《乳腺癌数据处理》word版.docVIP

乳腺癌的数据处理摘要本文解决的是乳腺肿瘤的“良”“恶”性判别问题。现在是通过乳腺肿瘤的9项指标来判定乳腺肿瘤患者是否患有乳腺癌，我们通过运用Logistic 回归分析判定模型和费歇尔（Fisher）判别模型，对9项指标进行综合判定、分析，最终制定了一个科学的乳腺肿瘤的判别方法，以便人们能及早发现并且治疗。对于问题一：我们建立了两种模型Logistic回归分析判定模型和费歇尔（Fisher）判别模型。对于Logistic回归模型，我们对数据进行分析并运用MATLAB 软件求出回归系数，再由Logistic回归方程求出概率p，进而与概率值0.5进行判断，小于0.5则为良性，反之，则为恶性，最终得出正确率为85%的判定方法。对于费歇尔（Fisher）判别模型，我们借助方差分析的思想构造判定函数，通过样本SPSS软件对数据进行分析得出判定系数ci，接着求出临界值y0，最终把要检验的样本数据代入判定函数求出y值，将y值与临界值y0进行比较，从而确定肿瘤性质，最终得出正确率为95%的判别方法。对于问题二：由第一问得出模型二费歇尔（Fisher）判别模型正确率更高，所以可以根据费歇尔（Fisher）判别方法来判断所给组是良性还是恶性，先将各组数据直接代入模型二中求出的判定公式中，求得各组相应的y值，通过与y0进行比较，来判断肿瘤患者是为良性还是恶性。最终判定结果如下表：编号12345678910检测结果1011010101编号11121314151617181920检测结果0100100000（注：检测结果“1”代表肿瘤为恶性，“0”代表肿瘤为良性）对于问题三：为区分肿瘤是良性还是恶性的主要指标，我们根据Fisher模型，求出系数和良性、恶性肿瘤中各项指标的均值、，最终求出指标剔除判定数组，剔除当中绝对值最小的一个，依次类推，得到剔除的先后顺序，并求出相应的检验准确率，选择高准确率情况下指标剔除较多的一组，最终得出区分肿瘤是良性还是恶性的主要指标为：乳腺肿瘤肿块的厚度、单层上皮细胞的大小、裸核、正常的核仁。关键词： logistic判别法 费歇尔判别法 BP神经网络 SPSS 一、问题重述问题背景：如今，癌症越来越多，发病率越来越高，不断威胁着人们的生命安全，其中乳腺癌就是其中一种严重威胁女性生命的癌症之一，全世界每年约有120万妇女患乳腺癌，50万人死于乳腺癌，乳腺癌已经成为全球女性发病率最高的恶性肿瘤。下面是某医院乳腺肿瘤患者的一组数据（具体数据见附录），其中前面9个指标分别表示乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂，尾数0表示确诊为“良性”，1表示确诊为“恶性”，数据已经归一化为0到10之间的自然数。所要解决的问题如下：问题一、通过以上数据，建立一种或多种判别方法，用来判断乳腺肿瘤是属于“良性” 还是 “恶性”，并检验这些方法的正确性。问题二、现有一组乳腺肿瘤患者的九个指标数据如下，根据问题一中提出的方法分别判别属于“良性”还是“恶性” 10, 4,7,2,2,8,6,1,1 5,1,1,1,2,1,3,1,2,5,2,2,2,2,1,2,2,1 5,4,6,6,4,10,4,3,18,6,7,3,3,10,3,4,2 1,1,1,1,2,1,1,1,16,5,5,8,4,10,3,4,1 1,1,1,1,2,1,3,1,11,1,1,1,1,1,2,1,1 8,5,5,5,2,10,4,3,110,3,3,1,2,10,7,6,1 1,1,1,1,2,1,3,1,12,1,1,1,2,1,1,1,1 1,1,1,1,2,1,1,1,17,6,4,8,10,10,9,5,3 1,1,1,1,2,1,1,1,11,1,1,1,1,1,1,3,1 3,4,4,10,5,1,3,3,14,2,3,5,3,8,7,6,1 5,1,1,3,2,1,1,1,1问题三、试确定区分乳腺肿瘤是“良性”还是“恶性”的主要指标，并采用主要指标建立区分“良性”和“恶性” 乳腺肿瘤的模型，以便用于乳腺肿瘤的辅助诊断时可以减少化验的指标。二、模型假设假设1：各种指标对肿瘤的影响是相对独立的。假设2：9个指标中的数据都是0-10之间的自然数。假设3：肿瘤只有良性和恶性两种情况。假设4：每组数据独立作用互不影响。假设5：数据缺失组对判定无影响。