向量极其线性运算.ppt

1 8.1 向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 1 2 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 一、向量概念 在数学上，用有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小， 有向线段的方向表示向量的方向. 记作 向量的模： 向量的大小. 或| |记作如：向量的模 2 模等于1的向量. 零向量：模等于0的向量. 单位向量： 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 注：零向量的方向是任意的. 3 4 向量的夹角： 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 向量 与 平行(共线) ： 向量 与 垂直： 4 加法： 平行四边形法则 特殊地：若 同向 三角形法则 1、向量的加减法 二、向量的线性运算 反向 5 6 向量的加法的运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 负向量： 与 大小相等但方向相反的向量叫 做 的负向量. 记作 6 减法 根据三角形两边之和大于第三边，可知： 7 8 2、向量与数的乘法 8 9 数与向量的乘积满足的运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 9 10 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量. 10 解: 例1. 设 M 为平行四边形ABCD 对角线的交点, 11 12 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证. 12 13 例3 化简 解 13 14 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 三、空间直角坐标系 （1）空间直角坐标系 14 15 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 （2）坐标面与卦限 15 (3) 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 则 沿三个坐标轴方向的分向量. 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 有序数称为向量的坐标，记为 16 四、利用坐标作向量的线性运算 设 则 平行向量对应坐标成比例. 17 1818 例2. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 及实数 得 即 19 说明: 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: 20 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 两点间的距离公式: 21 例1. 在 z 轴上求与两点等距 解: 设该点为 解得故所求点为 及 思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 22 提示: (1) 设动点为利用得 (2) 设动点为利用 得 且 23 例2. 已知两点和 解: 求 24 25 解 原结论成立. 25 26 解设P点坐标为 所求点为 26 2. 方向角与方向余弦 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 非零向量 的方向角 (1) 方向角 27 方向余弦的性质: (2) 方向余弦 28 29 解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 29 30 解 30 3131 32 空间一点在轴上的投影 3、向量在轴上的投影 32 设点在u轴上的投影分别是 则在u轴上的有向线段的值 称为 在u轴上的投影. 记为 空间一向量在轴上的投影 33 34 向量投影的性质 ： 证 34 35 性质1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 35 3636 37 解 P13,