[工学]信号与系统第五章.doc

山东理工大学备课纸第五章 连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = +j,以复指数函数为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。把拉氏变换用于系统分析，其功绩首推英国工程师heaviside。1899年其在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而极力反对，Heaviside追随者并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到依据，取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域法带来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。（Laplace.pierre-simon，1749生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827年死于巴黎。法国数学家天文学家。1785当于法国科学院院士。研究天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。）5.1 拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换1、正变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难，其原因是当时衰减太慢的缘故，为此，可用一衰减因子 (s为实常数）乘信号f(t) ，适当选取s的值，使乘积信号当t时满足绝对可积 ，从而使的傅里叶变换存在。例如不满足绝对可积条件，若乘则所以只要可使满足绝对可积，其傅里叶变换为令s = s + jw,具有频率的量纲，称为复频率，则 称为f(t) 的双边拉普拉斯变换（或象函数），实质是的傅里叶变换L 2、反变换令称为F(S) 的双边拉普拉斯反变换（或象原函数），也是一一对应二、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t-1若f(t)为反因果信号ROC：-1 ROC2：2-2 b：若f1(t) f2(t)均为左半时间信号 ROC1：1-1 ROC2：2-2 c：若f1(t) 为左 f2(t) 为右 ROC1：1-2 c：若f1(t) 为右f2(t) 为左 ROC1：1-1 ROC2：20下面分析0的情况1、若，00即F(S)的极点ReP0则说明只有借助于才能实现，f(t)是发散的，无傅氏变换例5.1-4 已知，无F(j)2、若，00即F(S)的极点ReP1 f2(t) F2(s) Res2 则a1f1(t)+ a2f2(t) a1F1(s)+ a2 F2(s) Resmax(1,2) 式中，1和2为复常数。例5.2-1 已知 f1(t) f2(t)均为因果信号，求f1(t)-f2(t)的拉氏变换。 解 ：运算中零点和极点相消，ROC可能变化例5.2-2 求的拉氏变换。 解 ：二、尺度变换若f(t) F(s),Res0,则Res a0式中，a为实常数，a0。例5.2-3 已知f(t)的变换为求f(2t)(2t)的拉氏变换。 解 ：三、时移性质 若 f(t)F(s) Res0 则 f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) Res0 式中，t0为实常数，t00。 需要注意的是： f(t-t0)(t-t0)是 f(t)(t)的右移。若f(t)为因果信号，则f(t-t0)= f(t-t0)(t-t0)，其单边拉氏变换相同；若f(t)为非因果信号，则f(t-t0)f(t-t0)(t-t0)，其单边拉氏变换不相等，f(t-t0)的单边拉氏变换应等于f(t-t0)(t)单边拉氏变换；若t01 则 es0tf(t)F(s-s0) Res1+0式中，s0为复常数，0=Res0。例5.2-5 求的拉氏变换及收敛域。 解 ：例5.2-6 已知求的拉氏变换。 解 ： 平移 尺度变换 频移 五、时域微分特性若f(t)F(s),Res0，则有: f(1)(t)sF(s)-f(0-) Res0证明：f（1）(t)分步积分f（1）(t) 同理：f(2)(t)s2F(s)-sf(0-)-f(1)(0-) Res0f(n)(t)snF(s)- s(n-1)f(0-)- s(n-2)f(1)(0-)-f(n-1)(0-) Res0若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0(n=1,2,.)，此时，时域微分性质表示为 f(n)(t)snF(s) n=1,2,.; Res0例5.2-7 求的微分的拉氏变换。 解 ：方法1： f(t)为因果信号 方法2：先求微分微分性质在线性连续系统分析的重要基础。例5.2-8 求的响应，已知初始条件y(0-)=1，y/(0-)=0 。 解：两边求拉氏变换又 f(0-)=0整理得0输入响应 0状态响应可分别求0输入响应和0状态响应例5.2-9 求初始电流不为0电感上电压电流的拉式变换解：两边求拉氏变六、时域积分性质若f(t)(t)F(s),Res0，则有:f(-n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是 Res0和 Res0的公共部分。利用时域积分性质可以使一些复杂信号的单边拉普拉斯信号的求解变得简单易行。下面简述应用方法和应注意的问题。时域微分和积分性质主要应用于线性连续系统复频域分析中的微积分运算和系统微分方程的求解，是线性连续系统复频域分析的依据之一。