假设6：除了9中指标的影响外，不考虑其他因素的影响。三、符号说明符号符号说明经logistic转换后肿瘤为恶性的判定概率肿瘤为恶性的概率回归系数（）患者体内第种指标的大小判定系数（）良性患者的总体恶性患者的总体第组良性的判定函数第组恶性的判定函数Fisher判定临界值四、问题分析本文研究的是乳腺癌是良性还是恶性的判定方法以及影响乳腺肿瘤是良性还是恶性的主要因素的问题。通过题中乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、 细胞形状的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂这9个指标的数据分析，来判断是良性还是恶性。 针对问题一：为了更好的判定乳腺癌是良性还是恶性，我们建立了两种模型Logistic 回归分析判定模型和费歇尔（Fisher）判别模型。我们先运用Logistic回归分析方法对数据进行分析并求出回归系数，再由Logistic回归方程求出概率p，进而与概率值0.5进行判断，小于0.5则为良性，反之，则为恶性。接着，我们运用费歇尔（Fisher）判别模型，借助方差分析的思想构造判定函数：，然后代入样本数据对其进行求解得出判定系数，接着求出临界值，最终把要检验的样本数据代入判定函数求出值，将值与临界值进行比较，从而确定肿瘤性质。 针对问题二：因为模型二费歇尔（Fisher）判别模型正确率更高，所以可以根据问题一中模型二费歇尔（Fisher）判别模型来判断所给组是良性还是恶性，先将各组数据直接代入模型二中求出的判定公式中，求得各组相应的值，通过与进行比较，来判断肿瘤患者是为良性还是恶性。 针对问题三：要区分肿瘤是良性还是恶性的主要指标，可以先弄清楚哪些指标可以剔除，剔除的先后顺序，因此我们可以根据Fisher模型，求出系数和良性、恶性肿瘤中各项指标的均值、，再求出，进而剔除出当中绝对值最小的一个，依次类推，得到剔除的先后顺序，并求出相应的检验准确率，从而得到区分肿瘤是良性还是恶性的主要指标。五、模型的建立问题（一）1. 模型一的建立1.1 Logistic 回归分析判定模型的建立1.1.1 确定目标函数在分析乳腺肿瘤患者体内乳腺肿瘤肿块的厚度、细胞大小的均匀性、细胞形状的均匀性、边缘的粘连、单层上皮细胞的大小、裸核、温和的染色质、正常的核仁、有丝分裂9个指标的基础上，将其肿瘤分为良性和恶性两种情况。对任一患者定义随机变量。若该患者肿瘤为良性，则；否则，。并以表示该患者肿瘤属恶性的概率。设为患者体内第种指标的大小，则可将看做自变量的线性函数： （1）引入的Logistic变换得：可得Logistic回归方程为： （2）在知道乳腺肿瘤肿块的厚度等9个指标的大小之后，只要根据Logistic回归分析模型计算出其良性的概率，再与概率值0.5进行判断，以确定患者肿瘤是否良性。若，则表示该患者肿瘤为良性；反之，则为恶性。1.1.2 确定约束条件i. 因为表示该患者肿瘤属恶性的概率，所以有：ii. 因为也是表示的概率，所以有：1.1.3 综上所述，得到问题一的最优化模型： 1.2 Logistic 回归分析判定模型的求解采用某医院检测的42组良性肿瘤患者和38组恶性肿瘤患者（见下表），选取样本60人（良性患者130号，恶性患者130号），将样本60人的9个指标直接输入matlab软件，应用regress函数求出回归系数，如表三所示。表一：良性患者指标编号第1项指标第2项指标第3项指标第4项指标第5项指标第6项指标第7项指标第8项指标第9项指标肿瘤性质151112131102311122311034113213110401141212110413111233110422221117110表二：恶性患者指标编号第1项指标第2项指标第3项指标第4项指标第5项指标第6项指标第7项指标第8项指标第9项指标肿瘤性质1533323441128751079554131077641041213691010110833113783834989813810641343231表三：各元素回归系数指标常数第1项第2项第3项第4项第5项第6项第7项第8项第9项系数-42.370.036-0.0230.0550.0300.0110.009-0.0340.0490.038将上表中的回归系数代入Logistic回归方程（2）得：将剩余样本代入上式检验，同时与概率值0.5比较，结果如表四、表五所示：表四：良性患者验证编号313233343536p5.3310-195.3410-195.2410-19?5.2810-194.6210-19良性编号373839404142 p4.9710-191.0710-184.5010-195.4610-194.8810-194.1310-19良性注：表中“？”