ch2-7,8函数的连续性.pptVIP

2.7 函数的连续性 一. 连续函数的概念 二. 函数的间断点 三.初等函数的连续性 2.8 闭区间上连续函数的性质 一.最大值最小值定理 二.有界性 三.零点存在定理 四.介值定理 2.7 函数的连续性 一.连续函数的概念 二. 函数的间断点 三. 初等函数的连续性 连续反映在函数的图形上是一条连续不断曲线. 定义2.7.1:函数的改变量（增量） 设函数 f(x) 在 内有定义, 对x , (1)自变量 x 在 处的改变量(增量)： (2)函数f(x)在 处相应于x的改变量(增量)： 一、连续的定义(函数在一点连续) 定义2.7.2 设函数(x)在 x0 的某邻域内有定义, 若 则称函数(x)在 x0 处连续. 称 x0为连续点. 从而有函数在一点连续的等价定义: 注 定理2.7.1 定义2.10（左、右连续） 例：分段函数某点连续性的讨论 解 1判断 是否连续。 证 练习： 2 解 ： 例 已知函数 在点x = 0处连续，求b的值. 解 由于 且 又因为f(x)在点 x = 0处连续，故 即 例： 解 定义3： （ 函数在区间上的连续性） o y x o y x o y x o y x 二、函数的间断点 回顾连续定义 间断点类型：（标准：左右极限是否存在 ） 间断点 左右极限 是否存在 第一类间断点 第二类间断点 都存在 至少有一 个不存在 是否 相等 相等 可去间断 不相等 跳跃间断 可能出现间断的地方： 1)使函数无意义的点； 2)分段函数的分界点 例：下列函数是否有间断点，属于第几类间断点 解 ： 因为f(0)无意义， 所以x=0是间断点 所以x=0是第一类间 断中的可去间断点 解 ： 因为f(0)无意义， 所以x=0是间断点 所以x=0是第一类间 断中的跳跃间断点 解 ： 因为f(1)f(2)无意义，所以x=1, x=2是间断点 所以x=1，x=2是第二类间断点 解 例 可去间断点 可去间断不是本质性的间断,可重新定义,使其连续. 跳跃间断点 例 解 第二类间断点- 例 解 无穷间断点 解 第二类间断点- 振荡间断点 可去间断点 第一类间断点 o y x 跳跃间断点 无穷间断点 振荡型（非无穷型） 第二类间断点 o y x o y x o y x 三.连续函数的运算与初等函数的连续性 1. 连续函数的运算 在 处也连续 由连续函数的定义和极限的四则运算法则, 有 定理2.7.2 若函数 与 在同一个区间I上有定义且 均在点 处连续，则函数 定理2.7.4: 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 1).基本初等函数在其定义域内处处连续. 2). 初等函数在其定义区间（含在定义域内的最大区间) 内处处连续，其中区间端点处的连续性是指相应的单侧 连续性. 注: 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内 不一定连续; 这些孤立点的邻域内没有定义,因此不连续. 2 . 初等函数的连续性 归纳求极限的常见方法: 2. 利用重要极限 过程, 常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数 . 来化简. 型的求极限 3. 利用函数的连续性 1. 利用极限的四则运算法则, 以及对于1. 利用极限的四则运算法则, 以及对于 4. 利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换. 1.函数在某点连续的定义； 3.函数间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数的定义； 第一类间断点:可去间断点,跳跃间断点. 第二类间断点:无穷间断点,振荡间断点. 间断点 小结 作业： P46：1 (4) 2 (1)(2)(4) 3 2.8 闭区间上连续函数的性质 一.最大值最小值定理 二.有界性定理 三.零点存在定理 四.介值定理 最值定理 有界定理: 若条件不满足，则结论不一定成立. 非闭区间上的连续函数,定理的结论不一定成立; 闭区间上的不连续函数, 定理的结论不一定成立; 零点定理 例 证明 练习：证 在(0,2)内至少存在一个点 使得 。 证明：令 因为F(x)在0,2上连续 由零值定理可得，至少存在一个 使得 介值定理 b a m M C 练习 1 证 由零点定理, 作业： P48：1、3、4 第二章 复习 一、数列极限 2.数列极限存在定理： 1.极限四则运算法则 单调有界原理 夹逼定理 二、函数极限 1.函数极限的六种记法 2.函数极限的夹逼定理 3.函数极限四则运算法则 (1). 用直接代入法( 满足四则运算法则条件 ) (2). 对型 , 约去零因子 (根式有理化法等) (3).对 型,分子分母(均为多项式)同除以最高次幂 三、无穷小量 1、无穷小量概念 2、无穷小量的有关性质 （无穷小量与有界变量(常数)之积仍为无穷小量） 3、无穷小量阶的比较 (1).高阶,低阶,同阶,等价的无穷小量的定义 (2).等价无穷小代换定理(常见的等价无穷小) 应用原则： (1)只能对分子或分母的乘积因子作等价无穷小代换, (2)只能在变量趋于0时可用常用的等价无穷小代换. 4、幂指函数( ) 四、函数的连续性 1、函数在一点连续定义: 2、基本初等函数与初等函数的连续性 (1).三要素 (2). 分段函数分界点处 3、函数的间断点(找出间断点并判断类型) 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点左右极限至少有一个不存在 五、闭区间上的连续函数性质 1、有界定理、最值定理、介值定理、零值定理 2、零值定理的应用 利用零值定理证明方程f(x)=0实根的存在性： (1)构造函数f(x)(2)构造闭区间a,b (3)验证f(x)在闭区间a,b上满足零值定理条件 第二章 练 习 1. 求下列极限 答案 答案 无穷小量乘以有界函数仍是无穷小量 答案 答案 3、研究 在 x=0 的连续性。 4、 设函数