维形式的柯西不等式.ppt

新课导入新课导入 探究 类比不等式a2+b22ab的推导过程 ，通过乘法及配方，研究关于它的不等 关系. 分析 把该式首先展开，再用配方法，问 题就可以解决。 解： 展开乘积得 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 而(ad-bc)20, 因此(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2 提示 上式(1)是本节课所要研究 的柯西不等式. 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 1.认识二维柯西不等式的代数和向量形 式.理解二维柯西不等式的几何意义. 3.掌握柯西不等式的应用. 2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。 过程与方法过程与方法 1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式. 2.借助平面向量，从数量积的角度推出 二维柯西不等式的向量形式.从而给出 几何意义。 情感态度与价值观情感态度与价值观 锻炼学生分析问题，解决问 题的能力，并培养其审美观。 教学重难点教学重难点 重点重点 难点难点 定理(1)和定理(2). 数形结合认识(1)与(2)两式的 等价关系. 定理1（二维形式的柯西不等式） 若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 分析 你能否证明 证 明 讨论 对一个代数结果进行最简单的诠释 ，往往要借助直观的几何背景。讨论柯 西不等式的几何意义。 0 x y 设在平面直角坐标系xoy中有向量 =(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为，0 （如图） 根据向量数量积的定义，有 .=cos 用平面向量的坐标表示不等式(2)得： 所以 .=cos 因为cos1, 所以 . 定理2（柯西不等式的向量形式） 设，是两个向量，则 .,当且仅当是零向量或存在实 数k,使=k时，等号成立. 探究 试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。 观察 如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据oP1P2 的边 长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着 何种大小关系吗？ 0 x y 0 x y . . 定理3(二维形式的三角不等式) 能用柯西不等 式证明吗？ 证 明 x12+y12+2x1x2+y1y2+x22+y22 x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22 =(x1-x2)2+(y1-y2)2 分析 不等式(3)对于任何实数都成立，于是可 以得到： 探究 请结合平面直角坐标系，解释 不等式(4)的几何意义。 例1 分析 虽然可以作乘法展开上式的两边 ，然后在比较它们的大小。但如果 注意到不等式的形式与柯西不等式 的一致性，既可以避免繁杂了。 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3) 证 明 根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2 反思 在证明不等式时，联系经典不等式，既 可以启发证明思路，又可以简化运算. 例2 分析 利用不等式解决极值问题，通常设法在 不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不 等式求其最大值。 例3 分析 问题中a+b=1这个条件，由于常 数1的特殊性，用a+b去乘任何数或 式子，都不会改变它们的值. 证 明 课堂小结课堂小结 1.二维形式的柯西不等式的代数形式. 若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2) (ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时，等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的向量形式.