表示数据出现缺失，无法进行判断表五：恶性患者验证编号3132333435363738p10.998?1.0710-180.9878111恶性注：表中“？”表示数据出现缺失，无法进行判断1.3 Logistic 回归分析判定模型的结果分析通过对表四与表五的观察发现：在对表四中良性患者的验证中，包括未判断的数据缺失者，正确率高达91.67%；在对表五中恶性患者的验证中，包括未判断的数据缺失者，正确率达75%。所以，在整体验证中，包括未判断的数据缺失者，正确率达85%。由此表明，本文中的Logistic 回归分析判定模型是可行的。2. 模型二的建立 2.1 费歇尔（Fisher）判别模型的建立2.1.1确定目标函数费歇尔（Fisher）判别法的思想 ：利用选取的30组“良性”指标数据与30组“恶性”指标数据，借助方差分析的思想构造判定函数： （3） 其中，系数确定的原则是使两组间的区别最大，而使每个组内部的离差最小。将属于不同总体的样本代入判别函数得：2.1.2 费歇尔（Fisher）判别模型的求解根据判定函数，代入剩下的20组指标数据，将求得的值与判定临界值进行比较，从而判定乳腺肿瘤是良性还是恶性。我们运用SPSS软件：进行Fisher判定求得判别式函数系数以及样本数据各项指标的均值：表六：Fisher判别式函数系数指标第1指标第2指标第3指标第4指标第5指标第6指标第7指标第8指标第9指标系数0.527-0.4830.5830.2300.1970.2430.1000.4700.419所以将上述系数代入Fisher判别式得：表七：为恶性、良性肿瘤中各项指标均值指标一二三四五六七八九恶性7.335.575.534.535.435.635.105.202.47良性2.801.501.401.272.101.872.671.301.17通过对乳腺肿瘤患者中良性与恶性的各项指标的平均值进行统计计算（见上表），求得良性肿瘤的“重心”和恶性肿瘤的“重心”，利用SPSS软件对数据进行处理后得： 第一组样品的“重心” 第二组样品的“重心” 为建立判定准则，确定判定临界值，我们取为与加权平均值：通过计算得：7.9819将检测者的各项指标的值，代入（3）式中，求得的值。（1） 当时，若，则判定；若，则判定。（2） 当时，若，则判定；若，则判定。根据Fisher模型的判定函数，代入剩下的20组指标数据，将求得的值与判定临界值进行比较，从而判定乳腺肿瘤是良性还是恶性。通过对Fisher判定模型的计算，得到结果如下：表 Fisher判定模型结果显示良性患者的判定样本号313233343536y值4.6913.6494.22(11.89,14.08)4.7242.583检测正确YYYNYY样本号373839404142y值4.2645.8573.9834.3324.2233.513检测正确YYYYYY注：表中“Y”表示检测正确，“N”表示检测错误。恶性患者的判定样本号3132333435363738y值15.5212.26(8.35,10.54)8.6512.0912.0219.488.99检测正确YYYYYYYY注：表中y值为区间的组为数据缺失组，其缺失项分别用0到10来代替，以求出y值范围，将范围内的极值与y0比较，最终求得结果。2.1.3 结果分析通过对上述两表的观察知：在良性患者的验证中，包括数据缺失者，正确率高达91.67%；在恶性患者的验证中，包括数据缺失者，正确率达100%。所以，在整体验证中，包括数据缺失者，正确率达95%。由此表明，本文中的费歇尔（Fisher）判别模型是可行的。 通过对模型一和模型二最终结果的正确率进行比较知：模型二的正确率较高，故应选取模型二来进行问题二和问题三的解答。问题（二）经过比较分析知模型二的正确率较高，故此处用模型二进行解答。由模型二知判定函数为：则根据所给数据可求得各组数据相对应的值，再与临界值7.9819进行比较：若，则判定；若，则判定。