Lebesgue积分的拓展研究.doc

茂 名 学 院毕业论文题 目：Lebesgue积分的拓展研究 英文并列题目：The Extention about LebesgueIntegration 学院：理学院 专业：数学与应用数学 班级： 04-2 学生： 钟家健 指导教师（职称） 孙立民（教授） 完成时间： 2008 年 1 月15 日至 2008 年6 月 9 日 系主任批准日期茂 名 学 院 毕 业 设 计（论 文）任 务 书 数学 系 数学与应用数学（师范）专业 数学04-2班 学生 钟家健 一、毕业设计(论文)课题 Lebesgue积分的拓展研究 二、毕业设计(论文)工作自 2008 年 1 月 15 日起至 2008 年 6 月 9 日止三、毕业设计(论文)进行地点 茂名学院课室、学生宿舍 四、毕业设计(论文)的内容要求 1内容要求Lebesgue积分研究是一项比较困难的研究工作，由于研究内容抽象，因此在研究前期要做大量准备工作，要对现有教材内容和相关文献仔细研究确定研究主线，撰写论文提纲研究可从以下几个方面展开，1揭示Lebesgue积分的本质2对可测函数的叶果洛夫等几个重要定理拓展研究3对Lebesgue积分极限的几个著名定理如法都定理，Lebesgue收敛定理等进行拓展研究4研究有关应用问题 2过程要求 （1）4月10日前按要求组织所需资料，完成提纲、摘要 （2）5月26日前按要求完成相关实验、系统设计及实现、论文初稿 （3）6月9日前按要求完成论文终稿、打印装订以及答辩前的准备工作 （4）6月10日至14日为小组答辩，15日至16日为公开答辩 （5）论文的语言文字要规范，格式要按规定的格式进行编辑，字数在1万至1.5万 之间，参考文献至少10项 （6）在整个毕业设计与论文写作过程中要经常与指导老师交流 教研室负责人 指导教师 接受设计论文任务开始执行日期 2008 年 1 月 15 日学生签名 摘 要 本文对积分的性质进行了拓展性研究推广了可测函数和积分极限的一些著名定理，揭示了积分的本质同时研究了积分计算的有关问题关键词：可测函数，勒贝格积分，黎曼积分，可列可加性I Abstract This article have studied the nature and the essence of Lebesgue Integration and have extended some famous results and theorems ，at the same time， some calculation of Lebesgue Integration have be disscussedKeywords: Measurable function， Lebesgue Integral，Riemann integral， Countable additivity II第一章:绪论1目录摘 要IAbstractII第一章 绪论11.1研究背景11.2 积分与积分简介21.2.1 积分简介21.2.2 积分简介31.3 两种测度简介51.4 研究方法61.5 参考的文献61.6 附 论文里常的公式概念7第二章 可测函数92.1 可测函数定义的几种等价性叙92.2可测函数在可测集上的运算112.3 可测集上的差不多132.3.1 叶果洛夫定理（）132.3.2 鲁津定理（）132.3.3 依测度收敛15第三章 积分论183.1 非负可测函数积分的定义探究183.2 积分极限定理213.2.1 勒贝格控制收敛定理213.2.2 列维（）223.2.3 法都（）253.3 积分极限定理的同一性263.3.1 积分极限定理的等价性263.3.2 积分极限定理的同一性293.4 积分的计算313.5 某些积分命题的证明35结束语37参考文献38第一章:绪论致谢39第一章 绪论为便于后面章节的展开，本节先介绍一下研究背景及预备知识，并将从积分的定义，可积函数的连续性，积分可加性等几方面进行分析比较，指出积分与积分的区别与联系，使我们能顺利从积分过渡到积分1.1 研究背景从19世纪下半叶以来，随着积分理论在工程和物理中越来越多的应用，以及人们对分析数学中几个基础概念的进一步研究，如是连续性，面积，体积微分等到，积分理论的缺陷逐步暴露出来。从广度来看，所能处理的函数基本上为连续函数；从应用上来讲，积分对一些应用中的常常涉及到的极限顺序交换问题限制较强，灵活性不足。