D112正项级数审敛法.ppt

二、比值审敛法 三、根值审敛法 2 一、比较审敛法 正项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 四、积分审敛法 定义 若 定理 1. 正项级数收敛部分和序列 有界 . 若 收敛 , 部分和数列 有界, 故从而又已知 故有界. 则称为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在对一切有 (1) 若强级数则弱级数 (2) 若弱级数则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 ,也收敛 ; 发散 ,也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若强级数则有 因此对一切有 由定理 1 可知, 则有(2) 若弱级数 因此 这说明强级数也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 讨论 p 级数(常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若因为对一切 而调和级数由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当故 考虑强级数的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在对一切 机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论级数的敛散性 解: 而发散，根据比较审敛法可知, 级数(1)发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而收敛， 根据比较审敛法可知, 级数(2)收敛 . 例3. 若级数 均收敛 , 且 证明级数收敛 . 证: 则由题设 收敛收敛 收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 0级数收敛，p0 级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数收敛 . 定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法) 设 为正项级数, 且则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此所以级数发散. 时 (2) 当 说明: 当时,级数可能收敛也可能发散 . 例如, p 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 讨论级数 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级数收敛 ; 级数发散 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7: 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 据比值判别法, 级数发散 . 据比较判别法，级数收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 时收敛; 时发散. 时发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 证明级数收敛于S , 似代替和 S 时所产生的误差 . 解: 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为 并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9: 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 据根值判别法, 级数发散 . 据比较判别法，级数收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 定理6. （积分判别法） 设 上是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 非负可积且递减的连续函数，记 则级数 与广义积分的收敛性相同. 推论. 则级数 与广义积分 的收敛性相同. 例10. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则p 级数当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 . 例11. 讨论 级数 的敛散性. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广义积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则级数 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 . 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.设正项级数收敛, 能否推出收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 ,发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 练习 2. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P231