故通过Matlab软件可得出对20组患者检测结果如下表：编号12345678910检测结果1011010101编号11121314151617181920检测结果0100100000注：检测结果中“1”表示恶性，“0”表示良性由上表知：第1、3、4、6、8、10、12、15组为恶性肿瘤患者，其他的为良性患者。问题（三）3. 由Fisher模型知：良性、恶性肿瘤中各项指标的均值分别为： 由Matlab软件处理得：（.*是matlab中的符号，是对应项相乘，结果仍然为向量），比较各项的大小，剔除绝对值最小的项（因为该项数据对总的结果的平均影响最小），由已知数据可知首先应该剔除倒数第三项，即第七项指标所对应的所有数据，再按照问题一的求解方法求解得：良性、恶性肿瘤中各项指标的均值分别为：同理：由Matlab软件处理得：故应该剔除第四项指标。在此我将逐次减少化验的指标（方法同上），并将其求解结果列表如下：剔除指标判别式y=临界值准确率对原检验样本20人的 判断结果第七指标0.519*x1-0.458*x2+0.606*x3+0.243*x4+ 0.202*x5+0.233*x6+0.494*x8+0.427*x97.7895%9人恶性11人良性第四指标0.556*x1-0.369*x2+0.497*x3+0.281*x5+ 0.330*x6+0.480*x8+0.408*x97.8395%9人恶性11人良性第九指标0.646*x1-0.108*x2+0.188*x3+0.377*x5+ 0.325*x6+0.395*x87.4695%9人恶性11人良性第二指标0.639*x1+0.115*x3+0.351*x5+0.328*x6+ 0.382*x87.4395%9人恶性11人良性第三指标0.682*x1+0.372*x5+0.348*x6+0.412*x87.5095%9人恶性11人良性第六指标0.667*x1+0.447*x5+0.491*x86.6690%10人恶性10人良性第八指标0.807*x1+0.603*x56.3690%11人恶性9人良性由表中结果可知：剔除第三项指标之后，检验准确率仍然在95%，而剔除第六项指标后，检验准确率降为90%，所以剔除的前四项均为次要指标，从第六项开始是主要指标，所以区分肿瘤是良性还是恶性的主要指标是第一、五、六、八指标，即是乳腺肿瘤肿块的厚度、单层上皮细胞的大小、裸核、正常的核仁，故可由判断式来判断。六、误差分析本文主要有三方面的误差，分别为题中模型的误差、数据的误差、算法的误差。1模型一的误差：（1）logistic模型中样本仅有60组数据，这对于求解模型中的回归系数而言，数据过少，可能会使回归系数产生较大的误差，从而影响最终的判定结果。（2）logistic模型检验时，是用所得概率值与0.5进行比较，以判定肿瘤性质，此处的0.5有一定的不合理性，可能会在最终判定结果时造成一定的误差。（3）logistic模型对数据缺失项不能进行有效的判定，这就降低了其检验的准确率，在进行这种判定时会产生一定的误差。2模型二的误差： （1）fisher模型是一系列判定变量的线性组合，它只适用于区分和判定线性可分的总体。对于非线性判定模型有较大的误差和局限性。 （2）fisher模型要求有足够多的样本数据时，才能最大限度的保证其算法精度，但是本题中只有六十组数据，这对于求解判定系数及临界值时均会产生一定的误差。3数据的误差： 主要是数据的准确性以及有几组数据的缺失，数据的缺失使在某些模型中这些组无法进行计算，而总体又保持不变，这就相应的产生了一些误差。4算法的误差： 本文虽然采用了两个模型，但是两个模型主要都是用来求解线性问题的，对于本题中指标之间的交叉影响不能很好的处理，可能会对结果产生一定的误差。七、模型的评价模型的优点：1.模型的实用性和通用性强并且与实际生活紧密相关，对医生的判断具有很大的指导意义。尤其在第三问中区分肿瘤是良性还是恶性的关键因素的方法比较简单易行。2.本文采用了两种判别分析方法来检查肿瘤是恶性还是良性，并得到了影响其的主要因素，为合理的诊断提供了一个很好的解决方案。3.求解的过程中采用Matlab、Excel、SPSS数学软件编程求解，计算过程方便快捷，且结果准确。4.由于建模过程中使用的六十组样本数据与检验时所用的二十组数据不重复，有效地避免了数据间的相互影响，彼此独立，因而检验结果具有很强的可靠性。模型的缺点： 1.在诊断过程中并没有综合考虑所有的因素共同的影响，这与现实生活不符。