向量组的秩和极大线性无关组.ppt_第1页
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引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 第二节 向量组的极大无关组与秩 定义（等价）： 一、等价向量组 性质：自反性 对称性 传递性 1 定理： 推论1： 推论2： 2 二、向量组的极大线性无关组与向量组的秩 定义（极大线性无关组） 注1、条件（2）表示 2、只有零向量构成的向量组没有极大无关组 推论3： 设T是由n维向量所组成的向量组，则 （1） T的每个极大线性无关组与之等价 （2）T的任意两个极大线性无关组所含向量 的个数是相同的。3 例如：对于向量组 T ： 1 = ( 1, 2, 1), 2 = (2, 3, 1) , 3 = (4, 1, 1) 1, 2 为 T 的一个最大无关组; 2 , 3 ; 1, 2 , 3线性相关，因为 21+23 = 0 1, 3 也是 T 的最大无关组。 极大无关组是唯一吗？ 4 定义（秩）(可以理解为向量组中含有有用信息的个数,) 推论4： 推论6： 推论5：等价的向量组有相同的秩。 5 定理(不要掌握,但要知道有这么回事)： 推论7：如果一矩阵列向量组的秩是r，那矩阵的秩为r. 推论8： Problem:如何求向量组的秩和极大线形无关组? 见94页 6 定理(掌握（）) （1）若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，则 A,B的行向量组等价；而A的任意k个列向量与B中对 应的k个列向量有相同的线性相关性。 （2）若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，则 A,B的列向量组等价；而A的任意k个行向量与B中 的对应的k个行向量有相同的线性相关性。 7 8 9 事实上 10 11 例(掌握)求向量组 的极大无关组，并用极 大无关组表示该向量组的其他向量。 做矩阵 然后对A进行初等行变换，化成行阶梯形（或行最简形 ）矩阵， B 可以发现， 是矩阵B的列向量组 解： 极大线形无关组 12 又 即： 从而 B 13 推论9(结论要记住) 14 三、 思考题 1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 否唯一？ 15 求 法 1、 2、对A进行初等行变换，直至阶梯形矩阵A 3、 A的秩r即
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