高等数学第一章无穷大量与无穷小量.ppt

第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 第四节 无穷大量与无穷小量 无穷小量 无穷大量 1 1 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 一 无穷小 1 无穷小量的定义 定义1 如果函数 在自变量的某个趋向过程 下以零为极限,则称为该趋向过程的无穷小量, 简称无穷小. 根据极限的统一定义,无穷小也可以叙述为: 如果对于任意给定的 总存在某一个时刻,自此以后,恒有 在自变量的某个趋向过程中, 则称为该趋向过程的无穷小量,简称无穷小. 2 2 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 例如, 注意 (2) 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (3) 零是可以作为无穷小的唯一的数. (1) 无穷小是与自变量的趋向过程分不开的. 3 3 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 3 无穷小的运算性质 证 定理1 在同一过程中,两个无穷小的和、差仍是无 穷小. 以为例证明. 4 4 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 推论 在自变量的统一趋向过程下,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 穷小. 定理2 证以 为例证明. 设是的有界 变量,则对 因为是 有界变量, 使得当 穷小的乘积是无穷小. 在自变量的同一趋向过程下,有界变量与无 所以存在 5 5 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 时,恒有 又因所以存在 使得当时, 恒有 取 当时, 恒有 所以 推论1 在同一过程中, 两个无穷小的乘积是无穷小, 常数与 无穷小的乘积是无穷小. 乘积是无穷小, 有极限的变量与无穷小的 6 6 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 3 无穷小与函数极限的关系 定理4 其中 证 必要性. 对因为所以 使当 时, 恒有令 与极限不等于零的函数 的商仍是无穷小. 在自变量的同一趋向过程下,无穷小 为例证明.以 7 7 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 根据极限的定义可知是时的无穷小 , 于 是其中 充分性. 如果 所以, 使当 时, 恒有 即 所以 8 8 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 二 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义2在自变量的某个趋向过程中, (不论它多么大), 如果对于任 意给定的正数 自此以后, 则称函数是这个趋向过程下的无穷大量, 如果将定义2中的改为或 我们可以得到正无穷大量或负无穷大量 总存在一个时刻, 恒有 为无穷大, 简称 记为 9 9 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 3 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量 未必是无穷大. 注意 1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 的定义, 记为或 1010 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 不是无穷大 无界， 证 1111 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限