如果综合考虑，将会更具有实用价值。2.本文中模型对就诊者判断的正确率没有达到100%，存在误差，这种误差会导致误判，而在现实中这是很危险的。3.在第一问中的模型中只考虑某一种元素单独对结果的影响，其间存在着交叉项。八、模型的改进和推广模型的改进： 1. 本文中所用的两个模型对就诊者判断的正确率都没有达到100%，方法都很传统，存在着误差，我们可以采用BP神经网络模型。其思想是：通过输入学习样本，使用反向传播算法对网络的权值和偏差进行反复的调整训练，使输出的向量与期望向量尽可能地接近，当网络输出层的误差平方和小于指定的误差时训练完成，保存网络的权值和偏差，从而使判断的正确率提高。其算法流程图如下：图一：学习算法框图由于本题中有9项指标，故分析可得其指标与各层之间的关系，作出具体BP神经网络示意图如下所示：图二：BP神经网络示意图综上，可得BP神经网络模型大致步骤如下：1)能量函数选取 平方型误差函数为2）隐层数取1，隐层单元数取93）传输函数选取logsig型函数通过matlab软件应用上述函数，最终可对数据进行判定检验。2. 在诊断过程中这9个指标的作用不是独立的，应该存在着相互的影响，有交叉项，而模型只考虑了各自单独作用，所以模型中应该添加交叉项的影响，即采用一次项和交叉项的回归模型，具体的我们可以从模型总体中选取良性1-30号、恶性1-30号作为研究样本，故可设多元线性回归模型的一般形式为：建立相应的模型，并将数据代入上式，用Matlab软件求得各参数项的线性回归系数，得到多元回归模型的表达式，再将良性中31-42号、恶性中31-38号代入模型中进行检验，得到良性、恶性的相关情况。为此我们可以看出，我们所运用的判别函数与所检验的结果和实际情况存在着一定的误差，也就是说运用原来的Logistic 回归分析判定模型（一次线性模型）存在一定的误判，从而得到误判率。3. 题中所给数据有几个出现缺失，在我们模型建立与求解的过程中都将数据缺失部分不考虑，认为无此项，而实际上却存在着此项的影响，观察数据知缺失项都为第六个指标，所以可以将第六个指标项去掉，考虑剩下的其他指标项。模型的推广： 在当今经济科技社会，人们经常对某一事物现象进行观察研究归类，并用于合适的地方，例如，医院里医生对肾炎；非典时期对非典；还有肺炎等疾病进行类似的模型应用；经济领域里某产品输入与输出是畅销还是停滞；在科学领域，某植物或动物的分类判别以及科研人员或地质学家对某地质土壤的判别；考古学家对墓年代的判别等都用到了此类判别式分析法的模型，应用十分的广泛。九、参考文献1 宣明 数学建模与数学实验 ，浙江 浙江大学出版社 20102 谢金星 优化建模与LINDO/LINGO软件 ， 北京 清华大学出版社 20053 宋来忠 数学建模与实验 ，北京 科学出版社 20054 朱道元 数学建模案例精选，北京 科学出版社 20035 彭祖赠 数学模型与实验方法 ，大连 大连海事大学出版社 19976 刘爱玉 SPSS基础教程， 上海 上海人民出版社 2007 附录附表一：良性患者指标编号第1项指标第2项指标第3项指标第4项指标第5项指标第6项指标第7项指标第8项指标第9项指标肿瘤性质151112131102311122311034113213110411112103110521112111506111111311074111212110831112121109111121311010321111211011211121211012311111211013211221311014211121211015621111711016111121212017111121211018111122211019111121321020112122421021531221211022211131211023544571032102468813437102521212131102642112121102721112121102811112331102941112131103061112131103151112121103211312111103331212121103466696?7810354113213110361111212110374111213110385131212110391332217210401141212110413111233110422221117110附表二：恶性患者指标