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圆周运动和天体运动 李生滨 大连市第二十三中学 一、描述匀速圆周运动的物理量 如图所示 1、线速度v：大小 v=s/ t (m/s) 方向沿轨道切线方向 2、角速度w：w=/t (rad/ s) v=wR 3、周期T：T2w=2R/v (s) 4、频率（转速）：频率 f=1/T(Hz) 5、向心加速度：是描述线速度方向改变快慢的物理量 ，其方向时刻变化，总是沿着轨道半径指向圆心。 公式 a=v2/R=Rw2=R(2/T )2=R(2f)2=vw v v s 二、圆周运动的向心力 1、圆周运动分类 （1）匀速圆周运动，其发生条件是：质点具有初速 度v而且受到大小不变，但方向始终与速度v垂直的合外力 的作用，这个合外力F就是向心力，且Fmv2/R 。若F mv2/R，物体将作离心运动，若Fmv2/R，物体将作逐渐 靠近圆心的运动。 （2）变速圆周运动，其发生条件是，质点具有初速 度，受到的合外力与瞬时速度成某一角度，但合外力总有 分量指向圆心，这个分量就是变速圆周运动的向心力。 2、匀速圆周运动的向心力 （1）向心力的作用效果是产生向心加速度，以不断 改变物体速度方向，维持物体做匀速圆周运动。 （2）向心力的来源分析：分析做匀速圆周运动物体 的受力情况时，只能分析按力的性质命名的力，决不可 把向心力再分析进去，做匀速圆运动的向心力只不过是 它所受外力的合力。 （3）向心力的公式 F=mv2/R=mRw2= mR42/T2 =mR42f2=ma 遵循牛顿第二定律，匀速圆周运动的向心力是大小 不变，方向变化的变力 3、变速圆周运动的向心力 （1）变速圆周运动的受力分析：做变速圆周运动物体 所受的合外力，不仅大小随时间改变，其方向也不沿 半径方向指向圆心。合外力沿半径的分力（或所有外 力沿半径方向的分力的矢量和）提供向心力，使物体 产生向心加速度，用以改变速度的方向；合外力沿轨 道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，用以改 变物体的线速度的大小。 （2）向心力的合成 F=mv2/R=mRw2=ma 注意圆周上某点的向心力F和向心加速度a跟v或w 的对应性 ,即应是同一点的瞬时值. 4、重要实例分析 竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，在中学 物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并经常出现临 界状态。 （1）绳模型：如图，没有物体支撑 小球，在竖直平面内做圆周运动时过最高 点的情况。 临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力 ）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即 mg=mv02/R 刚过最高点的临界速度（最小速度）v0= gR 当vv0时小球通过最高点 当vv0时小球不能到达最高点。 （2）杆模型：有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周 运动过最高点的情况，如图。 临界条件：由于杆（或管壁的支撑 作用）小球恰好到达最高点的临界速度Vs=0。 受力分析：当v s=0时，Nmg 当0v gR 时0Nmg 此时，mg-N=mv2/R (N为杆对小球的支撑力或管的内壁 上侧对小球有竖直向上的支持力） 当v= gR 时，N0，此时 mg=mv2/R 当v gR 时，Nmg=mv2/R N为杆对小球的拉力或管的外壁下侧对小球有竖直向下的支 持力。 小球以速度v通过最低点时，杆对小球的作用力是拉 力（或管对小球的作用力）是外侧向上的支持力 N-mg=m 重点难点导析 1、向心力：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外 力作用，称为向心力。物体做匀速圆周运动，其速度方向时 刻改变，向心力的效果就是用于改变速度方向 ，由于向心力 总与线速度方向垂直，故不能改变速度大小，所以向心力对 物体不做功，向心力是根据力的效果命名的。在具体情况中 ，可以是一个力充当向心力，也可以是多个力的合力充当向 心力。从性质上讲，向心力可以由各种性质的力来充当，向 心力是变力。 向心力的作用效果：改变方向。 向心力方向：指向圆心与速度垂直。 向心力的大小：F= mv2/r =mw2r。 向心力的命名方法：由力的效果命名。 向心力的性质：各种性质的力都可能成为向心力。 匀速圆周运动的向心力：就是合外力。 2、向心加速度：向心加速度是由向心力产生的加速度，向 心加速度是矢量。 向心加速度的方向：指向圆心。 向心加速度的大小：a=v2/r=w2r 由a= v2/r 知，做匀速圆周运动的物体，其线速度大小 一定时，向心加速度与半径成反比；由a=w2r 知，做匀速圆 周运动的物体，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。 向心加速度的方向时刻改变，是个变量。 公式 a=v2/r=w2r 也适用于非匀速圆周运动，在 非匀速圆周运动中，某时刻的向心加速度由该时刻的线速度 v(或角速度w）决定。 例1如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为，杆以O 为支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在杆上可沿杆滑动， 当杆角速度为w1时，小环在平面A处，当杆角速度为w2时，小 环旋转平面在B处，设环对杆的压力为N，则有（ ） A、 N1N2 B、 N1N2 C、角速度w1小于w2 D、角速度w1等于w2 精析与解答 由图可知，小球旋转时受到mg和支持力 N两个力作用，合力F合mgtan 用于提供向心力，其中N mg/cos 由于N mg/cos ，与旋转半径无关，因此 N1N2 ，即 A错，B对。 