系统建模的历史方法.ppt

系统工程系统工程 第五章第五章 系统建模的历史方系统建模的历史方 法法 * 本章学习目标 1. 掌握时间序列的分解及类型 2. 掌握确定型时间序列模型的分析方法 3. 了解随机型时间序列模型的分析方法 4. 掌握灰色系统的基本概念 5. 掌握灰色关联分析 6. 了解灰色系统建模的思想及其分类 7. 掌握 模型 Date 2 章节框架 a5.1 时间序列模型建模方法 a5.2 灰色系统建模方法 Date 3 a 5.1.1 时间序列的分解 a 5.1.2 确定型时间序列模型 a 5.1.3 随机型时间序列模型 5.1 5.1 时间序列模型建模方法时间序列模型建模方法 Date 4 什么是时间序列？ 按照时间的顺序将随机事件的发展过程记 录下来而构成的数据序列，称为时间 序列。 经常用 表示。 例如：按年度排列的产品年产量，按月度排列 的产品月销量，商店、工厂的逐日库存统计资 料等等，都是时间序列。 Date 5 5.1.1 时间序列的分解 时间序列往往是以下几类变化形式的叠加和 组合： （1）趋势变动； 是指时间序列在较长时间内朝着一定的方向持 续上升和下降、或停留在某一水平上的倾向。 （2）季节变动； 通常指一年内，由于自然条件和社会条件的影 响，随着季节的转变而引起的周期性变动。 （3）循环变动； 通常是指长达数年的周期波动。 （4）不规则变动； 又可分为突然变动和随机变动。 Date 6 由于没有固定周期的循环变动与长期趋势的 影响很难严格分解开来，而有固定周期的循环变 动和季节变动又很难严格分解。因此，现在通常 把时间序列分解为： （1）长期趋势变动：包括长期趋势和无固定周期的 循环变动。 （2）季节变动：包括所有稳定周期的循环变动。 （3）随机变动：除长期趋势变动和季节变动之外的 其他因素的综合影响。 5.1.1 时间序列的分解 Date 7 5.1.1 时间序列的分解 时间序列几种类型： （1）加法型 （2）乘法型 （3）混合型 Date 8 5.1.2 确定型时间序列模型 该模型是对时间序列中所包含的确定性趋势 进行分析，描述现象确定性发展变化的特征，揭 示规律性，并对现象未来的发展趋势进行预测。 通常分析的重点是放在全部动态特征中确定型信 息的提取上，而忽视对随机信息的提取。由于它 不涉及时间序列的随机性质，故称为确定型。 常用的是趋势分析模型和季节变动分析模型 ，在经济预测和企业预测中得到广泛的应用。 Date 9 5.1.2 确定型时间序列模型 1.趋势分析 有些时间序列具有非常显著的趋势， 我们有时分析的目的就是要找到序列中的这 种趋势，并利用这种趋势对序列发展做出合 理预测。 可以通过趋势拟合法和平滑法进行趋 势分析。 Date 10 （1）趋势拟合法 该方法是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为 因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。 如果长期趋势呈现线性特征，可以用线性模型拟合； 如果长期趋势呈现非线性特征，可以用曲线模型拟合。 长期趋势模型的拟合，需要判断现象发展的基本规律 和态势，要求选择最适合的函数形式。在实际的时间序列 拟合趋势方程时，可以用以下几种方法判别目标变化趋势 的形式。 1）进行性定性分析； 2）描绘散布图； 3）利用差分原理判断。 Date 11 （2）平滑法 平滑法是进行趋势分析时常用的一种方法。 它利用修匀技术，削弱短期随即波动对序列的影 响，是序列平滑化，从而显示出变化的规律。计 算简便、灵活，广泛应用于计量经济、人口研究 等领域。 根据所用的平滑技术不同，又可以分为移动 平均法和指数平滑法。 Date 12 5.1.2 确定型时间序列模型 2.季节变动分析 季节变动是指客观现象因受自然因素 成社会因素影响，而形成的有规律的周期性 变动。 测定季节变动的方法很多，从是否考 虑长期趋势的影响看可分为原始资料平均法 和趋势剔除法。 