生产与订购决策优化模型zuixin.doc

数学建模竞赛论文论文题目：生产与订购最优决策模型姓名： 倪亮 学号： 08041119 专业：电子信息 姓名： 臧红梅 学号：08102127 专业：信息与计算科学 姓名： 刘君兰 学号：08102221 专业：信息与计算科学 2010 年 5月 3 日生产与订购最优决策模型摘要在供应链管理中，一个重要的问题就是如何协调好供应链中生产商的生产量和销售商的订购量之间的关系。在过去的分散决策中，各企业往往为了追求自身利益的极大化而忽略了供应链中其他企业的行为，从而出现了一些问题。在供应链管理中，因为采用了集中决策的思想，从而就可以从整体上提高系统的效率。销售商如何在不确定的市场环境下根据制造商提供的订货条件进行合理的订货是供应链管理的一个核心问题。三个模型的分析分别如下：对于模型一：销售商的实际生产量为决策变量，这是一个多目标优化模型，考虑优先级目标函数为销售商的最优利润。通过分析可知，市场的需求量为定值，若销售商订购量大于400，需库存消耗一笔费用，若小于400，则销售商的供应量不足客户需求量，商品需要承担销售缺货成本，于是构造实际产量与计划产量的波动函数，通过拟合的方法，求出销售商的最优订购量。对生产商来说他的实际生产量与订货量I之间的关系不确定，生产商的实际生产量即为销售商的实际订购量。我们可以构造生产商的实际生产量与计划生产量之间的波动函数关系，并构造最大收益的期望。利用波动函数的分布服从均匀分布，对期望函数中的变量求一阶导，从而估算出计划生产量和订购量的最优值。模型二是对模型一的进一步优化，考虑了市场需求量也是随机的，构造需求量的波动函数，求得其服从均匀分布，根据模型一的方法可求得最优值。模型三的供应链具有两级生产不确定性，产成品的市场需求在一定的前提下构造原产品和产成品生产量的波动函数，两者均服从均匀分布，再根据模型一的求解方法得到最优值。关键词：供应链 决策变量 生产与订购多目标优化1 问题的背景 近年来，越来越多的企业家和学者认为企业要想获得竞争优势，就要开发它快速应对市场需求变化的能力。供应链管理是当前管理领域中十分流行的一项技术。近几年得到了学术界、企业界的广泛重视。所谓供应链，是由原材料供应商、生产商、分销商、零售商等一系列企业组成的价值增值链。它是一种新的企业组织形态和运营方式，包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节，到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。2 问题重述(1 )考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等与计划产量，呈现随机波动。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的波动区间为0.85,1.15,即若生产商计划生产量为Q,即产品实际产量的区间为0.85*Q,1.15*Q。(2) 在问题(1)的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320，480(3) 实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生厂商（炼油厂、洗煤厂、钢铁厂）利用原材料生产成品；以上供应链中，一级生产商生产原产品，二级生产商向一级生产商订购原产品，并通过加工原产品生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商的最优订购量和一级生产商大的最优计划生产量。 单位原产品生产成本为20，单位元产品库存成本为5，单位原产品缺货成本为15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7，（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15,产成品生产量的波动区间为0.9,1.1。在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进你所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量？ 3 模型的假设与记号一个简单的供应链系统是由单一的制造商与单一的零售商所组成的。市场需求只能在零售商处得到满足。