而诸如是积分与极限，积分与求各顺序交换等，不论在数学的理论中还是在应用上，都是至关重要的。在这些问题推动下，经过和等数学家的不懈努力，新的测度理论和积分理论逐步发展起来，它在积分的广度和极限交换顺序的灵活性比积分要优越得多。20世纪以来，实变函数理论已成为近代数学的一个不可缺少的工具。在现代概率论，泛函分析，大范围微分几何，微分方程，物理，以及应用数学家中出现的非线性问题中，它已成为构建这些学科理论的一个基石。对于数学专业学生来说，实变函数论是数学系一门重要的主干理论课，其主要内容是建立积分理论，是数学分析的深化和继续，是在更广的背景下来研究微积分课题。例如，它把界定在区间上的经典（）积分开拓到可测集上，积分的对象也扩大到定义在可测集上的可测函数类；同时它也是学习泛函分析，近世代数和拓扑学的必备知识。本文就是这样的环境下对积分进行拓展研究，一方面使积分理论体系更完善，另一方面进一步加深对积分的认识1.2 积分与积分简介黎曼积分是建立在若当测度之上，而若当测度只有有限可加性，勒贝格积分是建立在勒贝格测度之上，而勒贝格测度有可列可加性，两种测度的性质（见下节）的差异决定着对与它们对应的两种积分的性质差异。1.2.1 积分简介黎曼积分的定义设是定义在上的有界函数，任取一分割，令，在每个任取一点，作和令，如果趋于有限实数，则称它为在上的黎曼积分，记作黎曼积分的特点1积分只适合基本上连续的函数设为区间上的有界函数，对区间作分划：，根据（）积分可积第二充要条件是：，其中（），是在子区间上的振幅这就是说在的过程中振幅不能随之窄小的那些项的区间总长度必须任意小由于函数振幅的大小与函数连续性有关，于是必须要求的不连续点的总和任意小，即可用长度任意小的区间包围可见，函数（）可积必须基本上连续才行在数学分析里，有关基本上连续函数可积定理：在区间上只含有有限个间断点的有界函数，则在上（）可积（见华东师大版数学分析上册）有些有无数个间断点甚至每点不连续而又非常简单的函数在积分意义下是不可积的比如狄利克雷函数（）.可见，（）可积函数范围太窄2（）积分区间依赖性强（）积分对一般集合上的函数或定义在完全不同的集合上分布奇特的有趣函数，没有简单的方法，甚至不可积如定义在上的函数无法讨论它的（）可积性3（）可积函数列的极限与积分交换次序的条件比较严格数学分析中，都是在函数列一致收敛于的条件下保证极限与积分次序交换，即一致收敛太苛刻了，大大影响了（）积分运算的灵活性！我们可以举出许多点点收敛但不一致收敛而又可进行极限与积分交换次序的函数例子例，虽然经过对一致收敛条件减弱，得到类同于勒贝格控制收敛定理的积分有界收敛定理，使上面例子成立，但仍受到诸多条件的限制（见第三章第二节）此外，（）积分的运算也不完全是微分运算的逆运算，造成牛顿莱布尼茨公式的使用有很大局限性等等1.2.2 积分简介积分思想简介（）积分的以上的特点，限制着它的进一步发展，而且从理论发展的需求来说，一个形如狄利克雷函数这种样简单的函数都不（）可积，这不得不说是（）积分的一大欠缺为使积分学有更广泛的应用，人们长期以来就致力于对（）积分进行改选，直到1902年才由法国数学家成功引进一种新积分，后人称之为积分（简称积分）下面对积分思想进行简单介绍为简单起见，设是定义在上的非负有界函数即对作任一分划：对于，考虑点集，这时曲线上点纵坐标与之间这一部分小曲边梯形的面积近似地等于底高底可取作集合的长度，不妨记作，高可取作这样，小曲边梯形的面积就近似地为作和式，它便是在上的曲边梯形面积的近似值令（保证分划足够小），如果上述和式极限存在，则定义为上的积分积分的几个优越特点1积分积分范围更广连续函数既是黎曼可积函数，也是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数也不局限于连续那具备怎样的函数才黎曼可积呢？