八年级第十七章《函数及其图象》知识点（2）

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 13 八年级第十七章函数及其图象知识点（ 2） 八年级第十七章函数及其图象知识点（ 2） 一、一次函数 （一）一次函数的概念：形如 y=kx+b（其中 k 0），两个特征： k 0， x 的次数为 1 正比例函数的概念：当 b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称 y 与 x 成正比例 【注意】两个变量成正比例，即 y=例题 1、若函数 y=(x|m|是一次函数，则 m=. 2、若 x+3成正比例，且当 x=1时， y=2，求 y 与 x 的函数关系式 . （二）一次函数的图象及其性质： y=kx+b（ k 0） 1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点 . 特殊直线：直线 y=x 或直线 y=的点到两坐标轴距离相等 . 2、一次函数的性质（与系数 k、 b 相关） k 决定着函数的增减性 当 k 0 时， y 随 x 的增大而增大（增函数），必过第一三象限 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 13 当 k 0 时， y 随 x 的增大而减小（减函数），必过第二四象限 b 决定着直线与 y 轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减” 当 b=0 时，必过原点；当 b 0 时，沿 y 轴向上平移；当 b 0 时，沿 y 轴向下平移 . 补充口诀：上加下减改变 b， y=kx+b y=kx+b+m 左加右减改变 x， y=kx+b y=k(x+m)+b 斜率 k 的性质：平移 k 不变； |k|越大，直线的倾斜程度越大； k=【可用于待定系数法求解析式中的 k】 截距 b 的性质：与 y 轴交点（ 0， b），与 x 轴交点（， 0） 四种特殊位置关系的直线： 两直线平行 k 相等； 两直线相互垂直 1； 两直线关于 x 轴对称 k 与 b 均互为相反数； 两直线关于 y 轴对称 k 互为相反数， b 相等 . 点（ 直线 ax+by+c=0的距离 d 公式： d= （三）一次函数的应用 1、解题关键：点的坐标，尤 其是交点的坐标 . 三种交点：与 x 轴交点， y 坐标为 0，即（ x， 0） 与 y 轴交点， x 坐标为 0，即（ 0， y） 两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 13 坐标和 y 坐标 2、解题思路：与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】 求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中 k、 b 注意利用性质求得 .【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】 比较大小的三种方法：【含 两种方案的比较问题】 代入计算法（对函数解析式已知的题目适用） 增减性分析法（对 k 的符号已知的适用） 图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析） 最值问题（如最大利润）： 先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）； 再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成 y=kx+b 的形式）， 最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值 . 行程问题（常以两车同向或相向为背景） 图象交点的意义：两车相遇（或追上） 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 13 两车的距离即为： s=题 1、已知直线 y=(k+2)x+图象经过原点，则 k=. 2、若一次函数 y=(k+2)的图象不经过第四象限，则 3、已知直线平行于直线 y=2x，且与 y 轴交点到原点的距离为 2，则该直线的解析式是 . 4、把直线 y= 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限，则 m 的取值范围是 . 5、函数 y=y=的图象交于 x 轴上的一点，则 =. 6、一次函数 y=(3x+图象与 y 轴交点在 x 轴上方，且 y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 . 7、正比例函 数 y=图象经过第一三象限，在函数y=(（ （ 且 8、若直线 y=kx+b 交坐标轴于 ()、 (0,3)两点，则不等式 kx+b 0 的解集是 . 9、函数 y=，当图象在第一象限时， x 的取值范围是；当 x 3 时，函数的最小值是 . 10、直线 （ 0,6）、 B（ ），直线 过点 c（ 0,1） . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 13 （ 1）求两直线的解析式；（ 2）求直线 x 轴的交 点 D 的坐标；（ 3）求直线 y 轴距离等于 4 的点的坐标；（ 4）求两直线的交点 P 的坐标；（ 5）求 面积；（ 6）在 m，使得 S 11、点 A 为直线 y= 上的点，点 A 到两坐标轴的距离相等，则点 A 的坐标为 . 12、把 在平面直角坐标系中，点 A（ 1,0）、点 B（ 4,0）， 0， x 轴向右平移，当点c 落在直线 y=2时，求线段 13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为 10台，但不超过 70 台 时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x（单位：台） 10 20 30 y（单位：万元 /台） 60 55 50 （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 13 （ 2）市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元台）之间满足如图所示的函数关系该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润（注：利润 =售价成本） 14、现从 A， B 两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜， A， 4吨，其中甲地需要蔬菜 15吨，乙地需要蔬菜 13 吨，从 A 地到甲地的运费为 50 元 /吨，到乙地的运费为 30元 /吨；从 B 地到甲地的运费为 60元 /吨，到乙地的运费为 45 元 /吨 (1)设从 A 地往甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表： 运往甲地 (单位：吨 ) 运往乙地 (单位：吨 ) A x B (2)设总运费为 W 元，请写出 W 与 x 的函数关系式； (3)共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 13 15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为 出租车离甲地的距离为 客车行驶时间为 x（ h）， x 的函数关系图象如图所示： （ 1）根据图象，求出 x 的函数关系式。 （ 2）若设两车间的距离为 S（ 请写出 S 关于 x 的函数关系式。 （ 3）甲、乙两地间有 A、 B 两个加油站，相距 200客车进入 A 站加油时，出租车恰好进入 B 站加油。求 A 加油站到甲地的距离。 16、如图，直线 y=x+8 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 和 B， m 是的一点， 叠，点 B 恰好落在 x 轴上的 （ 1）求 c 点的坐标； （ 2）求直线 二、反比例函数 （一）反比例 函数的概念 概念：形如 y=（其中 k 0）的函数称为反比例函数，又称 y与 x 成反比例 . 两种变形： y= xy=k 概念的特征： k 0， x 的次数是 分母只能是 x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 13 例题： 1、下列函数不是反比例函数的是（） A、 y=； B、 y=； c、 y=； D、 y=； E、 y= 2、当 a=时， y=是反比例函数 . 3、若 y+1 与 反比例，且当 x=2 时， y= y 与 4、已知 y=y1+中 x 成正比例， x 成反比例，且当 x=1与 x=2时， y 的值均为 x=4时， y 的值 . （二） 反比例函数的图象及其性质： y=（其中 k 0） 1、反比例函数的图象是双曲线 2、反比例函数的性质（只与 k 相关） k 决定着图象所在的象限和增减性【注意增减性只能在一个象限中研究】 当 k 0 时，图象在第一三象限，在每个象限中 y 随 x 的增大而减小（减函数） 当 k 0 时，图象在第二四象限，在每个象限中 y 随 x 的增大而增大（增函数） 每个反比例函数图象（双曲线）都关于原点对称【相应的点也关于原点对称性】 双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线 y=y=标轴夹角的平分线】 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 13 当 个反比例函数的图 象既关于 关于 y 轴对称 . 双曲线上任一点向两坐标轴作垂线，两垂线段和坐标轴围成的矩形的面积等于 |k|【用于反比例函数中与面积相关的问题】 如图， S 矩形 k|， S k|. （三）反比例函数的应用 1、解题关键：点的坐标：只有一个未知系数 k，故只需一个点，待定系数法代入即可 . 有关面积：转化为 k（见性质） . 数形结合 2、解题思路：与“一次函数的性质应用”大同小异 3、反比例函数与一次函数的综合应用的常用方法： 由交点待定未知系数； 常用条件和应用类型： 面积、全等、对称、角平分线或垂直平分线、勾股定理 例题： 1、已知反比例函数 y=的图象在第二四象限，则 m 的取值范围是 . 2、函数 y=与函数 y=图象在同一平面直角坐标系中的精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 13 交点有个 . 3、当 x 0 时， y=中 y 随 x 的增大而减小，则直线 y=不过第象限 . 4、反比例函数 y=的图象上有三个点（ （ （ 当 0 较 . 5、如图，正比例函数 图象与反比例函数 图象相交于 A， B 两点，其中点 A 的横坐标为 2.当 y1x 的取值范围是 6、已知直线 y=2y=的图象的一个交点为（ 2,4），则另一个交点坐标为（） . 【注意这里的直线是过原点的，如果没有过原点，则需使用联立方程组求交点】 7、已知点 A 是反比例函数图象上一点， y 轴于点 B，且 ，则反比例函数的解析式为 . 8、如图，点 P（ 1,4）， Q（ m， n）在 y=的图象上，当 m 1时，过点 P 分别作两坐标轴的垂线，垂足为 A、 B；过点 Q 分别作两坐标轴的垂线，垂足为 c、 D； 着 m 的增大，四边形 9、如图所示，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y=和 y=的图象交于点 A 和点 B，若点c 是 x 轴上任意一点，连接 面积为_ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 13 第 9 题第 10题第 11题 10、如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与反比例函数 图象交于点 A（ ）、 B（ 1， n） . （ 1）求两函数的解析式； （ 2）根据图象写出当 x 的取值范围； （ 3）直线 c，求 S （ 4）若直线 x 轴交点为 E，点 P 是反比例函数 图象上 一点，且 S ，求点 P 的坐标 . 11、如图，一次函数 y=kx+x 轴交于点 A，与反比例函数 y=（ x 0）的图象交于点 B（ 2， n），过点 B 作 c，点 P（ 31）是该反比例函数图象上的一点，且 反比例函数和一次函数的表达式 解析：由点 B、 P 在 y= 2n m 和 3m解得 m=8， n=4，故反比例函数为 y=，且点 B（ 2， 4）， P（ 8， 1）由 以点 P 关于直线 对称点 P在直线点 P（ 1） （ 2， 4）和点 P（ 1）待定系数法求得 y=x+3 12、如图，一次函数的图象与反比例函数 （ x0）的图象相交于 A 点，与 y 轴、 x 轴分别相交于 B、 c 两点，且 c（ 2， 0），当 x，一次函数值小于反比例函数值。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 13 （ 1）求一次函数的解析式； （ 2）设函数 x0）的图象与 （ x0）的图象上取一点 P（ P 点的横坐标大于 2），过 P 作 x 轴，垂足是 Q，若四 边形 ，求 P 点的坐标。 第 11题第 12题 13、如图，在平面直角坐标系中，直线 y 2x b(b 0)与坐标轴交于 A， B 两点，与双曲线 y (x 0)交于点 D，过点 c x 轴，垂足为 c，连结 (1)如果 b 2，求 k 的值； (2)试探究 k 与 b 的数量关系，并写出直线 【解析】： (1)b 2，则直线为 y 2x 2，可得 A(1， 0)， B(0， 2) 由 c(2， 0)， D(2， 2)， 又点 D 在 y 图象上，代入得 k 4 (2)由 y 2x (， 0)， B(0， b) 由 c( b， 0)， D( b， b)， 又点 D 在 y图象上，代入得 b，即 k 由 D( b，