为等位基因 (Alletes)。 2.5.3 基因地点(Locus) 基因地点在算法中表示一个基因在串中的位置称为基因位置 (Gene Position)， 有时也简称基因位。基因位置由串的左向右计算，例如在串 S1101 中，0 的基因 位置是 3。 2.5.4 基因特征值(Gene Feature) 在用串表示整数时，基因的特征值与二进制数的权一致；例如在串 S=1011 中， 基因位置 3 中的 1，它的基因特征值为 2；基因位置 1 中的 1，它的基因特征值为 8。 湖南人文科技学院 12 2.5.5 适应度(Fitness) 各个个体对环境的适应程度叫做适应度 (fitness)。为了体现染色体的适应能力， 引入了对问题中的每一个染色体都能进行度量的函数，叫适应度函数 . 这个函数是 计算个体在群体中被使用的概率。 第三章 风险效用模型的建立及遗传算法求解 3.1 风险目标函数的建立风险目标函数的建立 1952年，Harry Markowitz提出了证券组合投资均值 方差模型，它为现代证券 级合投资理论奠定了基础。 Markowitz以证券投资收益率的方差作为证券投资的风险 测试，是组合证券投资风险分析的一种重要方法，但是 Markowitz模型在实际应用 中也存在着不足之处。针对 Markowitz模型的不足之处，文献 7提出以证券收益率 的半方差作为证券投资风险的测度（ ESV风险测度） ，对于一个券组合，其风险测 度为 n i n i jiij xxxf 11 )( 其中为证券 收益就绪。在ESV风险 ijjiiij RnjiRERRERE), 1,( ,)()( i 测度中，只有当实际的证券收益率低于期望收益时才产生投资风险，而当实际的证券 收益率高于期望收益率时，则是无险的。所以，在 ESV风险测试能够很好地反映证 券投资的风险。文献 8以 为基础，构造出最优化风险目标函数)(xf n i n i jiij n i n i jiij xxxxxf 1111 )( 其中), 1,( ,)()(njiRERRERE jjiiij 在风险测度下，最优化目标函), 1,(),()(njiRERRERE jjiiij SVE 数为对其最小化时，一方面使最小化，,)( 1111 n i n i jiij n i n j jiij xxxxxf n i n j jiij xx 11 湖南人文科技学院 13 另一面使最大化。因为反映期望收益率高于实际收益率的离散 n i n i jiij xx 11 n i n i jiij xx 11 程序，所以赵大，投资合的收益就越大，鉴于此，我们定义风险效用函 n i n i jiij xx 11 （Risk utility function）如下。 n i n i jiij n i n j jiij xx xx xg 11 11 )( 利用效用函数我们建立如下的证券组合投资决策模型),(xg （1） njx rxrts xx xx xgMH jj n j jj n i n i jiij n i n j jiij , 1,0 . . )(min)( 1 0 11 11 这里表示第 种风险的投资收益，以表示第 种风险证券的), 1(nirii), 1(nixii 投资比例。 3.2 模型的遗传算法求解模型的遗传算法求解 下面采用遗传上算法对模型进行求解，遗传算法第一次是出 Holland在他)(FMH 的博士论文中提出，遗传算法是一种从适者生存概念和自然中抽象出来的基因算法与 传统的优化技术比较，遗传算法的特点在于 4： 1）遗传算法的工作对象不是决策变量本身，而是将有关变量进编码所得的码， 即位串： 2）传统的寻优技术都是从一个初如点出发，再逐步迭代以求最优解。遗传算法则 不然，它是从点的一个群体出发经过代代相传求得满意解； 3）遗传算法只充分利用适应度函数（目标函数）的信息而完全不依靠其它补充知 识； 4）遗传算法的操作规则是概率性而确定性的。 自从Holland提出遗传算法以后，出于遗传算法不同于传统的最优化方法，有其灵活性和 易变性，在基本的遗传算法中，变异、选择、交叉、平行计算被改进发展来加速方法的 收敛和方法的有效性，遗传操作主要有三种： 湖南人文科技学院 14 1）选择算子（Selection/reprodution）:选择算子从群体中按某一概率成对选择个体， 某个体被选择的概率与期 适应度值成正比，最通常的实现方法是轮盘算法（roulet XPi tewheel）模型。 2）交叉算子（CRossover）：交叉算子将被选中的两个个体的基因链按概率是一Pc 个系统参数。 3）按照个体适应值的大小，从种群中选出适应值较大的一些个体构成交配池； 4）由交叉和变异这两个遗传算子对交配池中的个体进行操作，并形成新一代的种群； 5）反复执行步聚24，直至满足收敛为止。 3.2.1 编码 标准遗传算法是以二进制字任串作为染色体的编码方式，在实际工程应用中，当设 计变量较多且要求精度较高时，会导致染色体位数过长，占用更多的内存，且运算速度 明显下降，所以这里采用改进的遗传 法编码方法以。由于证券组合问题的可行解是实向 量，记,这里即为各种证券的投资比例，因此可直接将这个向),( 21n xxxx), 2 , 1(ni 量看作长度为的染色体。n 3.2.2 评价 现在定义点与可行域之间的距离及非可行点可行度，在这两个定义x),(Qxd)(XFD 的基础上提出了一种新的惩罚函数。 n i n xhRxQ 1 , 01)( 3.2.3 选择 选择方法采用轮盘财和最优性选择相结合，轮盘赌选择根据每个适应值占总适应值 的比例来产生新一代，最优性方法为下一代保持最优染色体，能克服采样带来的随机误 差，选择过程描述如下： 第1步：对每个染色体计算累积概率；)_, 2 , 1(sizepopPVp p a 第2步：在0，1区间内产生随机函;r 第3步：如果,选择第1个染色体；否则选择满足的第个染色体 1 ar 1 V pp ara 1 P ; p V 湖南人文科技学院 15 第4步重复第2步至第3步以获得个下一代的染色体。