函数在上的黎曼可积的充要条件是在上的一切间断点的测度为零（证明见论文最后一节）这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质设是可测集上的连续函数，则在上可积的充要条件是在上可测显然有限区间都是可测的，因而黎曼可积函数都是勒贝格可积函数前面我们介绍过鲁津定理：设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且因此，勒贝格可积函数都是基本上连续的，（），对应于黎曼可积函数的几乎处处连续（），可见勒贝格可积函数范围比黎曼可积函数范围要广，比如之前介绍过的狄利克雷函数，在上不能黎曼积分而可以进行勒贝格积分2积分（区域）的可加性由（）积分的性质可知，黎曼积分具有有限可加性，即若，（）为有限区间，（），则有但黎曼积分不具可数可加性，例如 显然在区间，上皆可积另外把点0与看成特殊区间，在其上亦可积上述区间是是两两不相交的区间（除端点外）且它们并集为，但在上显然不（）可积对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，打破了黎曼积分的局限性定理设在可测集上积分确定，且，其中为互不相交的可测集，则1.3 两种测度简介19世纪的数学家们开始认识到积分这种仅适用于连续函数的积分已不中于解决数学中的许多问题，无数数学家对些进行了艰辛的探索我们知道一个函数可不可积，从几何意义上说就是指相应的平面图形的面积存不存在于是，如果想建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望把原有的面积（面积，体积等）概念加以推广，以使更多的点集具有类似于长度（面积，体积等）性质的新的度量，这种度量，人们称为测度本节主要简要介绍下若当测度各勒贝格测度1892年，法国数学家若当（）给出了一种新的测度定义，即若当测度定义设是中有界点集，令；是左开右闭区间，；是左开右闭且互不相交区间，分别称，为的若当外测度和若当内测度如果，就称是若当可测的，此时把的外测度就定义为的若当测度，记作按照上述定义，任何区间都是若当可测的，其若当测度等于它的长度或见若当测度是区间长度概念的推广由定义中（）中的上限可知，若当测度具有有限可加性而不满足可数可加性，积分正是定义在若当测度上的，因而积分的某些性质也会表现到若当测度上来（见第三章第五节）按照积分的构思（上节），会出现一系列新的问题，首先，分割函数值域后，所得到的点集，一般不再是区间，也不一定是有限个互不相交的区间的并了，而可能是杂乱无章的点集及其并集，因而若当测度不会适合这一问题若当测度出现10年后，推广了若当测度，提出了满足上述问题的勒贝格测度定义2设是中点集（不要求有界），令；是左开右闭区间，则称为中的勒贝格外测度可见，相比于若当外测度，勒贝格外测度具有可列可加性定义3设是中有界点集，定义为上的内测度，记作定义4 设为中有界集，如果，则称是可测的又如果是中的无界集，如果对任何开区间，有界集都是可测的对可测集，不管它有界或无界，一律称为它的测度，简记测度保持了若当测度的性质，而且还具有了可列可加性积分就是定义在这种测度之上的，因而具有比积分更灵活的性质（见第三章第五节）只是上面定义可测使得有界集与无界集受到了不同的对待，而且同时出现了内，外两种测度，使用起来不够瞧方便，也不便于向一般集类上推广于是1914年，希腊数学家卡拉泰奥多里（）提出了直接定义可测集的条件：定义5 设，如果对于中任一点集均有，则称为中的可测集，或者说是可测的，并规定的外测度就是的测度，记为定义5与定义4（当初给出的定义）是等价的（证明见程其襄，张奠宙版附录一）1.4 研究方法在进行研究阅读大量文献的基础上，通过采用比较，归纳，演绎，类比等数学逻辑方法，使研究逐步拓展1.5 参考的有关文献1 潘学锋浅淡黎曼积分与勒贝格积分的区别J甘肃联合大学学报第21卷，20019论文主要从积分的定义，可积函数，积分极限定理，积分的计算方法四个方面论证了浅淡黎曼积分与勒贝格积分的异同2周其生勒贝格积分的计算方法J 安庆师范学院学报第11卷2005这篇文主要研究了有关勒贝格积分计算的两种方法：1利用积分定义计算；2用积分的性质计算3 吴振之可测函数的几个等价定义J武汉食品工业学院学报1995这篇论文给出了5个形式各异的可测函数定义，并证明其等价性，指出它们的特点，说明不同著者采取不同的定义引入可测函数的原因4郭家勇可测函数在可测集上的测度比较J连云巷师范高等专科学校学报第3期20013测度论是实变函数的理论基础，论文通过可测函数之间的不等式关系，讨论了它们在可测集上的测度大小5刘敏思王艳玲L积分论中的几个问题J高等函授学报第4期1997论文主要研究了：1积分定义的多样性；2积分的基本性质；3可积函数的判定； 