实数的完备性及其应用.pptx

高等数学方法与应用 第一讲 实数的完备性及其应用 一、实数不可数 二、实数完备性基本定理 三、基本定理的等价性 四、闭区间上连续函数性质证明 高等数学方法与应用 一、实数不可数 1、 稠密性 (1)有理数集是稠密的: 任意两个有理数间必有 一个有理数; (2)无理数集是稠密的: 任意两个无理数间必有 一个无理数; (3)实数集是稠密的: 任意两个实数间必有一个 实数. 注记1：自然数集不稠密 高等数学方法与应用 比如，偶数集、有理数集都是可数集. 证 (反证法) 目的:认识都是无限集的自然数集、偶数集、 有理数集和实数集的差别. 2、不可数性 定理1 定义1 高等数学方法与应用 注记2：此方法称为对角线方法；可数集有时 也称为可列集. 结论1：有理数集是可数集; 无理数集是不可 数集; 实数集是不可数集. 高等数学方法与应用 1.确界存在定理 2.单调数列收敛定理 3. 区间套定理 4. 有限覆盖定理 5. 聚点原理 6. 收敛子列定理(致密性定理) 7. 柯西收敛原理 二、实数完备性基本定理 高等数学方法与应用 1、确界存在定理 首先定义数集的界, 上界, 下界. 定义2 记 定义1 高等数学方法与应用 定义3 记 注记1: 上确界意为最小上界;下确界意为最大下界. 定理1(确界存在定理) (1)非空有下界的数集必有下确界; (2)非空有上界的数集必有上确界. 例1 定理2 2、单调数列收敛定理 单调有界数列有极限. 高等数学方法与应用 定义3 3、区间套定理 例2 定理3(Cantor) Cantor: 康托尔,18451918,德国 高等数学方法与应用 定义4 4、有限覆盖定理 例3 定理4(Borel 有限覆盖定理) Borel:波雷尔,18711956,法国 高等数学方法与应用 例4 定理5(Weierstrass 聚点原理) 有界无穷点集至少有一个聚点. Weierstrass:维尔斯特拉斯,18151897,德国 5、聚点原理 定义5 定义5 高等数学方法与应用 定理6(BolzanoWeierstrass 致密性定理) 有界数列必有收敛子列. Cauchy: 柯西,17891857,法国 6、致密性定理 定义6 Bolzano:波尔察诺,17811848,捷克 7.柯西收敛原理 定理7(柯西收敛准则) 高等数学 三、定理的证明 确界定理 单调有界 闭区间套 有限覆盖 柯西准则致密性聚点原理 高等数学方法与应用 1、确界定理 单调有界定理 定理2 单调有界数列有极限. 高等数学方法与应用 2、单调有界定理 闭区间套定理 定理3(Cantor) 定义3 证 (1) 存在性 高等数学方法与应用 (2) 唯一性 高等数学方法与应用 定义4 定理4 (有限覆盖定理) 3、区间套定理 有限覆盖定理 证 (反证法) 高等数学方法与应用 高等数学方法与应用 4、有限覆盖定理 聚点原理 证 (反证法) 定理5(Weierstrass 聚点原理) 有界无穷点集 E 至少有一个聚点. 定义5 定义 5 高等数学方法与应用 高等数学方法与应用 5、聚点原理 致密性定理 证 分情况 定理6(BolzanoWeierstrass 致密性定理) 有界数列必有收敛子列. 故有界数列必有收敛子列. 高等数学方法与应用 6、致密性定理 柯西收敛准则 定义6 定理7(柯西收敛准则) 证(必要性) 高等数学方法与应用 （充分性 ） 高等数学方法与应用 7、柯西收敛准则 确界定理 证 只证(2), (1)类似 定理1(确界存在定理) (1)非空有下界的数集必有下确界; (2)非空有上界的数集必有上确界. 定义2 高等数学方法与应用 高等数学方法与应用 注记: 1.确界存在定理称为实数的连续性定理,柯西存 在准则称为实数的完备性定理,由上面的等价 性知连续性与完备性是等价的. 2.完备性本质上是对极限运算封闭,有理数是不 完备的. 高等数学方法与应用 四、闭区间上连续函数性质的证明 1、有界性定理 2、最大最小值定理 3、零点存在定理 高等数学方法与应用 1、有界性定理 有限覆盖定理+极限局部有界性 高等数学方法与应用 2、最值定理 高等数学方法与应用 确界定理+致密性定理+连续定义+极限夹逼准则 高等数学方法与应用 3、零点存在定理 高等数学方法与应用 区间套定理+连续定义+极限保序性 高等数学方法与应用 五、小结 u 实数不可数 u 实数完备性的七个等价基本定理 u 闭区间上连续函数性质的证明 高等数学方法与应用 作 业 1.实数基本定理等价性的其他证明; 2.利用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理. 参考书 1.陈