由于F合mgtan mw2r，即 w= gtan /r ,因此旋转半径r 越大，角速度w越小，即w1w2 ，C、D都错。正确答案B。 A B 例如如图所示，细线一端系着质量m A=0.4kg的物体A，A静 置于水平转台上，线的另一端通过中心光滑的小孔，系一质量 m B=0.3kg的物体B，A可视为质点，与中心孔O相距0.5m，并 知A与转台的最大静摩擦力为2N。现使转台绕竖直中心轴匀速 转动，试问要使物体A相对于台面静止，对转动角速度有何要 求？（g=10m/s2) 精析与解答当A物体的角速度w较小时，A物体有靠近圆 心的趋势，摩擦力方向沿半径向外，则有 T-f=mAw2R 对于B物体，在平衡时有TmB g 因TT ，故由两式可得 w= (mBg-f)/Rm A 当f最大时，w有最小值w min= 5 rad/s。 B A T Tf 当角速度w较大时,A有离心的趋势,摩擦力的方向沿半径 指向圆心,对A、B两物体有 T+f=mAw2R,且T=mBg。 由此可得w= (mBg+f)/Rm A 当f有最大值时，w有最大值w max=5rad/s, 因此可得 5 rad/sw5rad/s。 三、万有引力定律 一万有引力定律 数学表达式: F=Gm1m2/R2 万有引力恒量:G=6.67*10-11 N m2/kg2 测量：卡文迪许扭称实验 适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用 ，当两个物体间距离远远大于物体本身大小时，公式也近 似适用，但它们间距离r应为两物体质心间距离。 注意：公式 F=Gm1m2/R2 中F为两物体间的引力，F与 两物体质量乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比 ，不要理解成F与两物体质量成正比、与距离成反比。 二、应用 1、基本方法：把天体的运动近似看成匀速圆周运动 ，其所需要向心力都是来自万有引力，即： 应用时根据实际情况选用适当公式进行分析。 2、天体质量M、密度的估算：测出卫星围绕天体做 匀速圆周运动的半径r和周期T。 3、卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系： （1）由 ，得： 即 （2）由 ，得： （3）由 ，得： 4、三种宇宙速度 第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做 匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕 速度。 规律： (R为地球半径 ） 所以 第二宇宙速度：v=11.2km/s卫星脱离地球束缚的最小 发射速度 第三宇宙速度：v=16.7km/s 卫星脱离太阳束缚的最小 发射速度 5、卫星上的“超重”与“失重” “超重”：卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体“ 超重”。此种情况与“升降机”中物体超重相同。 “失重”：卫星进入轨道后 ，正常运转时，卫星上 物体完全“失重”（因为重力提供向心力）。因此，在卫 星上的仪器，凡是制造原因与重力有关的均不能使用。 重点难点导析 1、天体运动与万有引力： （1）天体的运动可以近似看作匀速圆周运动。 （2）天体运动所需要的向心力是由万有引力充当 的，即： F向F万（如图所示） 式中M为圆心处天体质量，m为做匀速圆周运动的 天体质量。 2、重力与万有引力： 严格地讲，地球上物体所受的地球施加的万有引力 ，并不等于重力，但差别很小（一般重力略小于万有引 力），只在特殊位置才相等，即： 3、卫星运动： 求解卫星运动问题要抓住两个要点：其一是卫星的运 动近似看做匀速圆周运动，其二是卫星运动所需的向心力 就是处于圆轨道中心处的行星对它的万有引力： 即： 由上式得向心加速度 线速度： ,故卫星离地 面越高，线速度越小。 周期： , 故卫星离 地面越高，周期越大。 角速度： , 故卫星离 地面越高，角速度越小。 4、卫星轨道设置 人造地球卫星的圆心必须和地心重合，由 可知：h越大，即卫星离地面越高，其线速度越小，因此， 第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最 大速度。 同步卫星必须设在赤道上方确定的高度处，由 典题精析示例 例1 一颗行星的质量为M，在它表面附近发射一颗卫 星，已知卫星绕行星的周期为T，求该行星的平均密度。 精析与解答要利用 求密度，设卫星的质量为 m，在解题时要利用万有引力是卫星运动的向心力，并全面分 析和比较应用 设法表示出行星的体积。 利用 例2已知地球半径约为6.4106m，已知月球绕地球运动可近 似看作匀速圆周运动，试估算出月球到地心的距离约为多少米 ？（结果只保留一位有效数字） 精析与解答 月球可看作质点，月球运动看作做匀速圆 周运动，不考虑地球的自转。 月球绕地球运动的周期T30d30243600s 根据 (R为待求的距离） 而GMgr2（r为地球半径） 由得 代入数据最后得到：R4108m。 例3 在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的卫星，它所具有 的机械能为E、动能为EK，由于某种原因使它的速度突然增大 ，则当它重新稳定下来做匀速圆周运动时，它的（ ） A、r增大，E增大， EK增大 B、r增大，E增大， EK减小 C、r减小，E增大， EK减小 D、r减小，E减小， EK增大 精析与解答 在轨道上稳定运行的卫星速度突然增大时 ，显然是外界对其做了正功，故它的机械能E将增加（此时的 动能突然增大） 当卫星的速度突然增大后，此处卫星所受的引力不足以 提供向心力，所以发生了离心现象，轨道半径增大，引力做 负功，动能减小，势能增大。 当卫星的运行重新稳定下来时， 成立 ，由于r增大，所以对应新轨道的动能EK应减小。 故选B 归纳与总结 一般情况下运行