4积分的极限定理6丁宜浩黄东来勒贝格积分三种定义的等价证明J桂林电子工业学院学报第2期2004这篇论文给出了3种形式各异的勒贝格积分定义并证明了其等价性，使读者能从不同角度理解勒贝格积分7毛约平L积分的三大极限定理在时的等价性证明J大庆师范学院学报第27卷2007论文将积分的三大极限定理联系起来进行研究，在由控制收敛定理证明定理，再由定理证明定理的基础上，给出了由定理到控制收敛定理的一个证明8胡绍宗勒贝格定理的有趣证明及黎曼函数的可积性J阜阳师范学院学报第17卷.2000勒贝格定理是研究黎曼积分和勒贝格积分的重要工具本文是从振幅的角度证明勒贝格定理，并给出典型例子加以说明1.6 附 论文里常的公式概念（1）德摩根公式：，（2）博雷尔集（）：凡从开集出发，用取余集，取有限并或可列并，有限交或可列交等手续不起过可数多次而得到的集合，都称为集（3）可测集：通俗地说，凡零测度集，区间，开集，型集，型集，集都是可测集（4）当充分大以后都有（5）存在无穷多个，使（6）（7）（8）（9）几乎处处：设是一个与集合相关的命题，如果存在的子集，适合，使得在上恒成立，则称在上几乎处处成产，记作成立（10）设，则（11）设，则（12）设上非负递增函数列，且，则对于任取自然数，函数列是一致有界的，并且9第二章:可测函数第二章 可测函数实变函数是建立在可测函数基础上的积分理论本章我们对可测函数进行某些深刻的探讨，我们会发现可测函数不是连续函数的简单推广，这是定义在测试论基础上构造出来的，但它能把连续函数，可导函数，单调函数作为特例加以概括，能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，而狄利克雷函数则是不连续的可测函数，它比连续函数要宽泛得多2.1 可测函数定义的几种等价性实变函数论中核心的内容之一是建立在可测函数类上的积分理论因此欧氏空间中意义下可测集（简称可测集）上的可测函数，如同连续函数是数学分析中主要研究对象一样，是实变函数认（简称实变）中研究的主要对象实变主要限于考虑可测函数类，是因为只有可测函数才便于应用测度论，尤其是基于测度的积分，只能用于可测函数因而可测函数概念是实变中的一个基本概念。透彻理解和掌握这一概念，对学好积分理论无疑是非常重要的目前实变的各类著作（包括教材，论文）中定义的可测函数概念形式上不尽相同本文在维欧氏空间中归纳出有关可测函数五种常见的定义，并通过对它们等价性的证明和评论，加深对可测函数定义的理解，从而更好地把握这一概念的实质，开拓研究问题的思路，培养创造性思维的能力五种常见的可测函数定义定义1设为定义在可测集上的实函数，如果对任何有限实数，都是可测集，则称为定义在上的可测函数（简称可测函数）注1：事实上，用这种方式定义可测函数，定义中的判断条件改为：（1） 对任何有限实数，都是可测集；（2） 对任何有限实数，都是可测集；（3） 对任何有限实数，都是可测集；（4） 对任何有限实数， ，都是可测集，结果都是等价的定义设为定义在可测集上的实函数，若存在上的简单函数列，使得 ，则称为上的可测函数定义设为可测集上几乎处处有限的实函数，若，存在闭集，使得，且在上连续，则称为上的可测函数这实质上就是鲁津定理(见第三节)定义设为定义在可测集上的实函数，,若任给中开集(闭集)，有为可测集，则称为上的可测函数定义设为定义在可测集上的非负实函数，在上的下方图形为可测集，则称为上非负可测函数一般地，为可测集上的实函数，若，均为上的非负可测函数，则称为上的可测函数定义注释纵观上述五种可测函数的定义，其实它们都是等价的他们是从不同的角度描述了这一概念，从而使我们对这一概念获得较全面而深刻的领会，且受到研究问题思维方法的启示，各个定义都有自己的优势和局限，在深刻理解和掌握它们后，就可根据不同问题的条件和需要，灵活地采用某种定义去解决这些问题，使可测函数具有更广泛的应用，以达到培养创造性思维能力的目的（1）定义1从函数的水平集的可测性角度描述函数可加性该定义通常是根据建立积分所需要的条件而引入可测函数概念的，比较自然，且简捷明快，故易于理解和接受；其次，该定义与测度论联系紧密，便于运用测度论知识来研究函数的可测性，故一般的实函数教材通常多采用这一形式来定义可测函数但这一定义不易看出可测函数的结构，可能易将函数的可测性与点集的可测性相混淆（2）定义2和定义3是从不同构造逼近的角度，利用简单函数类，连续函数类关于极限运算的非封闭性，分别用简单函数，连续函数列的极限来刻画可测函数的定义2表明可用简单函数去逼近比连续函数更为广泛的可测函数；定义3表明可测集上的可测函数，可用含于的一列闭集上的连续函数去逼近，或在中挖去一个使得余集为闭集的测度可任意小的集之后，将改造成为连续函数这使得我们把握住了可测函数的结构和实质；可以