该供应链的决策结构是：零售商根据市场需求信息、本组织的经营成本结构及制造商所提供的价格，向制造商进行产品订货，制造商根据零售商的订购需求进行生产 批量决策。决策不仅要使企业自身的利益最大化，同时也使整个供应链系统的利润总和达到最大。在上述供应链的决策过程中，假设产品的市场需求不变，零售商对市场的供应不允许延期交货，制造商是该零售商的唯一供货者。市场需求零售商（订货量）制造商（生产批量） 简单供应链系统图基本假设： 只有一个制造商和一个销售商； 制造商有足够的能力满足销售商的需求； 销售商的初始库存为零； 忽略交易费用、运输成本等中间费用； 产品的生产和批发都不要求分批，都是一次性处理完；符号规定： D： 商品的市场需求量； ：商品市场需求量的期望值；： 单位产品的市场零售价格； W： 单位商品的批发价格； I ： 销售商的实际订购量；（决策变量：销售商）Q： 生产商计划生产量； C：单位商品的生产成本；：生产商的实际生产量；为决策变量； ：销售商的单位商品的库存成本； ：生产商的单位商品库存成本； 商品生产量的波动系数； ：商品的市场需求量的波动系数； ：二级产成品生产量的波动系数： 单位商品销售缺货成本； ： 单位商品批发缺货成本；: 销售商的所得利润； : 销售商的最优利润；： 生产商的所得利润; : 生产商的最优利润； 生产商的实际生产波动函数 ； ：单位产成品的销售价格； : 产成品的总量； ：单位产成品的加工成本； ：单位原产品的销售价格； ：产成品的市场需求量； ：二级生产商投入单位原产品出产产成品数量； ： 一级生产商的利润； ：二级生产商的利润； ：一级生产商的最优利润； ：二级生产商的最优利润已知变量：； ； ； ； =； ； =； =280； 4问题的分析及模型的建立4.1 模型一的建立在市场需求量一定、价格不变的前提下，分析销售商的最优订购量由于市场的需求量为400，若订购量大于400，则销售商需承担多余产品的库存费和成本费45，若订购量小于400，则销售商需承担缺货成本25，综合分析知，销售商的订货量在不大于400的情况下最有利。假设是商品的实际生产量的波动系数，商品的实际生产量，且服从的分布函数。由此可以列出生产商的利润函数为：* （1） 订购量 那么， 对生产商来说他的实际生产量与订货量I之间的关系不确定，生产商的实际生产量即为销售商的实际订购量。生产商的利润函数为： （W）*（）* （） （W）*I（I）* （I ） 生产商的最优利润： =（3） 4.2 模型二的建立在模型一的基础上，模型二进一步优化， 该模型考虑了市场需求量的随机波动性。，已知市场需求量的期望是400，需求量的波动区间为0.85，1.15，在价格不变的前提下，分析销售商的最优订购量。假设变量为市场需求量的波动系数，商品的市场需求量=，并且服从的分布函数。由此可以列出销售商的利润函数为： ；-0.2 （D）= ； 销售商的最优利润函数为： + （1）那么， 对生产商来说他的实际生产量与订货量I之间的关系不确定，生产商的实际生产量即为销售商的实际订购量。生产商的利润函数为： （W）*（I）*; （）= *I; () 生产商的最优利润函数为： （2）4.3模型三的建立在实际生产中，大多数供应量具有两级生产不确定性，在这种供应链中，一级生产商生产原产品，二级生产商向一级生产商订购原产品，并通过加工原产品生产产成品，进而销售给最终顾客。在该模型中，假设产成品的市场需求量是确定的。以二级生产商的订购量为决策变量，其中原产品生产量的波动区间为0.85,1,15,产成品生产量的波动区间为0.9,1.1,通过分析我们建立了以下模型： 一级生产商的利润函数： （W）*（I）*; （） *I; () 一级生产商的最优利润函数： （1） 二级生产商的利润函数： ; = ; ()二级生产商的最优利润函数： =+ （2） 5 模型的求解与分析5.1 模型一的求解与分析 对销售商的最优利润求解分析如下：在I的区间两侧分别取五个值，依次代入到目标函数中，求出各个点的函数值（见表格 1），然后根据拟合解曲线的方法在MATLAB的环境中，求解出I与的关系曲线（见图表 1）：通过分析可得：当订购量I=400 时，（D）8000 为最优化值表格 1I(订购量)390392394396398400755076407730782079108000I(订购量)40240440640841079107820773074607550I=390:2:410;y=7550 