Date 13 （1）原始资料平均法 当时间序列的长期趋势近似于水平趋势时， 测定季节变动可以不考虑长期趋势的影响，直接 使用原始资料平均法，也称为同期（月或季)平均 法。 这是对原始时间序列数据不剔除长期趋势因 素，直接计算季节指数的方法 原始资料平均法计算比较简单，但应当注意 ，此方法仅适用于原时间序列没有明显的长期趋 势变动，只有季节变动的时间序列。一般至少有3 年各月（或季）的数据资料。 Date 14 基本步骤： （1）计算各年同期（月或季）的平均数 ,(i=1-12月或 i=1-4季)，其目的是消除各年同一季度(月份)数据上的 不规则变动。 （2）计算全部数据的总平均数 ，找出整个数列的水平 趋势。 （3）计算季节比率（季节指数），反映季节变动的相对数 。 它反映序列在某月（或季）内由于受季节变动影响高 于或低于总平均数的百分比。 Date 15 （2）趋势剔除法 如果数列包含有明显的上升(下降)趋 势或循环变动，为了更准确地计算季节指数 ，就应当首先设法从数列中消除趋势因素， 然后再用平均的方法消除不规则变动，从而 较准确地分解出季节变动成分。 数列的长期趋势可用移动平均法或趋 势方程拟合法测定。 Date 16 假定包含季节变动的时间序列的各影响因素是以 乘法模型形式组合，其结构为Y = TSR ，以移动 平均法为例，确定季节变动的方法步骤如下： 1）计算平均项数等于季节周期L的移动平均数，求出各期 趋势变动值T。 2）将原数列各项数据除以移动平均序列对应时间的数据 。 Y /T= TSR/T=SR 3）将剔除趋势变动的数列各年同月(或同季)的数据平均 ，就得到季节指数Si。 4）对季节比率的调整，使季节指数的总和等于周期长度L 。 S*=SiL/Si Date 17 5.1.3 随机型时间序列模型 社会经济现象发展变化，绝大多数在随机因 素的作用下表现为一个随机过程，即时间序列是 依赖于时间的一组随机变量的观察结果，而不是 某一确定性函数值。所以，随机型时间序列模型 是将时间序列看作一个随机过程，通过分析时间 序列的特性来认识序列变化的一般规律，并建立 相应的数学模型，对未来状况进行预测分析。 由于该模型考虑到了时间序列的随机特征和 统计特性，所以能比确定型时间序列模型提供更 多的信息。 Date 18 5.1.3 随机型时间序列模型 1.自回归模型 自回归模型，又称自回归过程，含义是时间 序列的当前值取决于其自身若干期或无限期前期 水平。其形式为： 为模型自回归系数； 是零均值白噪声序列，它反映了所有随机因素的干扰； 表示自回归阶数。 Date 19 5.1.3 随机型时间序列模型 2.移动平均模型 一般形式为 式中：为移动平均系数； 为移动平均阶数。 Date 20 5.1.3 随机型时间序列模型 可以看出，模型与模型只不过是 模型的特例，即分别对应 ， 的情况，故这两种模型又可统一表示成 形式。这三类模型统称为模型。 3.自回归移动平均模型 Date 21 5.1.3 随机型时间序列模型 4.自回归求和移动平均模型 以上几类模型仅适于描述平稳序列，而实际 应用中遇到的经济时间序列往往是非平稳的，无 法直接用模型描述，但通过差分处理的方法，可 以使它们转化为平稳序列，称为差分平稳序列。 这样的序列可以用自回归求和移动平均 模型来描 述。 Date 22 5.1.3 随机型时间序列模型 5.自回归条件异方差模型 用 表示 阶自回归条件异方差 模型，它的完整结构为： 式中，为的模型； ，是独立同分布序列。Date 23 5.1.3 随机型时间序列模型 6.模型识别、参数估计与模型检验 (1)模型识别 模型识别是时间序列分析的首要问题，也就是 判断识别所考察的数据是哪种随机过程生成的。 模型识别就是根据已知统计数据，从基本模型 族中选择一个和现象的实际过程等价的模型结构 。 识别的内容包括确定模型的结构和阶次。 Date 24 6.模型识别、参数估计与模型检验 (2)参数估计 当时间序列的模型结构和阶次初步确定后，下 一步工作就是估计求解模型参数。