将可测函数问题转化为简单函数或连续函数的问题，使问题得到简化，用熟悉的知识去处理和研究可测函数问题但这两个定义并未给出具体的构造方法，而要构造满足要求的简单函数列或闭集并非易事（3）定义4是从映射的角度来描述可测函数的本质属性的它表明可测函数的逆映射是两个子不同的集类到可测集类之间的一各对应特别地，为连续函数开集，为开集，而开集是可测的可见，连续函数是可测函数的一个特例，或者说可测函数是连续函数的一种推广这一定义还可以使我们对可测函数有更广泛和抽象的认识定义4的缺点是对初学者不易理解，不过学过点集拓扑的初学都是完全没问题的（4）定义5是从几何图形的角度提示可测函数的特性它表明可测集上非负实函数的可测性，是由维可测集和其上的图象所确定的维点集的可测性所决定的，它给出了非负可测函数的几何意义，这一定义，定义直观易懂，并可为稍后建立的积分获得明显的几何意义，可将积分值的计算转化为相应点集测度的计算，为积分计算和利用测度论知识研究积分开辟一个途径但这一定义要分两步来处理，先对非负函数后转化为一般函数再行研究，显得较繁琐，而且这一定义不利于进一步作抽象的推广2.2 可测函数在可测集上的运算可测函数是从测度的观点来展开研究的，本节通过可测函数之间的不等式关系，来讨论它们在可测集上的测度大小，并且为下节介绍三大收敛定理时作准备设与为上的可测函数，则与都是可测集证明因，故只须证明可测设，亦即，则必存在有理数，使，亦即，反之亦然因此，设有有理数全体为，则，由可测集的性质，等式右边显然都是可测集证毕设与是定义在上的可测函数，若，有，则，有（1），（2）证明（1）对，有，又，从而，因而有且，所以（2）对，由于，有，即，所以设，为上的可测函数，若对，有，则对，有证明反证法对，有，假设且，有，而由推知，与前面假设矛盾所以由德摩根公式，我们得到，从而，进而推出现在我们再把定理2逐步推广到无限个函数上定理3设，为上的可测函数，若对，都有，则对，有定理4设，为上的可测函数，若对，都有，则对，有，其中证明对，有，若，对，故 ，可是由, 推出，矛盾所以，由德摩根公式 ，从而，因此证毕定理5为上的可测函数，为上的有界可测函数，且若对，都有，则对，有，其中证明由有界且存在极限，对，使单调递减排列，（必要时可以对进行重新排列），自然数，当时，则.则由定理2有，显然有，至于，只需令第项后面的为零即可注 当条件“”中“”改成“”结论也成立证毕2.3 可测集上的差不多本节将对三大收敛定理作出详尽的论述及其推广，至于其原定理的证明，由篇幅所限这里不再列出，请参看教材及相关参考文献 2.3.1 叶果洛夫定理（）设，是一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且这个定理揭示了可测函数列几乎处收敛与几乎处处一致收敛函数之间的关系：几乎处处收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是基本上一致收敛的通过这个定理，去掉一个任意小的点集后，在剩下的子集上使几乎处处收敛的可测函数列成为一致收敛的可测函数列在这一收敛部分上可以利用一致收敛的许多好的性质因而，在许多时候是处理极限与交换问题的有力工具我们现在在叶果洛夫定理的基础上作出推广，使其限制更宽，应用更广泛定理1 (叶果洛夫定理加强)设，是一列收敛于一个有限的函数的可测函数，则存在子列，对每个固定的，使收敛于，并且对任意，存在子集，使在上一致收敛于，且证明（1）先证子列的存在性对每个，都是可测函数，根据可测函数定义（第一节，第2条）所以存在简单函数列，使其在上收敛于（2）一致收敛性的证明对每个固定的，任选一列正整数，与此相应地作的子集，则必在上一致收敛于，事实上，对，选取使，则当时，对一切，都有（）而且由叶果洛夫定理，我们还可以做到，（任意）令，则，进而则对任意至少（总有）存在自然数，使得，满足（）式，即对，自然数，当时，又收收敛于，则对上述，存在自然数，当时，有，取自然数，则当时，由的任意性，可知函数列在上一致收敛于（3）下证对任意的（这时已给定）对每个，选取适当的使，使满足在一致收敛于则 证毕2.3.2 鲁津定理（） 设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且鲁津定理指出了连续函数与可测函数间的密切联系简言之在上有限的可测函数是基本上连续的函数在应用上通过它常常把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题从而使问题得以简化最重要的是，鲁津定理逆定理也成立，这无疑提供了定义可测函数的又一种方法（见第一节可测函数定义3）2.3.3 依测度收敛设是上的一列有限的可测函数，若有上的有限的可测函数满足下列关系：对任意，有，则称函数列依测度收敛于，记为改用说法：对任意及，存在正数，使时，对依测度收敛的几点认识：（1） 依测度收敛虽然以收敛命名，但它本身并不强调收敛！