构造全等三角形种常用方法.doc

名名师堂 校区地址： 南充 市顺庆区吉隆街 咨询电话：2244028优学小班提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：ABCDFEG图（1）搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考 1截长补短法例1如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE=ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC 2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线ABCPQDO 例2ABC中，BAC=60，C=40AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ OABCPQD图（2）ABCPQDE图（3）O说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO来解决 如图（3），过O作DEBC交AB于D，交AC于E，则ADOAQO，ABOAEO来解决 如图（4），过P作PDBQ交AB的延长线于D，ABCPQ图（4）DO则APDAPC来解决ABCPQ图（5）DO 如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP来解决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究） 3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。图 3例3如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。 4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4如图（7）AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EFEABCDFH求证：AC=BF证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，BD=CD，BDH=ADC，DH=DA，BDHCDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 图（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5、过手练习：（1）已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF. ABCDEF（2）.如图,ABD和ACE是ABC外两个等腰直角三角形,BAD=CAE=900.（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系。 6翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例5如图（8）已知：在ABC中，A=45, ADBC，若BD=3，DC=2， 求：ABC的面积ABCDEGF解：以AB为轴将ABD翻转180，得到与它全等的ABE，以AC为轴将ADC翻转180，得到与它全等的AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x3，CG=x2，在RtBGC中，（x-3）+（x-2）=5 解得x=6，则AD=6，SABC=56=15 图（8） ABCPD例6已知：如图（6），P为等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数分析：直接求APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形略解：将BAP绕A点逆时针方向旋转60至ACD，连接PD，则BAPADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60，又PC=5，PD+DC=PC 图（6）PDC为Rt, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150、平移法构造全等三角形例如图所示，四边形中，平分，若，求证：。图分析：利用角平分线构造三角形，将转移到，而与互补，从而证得。主要方法是：“线、角进行转移”。证明：在上截取，在与中， （SAS） , , ， , , .、翻折法构造全等三角形例如图所示，已知中，平分，求证：。证明： 平分，将沿翻折后，点图 2落在上的点，则有，在与中， （SAS） , 已知中， , , , 。4、延长法构造全等三角形图 4例4如图4所示，在中，求证：。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长至，使，构造，然后证明，就可得。5、截取法构造全等三角形例5如图5所示，在中，边上的高为，又，求证：。图 5分析：欲证明，可以在上截取一线段等于，再证明另一线段等于。如果截取（如图所示），则可认为而沿翻折而来，从而只需证明即可。证明略。除了上述的方法外，还可以根据题意和以图形中现有的边和角关系为基础构造全等的三角形。 例6、已知BAC=90，AB=AC，M是AC边的中点，ADBM交BC于D，交BM于E，求证：AMB=DMC 1、作业：如图，四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分BAD、ABC. （1）求证：AEBE；BCEAD（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.2如图ABC中，A=500，ABAC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,BCD=CBE，BE、CD相交于O点，求BOC的度数.3ABC中，D是BC中点，DEDF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？.4已知：如图，在ABC中，A=90，AB=AC，1=2， 求证：BC=AB+ADA21CBD（分别用截长法和补短法各证一次）5、已知：如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的