编号第1项指标第2项指标第3项指标第4项指标第5项指标第6项指标第7项指标第8项指标第9项指标肿瘤性质1533323441128751079554131077641041214732105105441525336775116104313365217565610131118787248382195334243411105558108737111106634536111282415154411395522251111463415239111510421324310116534181049111761028102781011894510610481119810108710971120746461431121105536771011228101013639112352342736112410773857431251010108618911265449210561127610102810733128101010481810112937744948113095812321513110362354102132105568871113384512?7311345231610511135535533410113691010110833113783834989813810641343231问题二答案：编号第1项指标第2项指标第3项指标第4项指标第5项指标第6项指标第7项指标第8项指标第9项指标肿瘤性质1104722861112522221221038673310342146558410341151111112110610331210761172111211110876481010953191111111310104235387611115111213120125466410431113111121111014111121311015855521043111611112131101711112111101811112111101934410513310205113211110程序一（Logistic 回归分析判定）： x = 5 1 1 1 2 1 3 1 1 3 1 1 1 2 2 3 1 1 4 1 1 3 2 1 3 1 1 1 1 1 1 2 10 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 3 1 1 4 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 6 2 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 2 2 4 2 1 5 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 5 4 4 5 7 10 3 2 1 6 8 8 1 3 4 3 7 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 4 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 1 4 1 1 1 2 1 3 1 1 6 1 1 1 2 1 3 1 1 5 3 3 3 2 3 4 4 1 8 7 5 10 7 9 5 5 4 10 7 7 6 4 10 4 1 2 7 3 2 10 5 10 5 4 4 2 5 3 3 6 7 7 5 1 10 4 3 1 3 3 6 5 2 5 6 5 6 10 1 3 1 1 7 8 7 2 4 8 3 8 2 5 3 3 4 2 4 3 4 1 5 5 5 8 10 8 7 3 7 10 6 6 3 4 5 3 6 1 8 2 4 1 5 1 5 4 4 9 5 5 2 2 2 5 1 1 6 3 4 1 5 2 3 9 1 10 4 2 1 3 2 4 3 10 5 3 4 1 8 10 4 9 1 6 10 2 8 10 2 7 8 10 9 4 5 10 6 10 4 8 1 8 10 10 8 7 10 9 7 1 7 4 6 4 6 1 4 3 1 10 5 5 3 6 7 7 10 1 8 10 10 1 3 6 3 9 1 5 2 3 4 2 7 3 6 1 10 7 7 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