sisepop_sizesppo_ 3.3.4 交叉 这里采用算交叉，在0，1区间内产生随机数 ，如果，其中为交叉概率，r c Pr c P 则选择当前的染色体进行杂交，重复该过程次，对于每个染色体对sizepopsize_ 杂交操作将产生下面2个后代；),( 21 VV),( 21 VV ; 22111 VcVcV; 22111 VcVcV 这里，其中是0，1区间内关系到的随机数。1 21 cc 1 c 3.3.5 变异 采用均匀变异，变异概率定义了执行变异操作的期望染色体数，对每 m Psizepop_ 个染色体在0，1区间内产生一个随机数 ，如果，则选择染色体进行变异，对于r m Pr 选出的后代，再随机选择出其无素来进行变异，产生的后代为其, 1ni xxxV 中是在。 i x , U i L i xx 湖南人文科技学院 16 第四章 实证分析 考虑6种证券的组合，其收益率和收益率的协方差，如表1所示： 证券 种类（ ）i 收益率 （%） 协方差 123456 118.50.21000.21000.2210-0.21600.1620-0.2150 220.30.21000.22500.2390-0.21600.1680-0.2190 322.90.21000.23900.2750-0.24600.1890-0.2470 421.8-0.2160-0.2160-0.24600.2560-0.18500.2540 516.70.16200.61800.2560-0.18500.1420-0.1880 623.1-0.2150-0.2190-0.18500.2540-0.18800.2660 以上为文9中的算例。本文用遗传算法求解该算例。 4.1 初始化种群初始化种群 由于二进编码不适合处理大规模的多变量优化问题，十进制编码运算更快，精度更 高，十进制编码更靠近问题空间，更容易设计加入问题领域知识的遗传算子10，这一特 点对于处理投资组合模型这类约束优化问题是非常重要的。每只股票在投资级组合的权 重构成的权重向量可视为种群中的一个个体，本文采用十进制编码。产生规模sizepop_ 的具有均匀分布的初始种群，每个个体表示为染色体的基因编码， T n xxxx),( 21 ，经过以下归一化11处理，) 1 , 0( i x ，得到初始解。)/( 1 n i iii xxx n i i xts 1 1. . 4.2 适应度计算适应度计算 在本模型中，追求FHM的最小化是最优的目标。先按值对染色体由好到坏重排，)(xf 再作评价函数，本文取。) 1)(1 ()(iaaxeval05. 0a 湖南人文科技学院 17 4.3 遗传操作遗传操作 4.3.1 选择操作 采用轮盘赌算法。采用如下过程： step1:)() 1()(),1 () 1 (ievaliqiqevalq step2:在中产生随机数)_(, 0(sizepopqc step3:若，则第个体被选择)() 1(jevalcjevalc且j step4:重复步骤step2和step3共次1_sizepop 4.3.2 交叉操作 step1:产生随机数 ，若，则选中该个体，共执行次，产生k个个体cPcc sizepop_ 作为父代。 step2:若为奇数，则随机去掉1个。再随机配对。k step3:进行杂交。 如果选择进行杂交，则杂交后得到的两个个体为：yx, 其中为一个随机数yxx)1 (xxy)1 ( 1 , 0 step4:若满足约束条件，就保留子代，否则保留父代。共执行-1次。yx , 2/k 4.3.3 变异操作 step1:产生随机数 ，若，则选中该染色体，共执行次，共选出个cPcc sizepop_k 染色体。 step2:产生随机向量d step3:给定一个较大的数和，MW step4:,dxx 再把作归一化处理，若满足约束条件，则选中该染色体xx 否则，再重复执行step4，若执行次，就保留原染色体。MrandMW step5:重新给赋值，重复执行step4次。M1_sizepop 在以上交叉和变异操作中，取。005 . 0 , 6 . 0PmPc 用Matlab编程计算，得出最优解，程序见附录一。 湖南人文科技学院 18 )2060 . 0 0883 . 0 1219 . 0 1839 . 0 2311 . 0 1688 . 0 ( x 此时得到这6种证券在非负投资比例约束下实现预期投资的效用风险 5.0878)(xg 参考文献： 1Markowitz H.Portfolio SelectionsJ.Journal of finance,1952,(7):77-91 2Go ldberg D E. 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Portfolio Selection:Efficeinet Diversification of Investment.John Wiley and Sons,New York,1959 致 谢 本文是在陈国华老师精心指导和大力支持下完成的。陈国华老师以其严谨求实的治 湖南人文科技学院 19 学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我 产生重要影响。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。同时，在 此次毕业论论文中我也学到了许多了关于投资组合和运用遗传算法能力有了很大的提高。 最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢 附录一 function x=esvga(bound) popsize=50; Pc=0.6; 湖南人文科技学院 20 Pm=0.005; gen=500; bpop=initpopesvga(bound,popsize); k=1; minobj=fun(bpop(k,:)