它虽然是以收敛形式定义，可它本身没有反映出数列是否收敛，它只是蕴含着收敛的成分比如度量空间中的柯西点列，也是以这种形式定义的，可也没强调柯西点列自身要收敛，只是反映点列中相邻元素之间的亲密稠密关系依测度收敛用文字表述，就是说，如果事先给定一个误差，不管这个多么小，使得的点虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着的无限增大而趋向于零（2） 我们还要注意依测度收敛与一致收敛的区别，用集合论知识来分析：在上一致收敛于是指，自然数，当时，（注意与依测度收敛定义的区别），之所以我们认为一致，就是要求从第项以后永远为空集这个条件也够苛刻的，于是退一步，能否允许不空，甚至为正测度集，但也必须满足呢？这也许就是依测度收敛定义产生的原因吧从此看出，一致收敛远远强于依测度收敛，并且我们有余下定理：定理1设，是上的一列有限的可测函数，若在上一致收敛于，则在上于证明这个结论显然成立的（3）通常情况下（指不取子列，不加条件限制），依测度收敛与收敛是没有必然的联系的，既存在测度收敛而处处不收敛的函数列，也存在收敛函数列而非测度收敛的但如果我们在加强条件下，会发现：()（黎斯） 设在上测度收敛于，则存在子列在上收敛于可见依测度收敛蕴含有收敛的成分，就是从这个收敛的成分提取出来()（勒贝格定理） 设（1）；（2）是上的一列有限的可测函数；（3）在上收敛于有限函数，则可见，在的条件下，收敛强于测度收敛至此我们已经介绍学习了一致收敛，几乎处处收敛，依测度收敛在这三种收敛中，一致收敛意义最强，强调整体的完密性；几乎处处收敛意义稍弱，是在一致收敛的基础上退一步得到的，它不要求整体满足，只要满足大部分即可；依测度收敛是较弱意义下的整体性收敛这种收敛尽管意义较弱，但它所能传递的信息在很多场合已完全够用如果把函数列的各种收敛的意义与现实生活联系起来，打个确切的比方，一致收敛是用来刻画追求整体最优，几乎处处收敛只要求绝大部分满足，依测度收敛是用来追求整体合格事实上，我们还可以对依测度收敛作一些推广：（依测度收敛加强） 设，则可测函数列在上依测度收敛于的充要条件是：对的任何子函数列中，都存在子列收敛于.证明 必要性显然依测度收敛函数的子列仍然依测度收敛故由定理即可获得证明充分性反证法 若在上不依测度收敛于，则存在，使得数列不收敛于零，故存在正数，以及子函数列，使得（）但在子函数列中不存在收敛于的子函数列事实上，若有子函数列在上收敛于，由，依据勒贝格定理，在上，这与（）式矛盾证毕这条定理反映了依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系利用这条定理，可以把有关依测度收敛的问题转化为几乎处处收敛的问题加以解决联系上节，我们得到定理345（下只证定理3）（测度收敛极限的唯一性）设，则在上几乎处处成立证明由于，故对任何自然数，则，令，即得但是，故，即在上几乎处处成立证毕定理 设，于，则在上定理（测度收敛的绝对性） 设在上，则也有于17第三章:积分论第三章 积分论我们之前做了充分的准备工作，先后介绍了可测集和可测函数，本章我们将进入实变函数的核心勒贝格积分理论体系我们先从勒贝格积分的定义说起，接着再介绍它的性质与推广，之后再类比黎曼积分，使我们对两种积分有清晰的认识，在本章的最后一节，我们将用积分的某些性质解决积分的某些命题3.1 非负可测函数积分的定义探究不同的积分理论著作中，往往以不同的方式引入积分定义，下面给出四种非负可测函数积分的定义并证明其等价性以统一积分的定义（其实，本章各节都是围绕着非负可测函数展开的）定义 （1）设设是 中测度有限的可测集, 是上的有界函数对上的作一可测分划（其中，各为互不相交的非空可测集）令，记，如果，则称在上可积，且定义在的积分为此共同值（2）设设是 中可测集, 是上的非负可测函数记，易知，则定义积分为定义设设是 中可测集，是上的非负可测函数（1）若为有界集，对上任一分割，记，令，定义积分（2）若为无界集，则定义积分为定义设为 