7640 7730 7820 7910 8000 7910 7820 7730 7640 7550;A=polyfit(I,y,2)z=polyval(A,I);plot(I,y,*,I,z,r) 图表 1对生产商的最优利润求解分析如下：已知单位商品的批发价W=40；单位商品的生产成本C=20；销售商的实际订购量I=400；将以上数据代入到模型一的（3）式整理得： （4） 根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为10/3,并对中的求一阶导得： 令上式为0，解得5 ；又因为取整，不妨将=, =分别代入到（4）式，经比较可得当时，生产商的利润达到最优值，故生产商的最优计划产量为 ； 5.2 模型二的求解与分析销售商的最优订购量的求解分析：已知单位产品的销售价格 P=60；商品的市场需求量的期望=400；单位商品的批发价格W=20；单位商品库存成本；单位商品销售缺货成本；根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为5/2 ；将以上数据代入到模型二中的（1）式整理可得：=*（）-）=对中的求一阶导可得：；令一阶导为0，可得；综上可知，销售商的最优订购量为400 生产商的最优计划生产量的求解分析： 已知单位商品的批发价W=40；单位商品的生产成本C=20；销售商的实际订购量I=400；将以上数据代入模型二中的（2）式整理可得： （4） 根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为10/3,并对中的求一阶导得： 令上式为0，解得5 ；又因为取整，不妨将=, =分别代入到（4）式，经比较可得当时，生产商的利润达到最优值，故生产商的最优计划产量为 ；5.3 模型三的求解与分析：二级生产商的最优订购量：已知产成品销售价格=95；产成品市场需求量；单位产成品加工成本；单位原产品库存成本；单位产成品缺货成本；将上述数据代入到模型三中的（2）式化简得：；（3）根据相关资料可得服从均匀分布，它的值为5,并对中的求一阶导得： 2.7*107/I2-45.309 ;令一阶导为0,解得;又因为取整，不妨将=412，=413 分别代入到模型三中的（3）式，经比较可得当=413时，二级生产商的利润达到最优值，故二级生产商的最优订购量=413一级生产商的最优计划生产：已知原产品的单位成本是=20；一级生产商的计划生产量与模型二中生产商的计划生产量的求解一样，同理服从均匀分布，它的值为10/3,并对中的求一阶导得： 令上式为0，在已知二级生产商的订购量的情况下可解得 ；又因为取整，不妨将=, =分别代入到（4）式，经比较可得当时，生产商的利润达到最优值，故生产商的最优计划产量为 ；6 模型评价三个模型的建立层层递进，模型一是最简单化的，没有考虑市场的需求变化，而是把它当作一个固定的期望值进行求解。优点：a、为销售商和生产商提供了最优的订购和生产模型，将有助于企业获得更大的利润，使得企业在竞争中占有绝对的优势；b、不确定环境下供应链模型解决了传统的确定环境下供应链模型，对实际生产有重要的理论和现实意义；c、对于不确定环境下供应链多元目标函数模型，选择优先级别目标函数作为决策变量求最优解，有一定的价值；缺点：a、 只考虑了两级生产的不确定性，对于多级生产不确定性没有拓展开，使得在实际生产中考虑不够全面，还需拓展开讨论；b、 在产品库存问题上没有考虑时间性及销售商与生产商之间对产品的运输处理费用及进货的批量问题；c、 没有考虑产品的质量问题及产品生产率对双方所造成的影响。 7 模型应用 不确定环境下供应链模型是目前影响较大，应用较广的模型，它包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发、销售等环节到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动中，主要在不确定环境下进行应用。参考文献1 张醒洲、张蕾，需求不确定的供应链两阶段订货模型，运筹与管理，第14卷，第6期，2005年12月2 茆诗松、程依明、濮晓龙编著， 概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2004.7（2009 重印）3 姜启源、谢金星、叶俊编， 数学建模（第3版），北京：高等教育出版社，2003