由于模型的结 构不同、统计特性不同和预测精度的要求不同， 所以参数的估计方法也不同。 常用的参数估计方法有最大似然估计、矩估计 、非线性最小二乘估计、广义最小二乘法等。 5.1.3 随机型时间序列模型 Date 25 6.模型识别、参数估计与模型检验 (3)模型检验 模型检验通常可以采用两种方法。 一是直观判断，计算模型的残差序列的自相关系数， 并绘制自相关分析图。若自相关系数均落入随机区间，表 明模型的残差序列相互之间独立，是白噪声序列，模型合 理。若自相关系数有较多落入随机区间之外，表明模型的 残差序列还可能包含有某种其它模式，不是白噪声序列， 模型需要调整； 二是检验，计算模型残差序列的统计量，并根据给定 的显著性水平和自由度查得临界值。若统计量值小于等于 临界值，则通过检验，残差序列为白噪声，模型合理。否 则不能通过检验，模型应加以调整。 5.1.3 随机型时间序列模型 Date 26 5.2 灰色系统建模方法 a一、灰色系统基本概念 a二、灰色关联分析 a三、灰色系统模型 Date 27 5.2.1 灰色系统基本概念 1.灰色信息和灰色系统 “白色信息”表示信息完全明确；信息完全明确的系 统称为“白色系统”； “黑色信息”表示信息未知；信息未知的系统称为“黑 色系统”； 介于这两者之间的，部分信息明确、部分信息不明 确，就用“灰色信息”表示。而部分信息明确、部分信息 不明确的系统，称为“灰色系统”。 可见，“信息不完全”是“灰”的基本含义。可以把系 统信息不完全的情况分为四种：元素（参数）信息不完 全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息 不完全。 Date 28 5.2.1 灰色系统基本概念 2.灰色系统理论研究对象 是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息”不确定性 系统。 3.灰色系统理论的基本思想和内容 灰色系统理论通过灰色关联分析，提取建模所需变量， 将信息不全的离散数据转换成信息完全、时间连续的动态模 型，以达到定量分析的目的，使有限的白色数据（信息）， 得到了尽可能充分的利用，从而揭示了事物动态关联的特征 与程度，可用于相关的预测、决策、控制。 灰色系统的研究内容，包括客观事物的量化、建模、预 测、决策、控制。 Date 29 5.2.2 灰色关联分析 1.基本思想 灰色关联分析的基本思想是按时间序 列几何形状相似程度来判断其联系是否紧密 ，曲线形状越接近，相应序列之间的关联度 就越大，反之就越小。 Date 30 2. 数据的无量纲化处理 各因素组成的序列，当单位相同时才能进行比 较。然而一般来说取值的单位是不尽相同的，而 单位不同的数据是无法进行比较的，因此必须把 单位不同的原始数据进行无量纲化处理。 无量纲化处理的常用方法有数据初值化和数据 均值化。 1)数据初值化是将数据列中的每一个数据去除 以第一个数据。 2)数据均值化是将数据列中的每一个数据去除 以所有数据的平均值。 5.2.2 灰色关联分析 Date 31 3. 灰关联系数 灰关联系数是考虑系统行为序列几何形状的差别，用 序列间差值的大小作为衡量关联系数的依据。 现设系统主因素行为序列和相关因素行为序列分别为 5.2.2 灰色关联分析 Date 32 若各行为序列单位相同时，记 为差序列； 记 为两极最大差； 为两极最小差； 则定义和的灰关联系数为： 为分辨系数，通常取0.5。 5.2.2 灰色关联分析 Date 33 5.2.2 灰色关联分析 将取灰关联系数的均值作为和间的整体关联程度，用 来表示灰色关联度。 设系统主因素行为序列为为相关因素行为序列， 为灰色 关联度，若 ，则称因素 优于 ，记 。称“ ”为由灰 色关联度导出的灰色关联序。 4.灰色关联度、灰色关联序 Date 34 5.2.2 灰色关联分析 5.灰色关联矩阵 当同时进行多个主因素和多个相关因素的数据序列的 关联分析时，则可以通过确定反映它们之间关系程度的关 联矩阵，进而分析得出优势因素。 