中可测集（1）设为上的非负可测简单函数（其中，各为互不相交的非空可测集，为的特征函数）则定义积分为（2）设是上的非负可测函数，则定义积分为：为上的简单函数，且定义设设为 中可测集，是上的非负可测函数则有定义积分为（其中为上的非负递增简单函数列，且）上面四种定义分别从四个不同角度定义非负可测函数积分的现在我们将证明这四种定义是等价的 设为 中可测，是上的非负可测函数则（1）对上任意简单函数，恒有（2）在上可积，则，上的简单，使引理两款显然成立命题上述四条定义是等价的证明（）定义1与定义2是等价的记在定义1与定义2下的值分别为和，现证明（1）为有界集，为有界函数设，对上取分割，记上取分割，且，显然，令，有（2）为有界集，为无界函数因有界，故当充分大时，于是在定义下，当充分大时，又因有界，故由（1）在两个定义下相等于是对此积分，令，得（3）为无界集，为无界函数因有界，故由（2）知，积分在两个定义下相等于是令，得（）定义2与定义3是等价的（1）为有界集，结论显然成立（2）为无界集，设在定义2与定义3的积分值分别为和，即（其中），为上简单函数，且，下面只证明（）当，则，自然数，使在定义2下，因有界，故由（1）知在两种定义下相等，于是上的简单函数使令则为上简单函数，且因此，所以（）当，由（）知，再由（2），上的简单函数，使，于是，从而，所以（）定义3与定义4是等价的设在定义4的值为，即，其中为上非负递增简单函数列，且，则只须证明即可（意义同）因，从而当时，故现设，则，下面证明取，及上任意简单函数，记，则为递增可测集列，且，则 因为 ，故 ，令，得 ，由的任意性知，所以 即证明其等价性。其实积分的定义远非只以上四种，这是由于积分比较灵活的缘故3.2 积分极限定理本节主要介绍勒贝格控制收敛定理，列维定理，法都定理的性质以及推广3.2.1 勒贝格控制收敛定理形式1 设（1）是可测集上的可测函数列；（2）于，且在上可积分（称为所控制，而叫控制函数）；（3）；则称在上可积分且形式（1）同形式1条件（1）；（2）同形式1条件（2）；（3）于则称在上可积分且这两种定义形式表面上是对函数列的收敛要求程度不同，但所得到的结果是一样的（见第二章，三大收敛定理的讨论，实际上，测度收敛总可以转化为收敛）其中关键的条件都是要求控制函数的存在性控制函数的作用相当于数学分析中的数列一致收敛和确界的作用只是比一致收敛的条件弱得多因此运用控制收敛定理时，首要任务就是验证控制函数的的存在性并且当（2）条件改为（为常数），结论还成立开篇我们就已经提及：在数学分析中，积分极限交换运算的要求是比较严格的，（一致收敛于极限函数，且还要保证（）可积），现在我们根据控制收敛定理建立条件相对较弱的积分控制收敛定理，进一步拓宽积分极限与积分次序交换的范围定理1 (积分控制收敛定理)设（1）（）是区间上（）可积函数；（2），使，（）；（3）在上（）可积，并且，则证明 ，均于区间上可（）积分，常数当然也是（）可积的，显然它们都可积由条件：，满足勒贝格控制收敛定理，于是，而 ，所以 上定理虽然还受到极限函数可积性的限制，但已不再强调一致收敛应用这条定理，易知第一章第一节的例子，是可进行积分与极限运算交换的且 列维定理及其推广 3.2.2 列维（） 设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有上有，令，则证明首先，由于是单调列，所以存在，可测而且，故，从而得其次，为了得到相反的不等式，对于固定的，考虑可测函数列，在上它们都有定义而且不难明 （1）事实上，设，如果存在使，则对，有，从而，故（1）式成立（）如果对任何，有，则这是（1）式成为总之无论哪种哪种情况，（1）式都成立因此由勒贝格控制收敛定理， 故有 所以得到 证毕评注 定理,表明对于非负递增可测函数列来说，积分运算与极限运算的次序是可以交换的另外，由非负可测函数是递增的负非负简单函数列的极限函数，可见非负可测函数的积分就是简单函数的积分列的极限（见本章第一节）为了推广定理,先作以下引理：若，均是可测集上的非负可积函数，若于，则证明我们记，则，记，根据积分有限可加性，有 从上述证明，我们可以看到零测度集的妙用，任意改变零测度集上的函数的值而不影响其可积性和积分值，也是实变函数常用的性质之一这个性质，类似于数学分析里只有有限个点成立时表现出来的特性一样（见本章最后一节），有着异曲同工之妙！