Chap213格林公式、曲线积分与路径的无关性.ppt

格林公 式、曲 线积分 与路径 的无关 性 教学目标 |教学内容： z格林公式 z第二型曲线积分与路线的无关性 |教学重点： z熟练运用格林公式 格林公式 |区域D边界曲线L的方向 |定理21.11 格林公式 |格林公式的简单应用 |应用格林公式的关键点 曲线积分与路线的无关性 |区域连通性分类 |曲线积分与路径无关的定义 |定理21.12 |定理的说明 |定理的应用 区域D边界曲线L的方向 |区域D边界曲线L的方向 z沿边界行走时，若区域D总在左边，则称行 走方向为L的正方向，记为L z与之相反的方向称为L的负方向，记为-L D D 由 与组成 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 定 理 21. 11 格 林 公 式 |定理21.11 z设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函 数 及 在D上具有一阶连续 偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线。 公式(1)称为格林(Green)公式。 分析 分析只须证明 及 (1) 若区域D既是x型又是y型 y x O D (2) 若区域D由如图的按段光滑的闭闭曲线线L围围成。 D (3) 若区域不止由一条闭曲线线所围围成。 y x O a b D c d A B C E (1) 若区域D既是x型又是y型 证明： 证明(1) 同理可证 y x O d D c C E B A 两式相加得 (1) (2) 证明(1) D (2) 若区域D由如图的按段 光滑的闭曲线L围成。 将D分成三个既是型又是 型的区域 证明(2) A B C D 证明(2) G D F C E A B (3) 由(2)知 若区域不止由一条闭曲 线所围成。 添加直线段AB,CE， 则D的边界曲线由AB, AFC,CE, EC及CGA构成。 证明(3) 简单应用 |格林公式的简单应用 z简化曲线积分（例1） z简化二重积分（例2，例3） z计算平面面积（例4） x y O L 1）简化曲线积分 A B 解 引入辅助曲线L, 例1计算 其中曲 线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分。 由于 例1 2）简化二重积分 x y O 例2 计算,其中D是以 为顶点的三角形闭区域。 解 则 例2 例3 计算,其中L为一条分段光滑且 不经过原点的连续闭曲线， L的方向为逆时针方向。 . O x y L O x 例3 例3 解记L所围成的闭区域为D， 令 则当 时, . 有 x y O L 由格林公式知 (1) 当 时, 例3 y x O 当时, (2) 记记由和所围围成, 由格林公式,得 逆时针方向),所以 例3 x y O 例3 3）计算平面面积 格林公式: 取 得 闭区域 的面积 取 得 取 得 计算平面面积 平面面积计算公式 解 例4计算抛物线与x轴所 围成的面积。 O 为直线 . 曲线由函数 表示, 例4 应用格林公式的关键点 |应用格林公式的几个关键点 z1.先作图并检查是否封闭曲线； z2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的 条件; z3.根据格林公式化为二重积分并求出其值; z 4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线 或曲线积分，再求题目要求的值。 区域连通性分类 |区域连通性分类 z设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D，则称D为平面单连 通区域，否则称为复连通区域. 复连通区域单连通区域 D D 曲线积分与路径无关定义 G y x o B A 如果在区域G内有 与路径有关. 则称曲线积分 在G内与路径无关， 否则 闭曲线线的曲线积线积 分为为零） 内任意（或沿 定理12 在内具有一阶连续阶连续 偏导导数, 闭曲线线的曲线积线积 分为为零） 在内恒成立. 设设区域是一个单连单连 通域, 在内与路径无关 证 充分性设 对 内任一闭曲线C, 由 的单连通性可知： C所围成 函数 则曲线积分 内任意（或沿 的充要条件是 定理21.12 证明 的闭区域D全部在G内， 由格林公式得 必要性设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零， 用反证法证。倘若上述结论不成立， 则在G内至少 存在一点 使 不妨设 可以在G内取一个以在G内连续，由于 证明 为圆心、半径足够小的圆形闭区域K， 由格林公式及二重积分的性质得 其中是K的正向边界曲线，是K的面积。 因为于是 这与已知矛盾。所以 使得在K上恒有 设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零， 证毕 定理21.12(全微分求积) 定理12设区域是一个单连通域, 在内为某一函数 的全微分的充要条件是 在内恒成立. 在内具有一阶连续偏导数, 函数 则 等式 定理的说明 两条件缺一不可。 定理的说明： (1) 区域是一个单连通域. 偏导导数. (2) 函数在内具有一阶连续 L所围成的区域含有原点时， 如例3中的积分 虽然除去原点外， 恒有但沿闭曲线L的积分 定理的说明 解 例5 由点到点的曲线弧 其中L为 原积分与路径无关。 计算 故原式 例5 解 例6 其中具有连续的导数, 计算 因积积分与路径无关 与路径无关,设曲线积分 且 例6 即 由 知 故 例6 小 结 1. 区域D边界曲线L的方向； 连通区域的概念; 2. 二重积分与曲线积分的关系 3. 格林公式的应用（注意几个关键点） 4. 曲线积分与路径无关条件 格林公式; 小 结 4. 曲线积分与路径无关条件 与路径无关的四个等价命题 条 件 等 价