设 为个系统主因素行为数据序列， 为个相关因素行为数据序列，为与的灰色关联度，则称 为灰色关联矩阵。 Date 35 5.2.3 灰色系统模型 1. 五步建模思想 灰色系统理论提出定性与定量结合，分阶段建 模的思想，在方法上它由思想开发、因素分析、 初步量化、动态量化、优化等五步组成，故称为 五步建模。 在五步建模的过程中，要不断地将下一阶段中 所得到的结果进行回馈，经过多次循环往复，是 整个模型逐步趋于完善。 Date 36 5.2.3 灰色系统模型 2. 灰色模型的分类 灰色系统建模用到的模型，一般是微分方程描述 的动态模型；时间函数形式的响应模型；拉普拉斯变换 关系的线性常系数动态模型。用符号 来表示灰色 模型，含义如下： G M Grey(灰色) Model（模型） 阶方程 个变量 Date 37 描述灰色系统常用的模型有以下三类： （1）预测 模型 是具有一个变量（1个主因素）的 阶导数的灰色系统模型。 常见的情况下，多取 即为 模型，如下： 该模型是对单个主因素变量的灰色系统行为数据的模拟或拟合，计算 模型进行修改补充，就能够反映系统的动态情况。 简单，但不能反映灰色系统的动态过程，但通过建立多次残差 Date 38 （2）状态模型 这种模型表示系统的一种输入输出的关系。是系统的过程状态描述。 其模型为： 其中， ，即为一个主因素和 灰色系统可能的诸多输入（相关因素）与输出（主因素）的关联描述。可 以利用对相关因素数据序列的预测实现对主因素行为特征的预测。 个相关因素。该模型是拟合 Date 39 （3）静态模型 表示不考虑主因素变量的导数，只考虑主因素与各相关因素之间的 静态关系。其模型为： 是不含导数项的线性方程，较为简单。 Date 40 5.2.3 灰色系统模型 3. 灰色序列生成 灰色理论将指定区间内变化的所有表征系统动态行为 的原始数据看做是灰数列，而生成数是由原始数据，即灰 数列这个集合中的具体数，经过处理后生成的数。 灰色理论中常用的生成方程有： 累加生成 AGO (Accumulated Generating Operation) 累减生成 IAGO (Inverse Accumulated Generating Operation) Date 41 累加生成 若设原始数据序列为 ，则累加生成的数据序列为： 其中， ，这个数据序列是对原始数据作 一次累加生成后的生成数列，记为1-AGO。 若对 作 次累加生成，则有生成数列（记为 -AGO）： 其中，AGO计算式 Date 42 累减生成 对于 ，其IAGO计算式为 称 为 次累减。 Date 43 若设原始数据序列为 的1-AGO数列。 ，其中 为 则称 为 模型的原始形式。 若 为 的紧邻均值生成序列 其中 称为 模型的基本形式。 4. 模型 5.2.3 灰色系统模型 Date 44 若 为参数列，且 则 的最小二乘估计参数列满足 称 为模型 的白化方程，也叫影子方程。 Date 45 模型 的时间响应序列为 累减还原值为 其中， ，即为模型模拟值。 Date 46 5.2.3 灰色系统模型 通常使采用残差检验。所谓残差检验是指按照所建模型计算出累加数 列后，再按累减生成还原，还原后将其与原始数列 序列的差值即为残差，通过计算相对精度以确定模型精度的一种方法。 相比较，求出两 设原始序列 相应的预测模型模拟序列 残差序列 5. 模型检验 Date 47 （1）相对误差检验 相对误差序列 对于 ，称 为点模拟相对误差 ，称 为平均相对误差；称 为平均相对精度， 为点模拟精度， 给定 ，当 且 成立时，称模型为残差合格模型。 Date 48 （2）关联度检验 与 的灰色绝对关联度 其中 给定 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。 Date 49 （3）均方差比值、小误差概率检验 的均值、方差分别为 残差的均值、方差分别为 则 称为均方差比值，对于给定的 ，当 时，称模型为均方差比合格模型； 称为小误差概率，对于给定的 ，当 时，称模型为小误差概率合格模型。 