定理（定理放宽极限条件）设是可测集上的一列非负可测函数，且在有，于，则证明及，当时，记显然，令，则，记，则在上有，对其应用定理定理，由引理 定理（定理对偶单调性）若设是可测集上的一列非负可测函数，且在有，于，则证明由的单调性，使得，则必然存在相应的（常数）使成立，因而为非负单调递增函数列，且于（前面个点的测度为零），由定理，有 则 即证明命题由上述两条定理，我们可得到推广后的定理：定理3 (推广后的定理) 设为可测集上的一列非负可测的单调函数函数，且于，则3.2.3 法都（） 设是可测集上一列非负可测函数，则证明 设，则为上非负可测函数递增列，且由定理 （因）定理常用于判极限函数的可积性关于上下极限不等式，在第一章第三节附文曾提到，（）我们会发现积分积分极限也有相类似性质先证明余下定理： 若在上非负可积，则证明仿照定理的证明，设，则为上非负可测函数递减列，且由的可积性，有 对自然数，由极限的保号性，再把，所以 证毕而 恒成立因而由定理及其，我们有定理2设是可测集上一列非负可测函数，且在上可积，则我们甚至可以得到定理3 设是可测集 上一列非负可测函数，且在上可积，则 3.3 积分极限定理的同一性控制收敛定理，定理，定理常称为三大积分极限定理，这三个定理中只要先证明了其中一个成立，便可以推出其余两个，在这种意义下，它们是等价的，本节先证明其等价性，再挖掘其内在联系3.3.1 积分极限定理的等价性（1）控制收敛定理定理见上节定理的证明（2）定理定理见上节定理的证明（3）定理控制收敛定理证明这里只证明在控制收敛定理形式（2）的条件下的情况由于去掉一个零测度集不影响函数的可积性与积分值（见上节引理），所以不妨假定，在上处处成立，并且在上处处收敛于由条件，所以与都是上的非负可测函数，因此由定理，由于在可积（积分值为有限实数），上两不等式两边各减去，得到由于上极限恒不小于下极限，因此，所以因此极限存在且等于证毕（4）定理定理证明由于满足定理，则，并且，都是单增列，故其极限存在（可能是），有（1）而对每个，有，再两边取极限，得到 （2）由（1）（2）即证明命题（5）定理 证明 由控制收敛条件知，于是由的可积性知在上可积。令，于是是上递减可测函数列，于是 又由于是的控制函数,故对任意自然数，有从而有所以函数列满足定理推论2（对偶单调性性）条件，故有 又由于与 在上皆可积，并且，故对每一个自然数，有从而有再令则为上的递增可测函数列，于是由于对每个自然数，有故在上可积。令，则是上非负递增可测函数列，由定理，得即，由积分的线性性质有，从而有另一方面，由故，从而有于是由此得（6）控制收敛定理 证明令，则为上的非负递增可测函数列，易知其极限存在，设，由的非负可测性知也是非负可测的。任取自然数，考虑函数列，容易看出，函数列受常数控制，即对任何自然数，有，又，于是由控制收敛定理，得因为，故有 从而故令上式中，得（）另一方面，由于（）于是由（），（）得 3.3.2 积分极限定理的同一性从上面已证明，三条积分极限定理虽然各有所用，然而实际上它们是行等价的可它们之间是否存在更深一层的联系呢？或者说能否找到一个关键的条件把子它们统一起来？接着我们对这个问题进行深入的探讨(本节仅对在非负可测函数的前提下进行展开讨论)众所周知, 积分极限交换定理是对积分极限交换定理的重大改进,我们就从两种积分极限交换定理的条件入手回顾积分极限交换条件：若（1）每一项都连续，（2）且在上一致收敛于，则而积分极限交换定理一分为三，其中最明显的莫过于控制收敛定理：设（1）是可测集上的可测函数列；（2）于，且在上可积分（称为所控制，而叫控制函数）；（3）；则称在上可积分且对比以上定理条件，我们不难发现：可测当然要比宽得多（第二章已介绍），的第二款用控制函数与测度收敛结合起来比的第二款大大减弱（控制函数与测度收敛都比一致收敛弱，且与一致收敛和确界起类似作用（见第二章）可见控制函数的存在成为两定理的最大亮点，我们就以此为切入点为简单起见，令（常数）由，根据定理，存在子列收敛于于，由于于，得于由可积（显然），知在上可积同样每个在上也是可积分的把带入定理由上节定理及其推论的证明中，我们会发现这个的存在定理设是可测集上的一列非负可测函数，且在有，于，存在，使得对任何，使得，则证明见上节定理2的证明定理设是可测集上的一列非负可测函数，且在有，于，存在，使得对任何，使得，则证明显然是上非负可测且单调递减收敛于，则存在，使得，由定理1，即证明命题定理设是可测集上的一列非负可测函数，