[理学]数学建模实习.doc

建模实习 （一）一 问题的提出：随着经济的发展，人口和交通工具的增多，世界各国都面临交通问题。然而，隧道或者桥梁经常成为交通的瓶颈，引起交通堵塞。因此如何使隧道或者桥梁的交通了流量最大，从而减少堵塞是一个重要的课题。二 问题的分析： 车流速度：隧道中车流速度与交通繁忙程度有关，交通越繁忙，车流速度越小。 车流密度：单位长度上汽车的数量，也是交通繁忙程度的体现。 交通流流量：单位时间内通过某处的车辆数，也等于车流速度与车流密度的乘积。三 模型假定： 我们假定考察的隧道是单向行驶的单车道，隧道很长，车辆行驶时不准许超车。 假设所有车辆的质量和长度都相同。 假设当流量最大时交通流处于平衡状态。四 模型的建立与求解：1, 交通流动力学： 设有N辆车在隧道行驶，将这些车辆标记为j=1，2，j=1于行驶在最前方的那辆车，设第j辆车的前端在时刻t相对于隧道的起点的位移是x(t)，那么该车的速度与加速度分别为和。该车与前一辆车的相对距离和相对速度分别为和。设隧道交通比较繁忙。所以均不大，为了避免碰撞，当司机发现自己的车与前方的车的距离太小时就要制动。通常车速越快制动越厉害；和前一辆车距离越短，制动越厉害。即越大制动越厉害；越小制动越厉害。从而可以假设： 制动力 A为常数 （1）设汽车质量为M，汽车司机的反应时间为，则由牛顿运动定理有： （2） （3） 其中 对于（3）式关于t进行一次积分： （4）为与t无关的常数。可知（4）式对于 均成立，因此得到个常微分方程构成的方程组。 2，隧道中稳定平衡交通流的流速： 容易观察到，隧道中车流速度与交通繁忙程度有关，交通越繁忙，车流速度越慢。交通繁忙程度可由车流密度来描述，因此车流速度可以看作关于车流密度的一个单调下的函数。我们假定交通流处于平衡状态时来求解问题。 假设车流处于稳定平衡状态，即车流密度与车流速度均不依赖于t和x。我们设车流速度u是车流密度的函数，即： 且成立 。 若隧道中交通非常稀疏，那么汽车能以规定的限速（）行驶，即存在临界密度，使： （5）其中 可理解为一辆车进入无车行驶的隧道中时可以用最大限定速度行驶。若车流密度达到一定大的程度时，车流将无法向前流动，将此时的车流密度记为从而有： （6）先设法决定时的车流速度。由于是稳定平衡车流，个车之间的车距均相同，记为，又设所有车辆均长为，那么车流密度： （）利用车流动力学方程组（），注意到，对一切成立，且与无关，可记为即有：（）由公式（）（）（）有： 两式相减可得： ， （） 用 代入（），联立（）有： 得： 最终有： （）这就是隧道中稳定平衡车流的速度公式。3.使交通流流量达到最大的车流密度。 隧道中稳定平衡流的交通流量： （11）其中： 。分析上式，求最大值：当 时， 当 时， 对上式求导得：， 令 ， 得： ，此时函数值为： 比较与，可得： 当 时， （12） 当 时， （13） 接下来我们仔细分析上述两种极值会在什么情况下发生：令表示最大车流密度时的车距，令表示对应于临界车流密度时的车距， 那么： （14）通常允许车辆开动的车距比车身短，因此有： （15）其中。另一方面，很多国家规定：每增加10mile/h的车速，应至少增加一个车身长的车距以确保安全，即，利用（14）式和（15）式，判别采用哪一个作为最大值点的条件 （19）通常是比较小的，例如，使（19）式成立的条件就是。实际上可能还要小，而大多数国家的最高限速都要高于24mile/h。所以通常都是成立的。因而最佳车流密度应该是： 由（13）式可知此时交通流流量： 。 例如：假设所有车长L=5m，取 ，则有： ， 不妨取分别考虑当=10，30，40，70（单位为km/h）四种情况下，当车流密度为多大时交通流流量最大。（1） 当=10，=0.1，此时： ，此时最佳密度为0.1，最佳间距为5m. (2) 当=30 , =0.05, 此时： ，最佳密度为：0.0589，最佳间距为：11.9779m（3）当=40，=0.04， 此时： ， 1.6984 最佳密度为： =0.0589，最佳间距为：11.9779m（4）当=70， =0.025 此时： ， 2.2196最佳密度为：0.0589，最佳间距为：11.9779m 下面用MATLAB作出四种情况下，因变量交通流量随变量车流密度变化的函数图像：x=linspace(0+eps,0.16,20);y1=10.*x.*(x0.1 & x=0.16);y2=30*x.*(x0.05 & x=0.16);y3=40*x.*(x0.04 & x=0.16); y4=70*x.*(x0.025 & x=0.16);subplot(2,2,1);plot(x,y1),grid onsubplot(2,2,2);plot(x,y2),grid onsubplot(2,2,3);plot(x,y3),grid onsubplot(2,2,4);plot(x,y4),grid on下面用ma