Date 50 一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。 当 模型的精度不符合要求时，可以用残差序列建立残差 模型，对原来的模型进行修正，以提高精度，往往用 差修正 的残 的模拟值 若修正后对修正精度仍不满意，就只有考虑采用其他模型或对原始 数据序列进行适当取舍。 Date 51 本章小结 本章介绍了系统建模的历史方法，主要介绍了时间序 列模型和灰色系统建模。 通过本章的学习，要求对系统建模历史方法的特点有 所了解。在时间序列模型的建模方面，要学会确定型时间 序列模型的建模和随机型时间序列建模的基本方法，要掌 握各种趋势因素的提取以及时间序列平稳化的方法，重点 要培养运用各种自回归模型、移动平均模型、自回归移 动平均模型、自回归求和移动平均模型、自回归条件异方 差模型等来解决实际问题的能力。在灰色模型建模方面， 要理解灰色系统的本质含义，正确把握灰色信息、色关联 度、灰色关联序、灰色关联矩阵等概念，熟知灰色系统5 步建模思想，重点掌握参数估计和模型检验方法，学会运 用灰色系统模型去解实际系统问题。 Date 52 思考与练习题 a联系实际，举出三个时间序列的例子。 a趋势拟合法和平滑法各有什么特点？ a测定季节变动的原始资料平均法和趋势剔 除法的基本步骤和原理是什么？ a随机型时间序列模型主要分析的重点是什 么？ a 简述灰色关联分析的基本思想。 Date 53 思考与练习题 a某企业1991-1999年的产品销售额如表5-1所示，试 用三年移动平均法计算趋势值。 表5-1 某企业1991-1999年的产品销售额 （单位：万元 ） 年份199119921993199419951996199719981999 销售额8083878995101107115125 Date 54 思考与练习题 7.某外贸冷库1992-1995年间各月冷冻兔肉产量如表5-2，试分析研究这一 时期冷冻兔肉产量的变化规律。 表5-2某外贸冷库1992-1995年间各月冷冻兔肉产量 (单位：t ) 月份1992199319941995 18.69.09.39.3 27.68.08.38.4 37.17.57.87.8 420.521.422.222.3 530.932.323.633.7 631.933.334.634.7 764.767.770.270.4 891.395.599.299.5 9115.6121.0147.3147.2 10135.6141.8125.6126.0 1146.148.250.150.2 1210.911.411.911.8Date 55 思考与练习题 8.利用表5-3的数据为我国1969-1980年钢材消费量配合一条趋 势线，并计算趋势值。 表5-3我国1969-1980年钢材消费量 (单位：万t ) 年份时序钢材消费 量 年份时序钢材消费量 196911025197571960 197021316197681902 197131539197792013 1972415611978102446 1973517651979112736 1974617261980122825 Date 56 思考与练习题 9.根据原始序列 的数据建立 模型。 10.已知某地区在1992-1998年间，农业总产值、种植业总产值和畜牧业总 产值的数据如表5-4所示，试分析农业总产值和种植业总产值、畜牧业 总产值之间的关系。 表5-4 某地区1992-1998年间总产值 (单位：亿元 ) 1992199319941995199619971998 农业1.82.02.23.54.24.85.2 种植 业 0.81.11.42.12.73.24.0 畜牧 业 0.30.20.70.41.10.61.5 Date 57 参考答案 6. 三年移动平均法计算趋势值 83.33，86.33，90.33，95，101，107.67 ，115.67 Date 58 7.分析研究某外贸冷库1992-1995年间各月 冷冻兔肉产量的变化