七、卷积定理时域卷积定理若f1(t),f2(t)为因果信号，并且： f1(t)F1(s) Res1 f2(t)F2(s) Res2则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s) Res0式中， Res0至少是F1(s)和F2(s)收敛域的公共部分。复频域卷积分性质 若f1(t),f2(t)为因果信号，并且： f1(t)F1(s) Res1 f2(t)F2(s) Res2则 Res1+2式中的积分称为F1(s)与F2(s)的复频域卷积，积分路径在F1(s)和F2(s)收敛域的公共部分。定理的证明与时域卷积性质的证明类似，这里从略。F1(s)与F2(s)的卷积是复变函数的卷积，计算比较复杂，因而复频域卷积性质很少应用。八、S域微分和积分S域微分性质若f(t)F(s),Res0，则: S域积分性质若f(t)F(s),Res0，则有 九、初值和终值定理 初值定理若：信号f(t)不包含冲激函数(t)及其各阶导数，并且 f(t)F(s) Res0 则信号f(t)的初值为f(0+)=应用时域微分性和与上述类似的方法，还可以得到,等其他初值的复频域计算方法。 如利用上述方法和 的单边拉普拉斯变换可以得到 终值定理 若f(t)在t时极限f()存在，并且 f(t)F(s) Res0 ；-00 则f(t)的终值为 f()= 5.3 单边拉普拉斯逆变换 概括的说，线性连续系统的复频域分析法就是先求系统响应的单边拉普拉斯变换，然后求其逆变换得到时域响应。因此，求单边拉普拉斯逆变换是复频与分析法的基本问题。求F(s)的逆变换公式求解比较困难。常用有四种方法：一、查表法二、利用性质例5.3-1:求下列信号的原函数 1） 2） 解：1） 2）例5.3-2:求下列信号的原函数 1） 2） 3） 解：1） 2）3）三、部分分式展开法若象函数F(s)是s的有理分式，可写为 若mn （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。 例：由于，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为 式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。 （1）F(s)为单极点（单根） 例5.3-3:求的原函数 解：例5.3-4:求的原函数 解：方法1）部分分式求得方法2）利用变换对（2）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r重根， 根据例5.3-5:求的原函数 解： 四、 反演积分法（留数定理） 用部分分式展开法求F(s)的单边拉普拉斯逆变换只适用于F(s)是有理分式的情况。若F(s)不是有理分式，就只能用单边拉普拉斯逆变换的定义式求逆变换，这种方法称反演积分法。由于f(t)的单边拉普拉斯变换等于f(t)(t)的双边拉普拉斯变换，所以下面先讨论双边拉普拉斯逆变换的反演积分法，然后推广至单边拉普拉斯逆变换的求解。 双边拉普拉斯逆变换的定义为式中,F(s)是f(t)的双边拉普拉斯变换，其收敛域为12。上式的积分路径为F(s)收敛域中平行于j轴的直线。例如，可选图中的直线AB（无限长直线=a）为积分路径。通常用复变函数理论中的留数定理计算式的积分比较方便。留数定理的内容为：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲线的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即通常遇到G(s)的奇点大多为极点。若给积分路径AB补充一个半圆C，如图所示，则构成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部是极点，根据留数定理，则有根据复变函数理论中得约当(Jordan)引理可知留数的求法1）单极点2）r重极点例5.3-6:求的原函数 解： 5.4 复频域系统分析一、微分方程的变换解 例5.4-1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y/(t) + 6y(t) = 2f/(t)+ 6 f (t)已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5coste(t)，求系统的全响应y(t)解： 方程取拉氏变换，并整理得 讨论：若激励含有延迟f(t-t0)，先求f(t)的响应，再求f(t-t0)作用的响应二、电网络系统的S域分析1、思路：电路元件用S域表达，激励也用S域表达，电路定律相同，求得结果再反变换2、元件的S域形式电阻：电感：电容：例5.4-2 如图所示电路，已知uS(t) = e(t) V，iS(t) =(t)，起始状态uC(0-) =1V，iL(0-) = 2A，求电压u(t)。 解 画出电路的s域模型Us(s)=1/s， Is(s)=1u(t) = ete(t) 3tete(t) V 5.5系统函数一、系统函数定义：二、求系统函数的方法：1、2、微分方程利用定义求解例5.5-1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 5y/(t) + 6y(t) = 2f/(t)+ 6 f (t)求系统函数解： 方程两边取0初始条件拉氏变换得3、由转移算子求如上例4、电网络，用S域模型直接求解例5.5-2右图电路，求1)i(t)对e(t)的系统函数2）uR(t) 对e(t)的系统函数解：1)2) 5、信号流图简化5.6系统的图示与模拟线性时不变连续系统的输入输出关系可以用微分方程描述，这种描述便于对系统进行数学分析和计算。系统还可以用方框图、结构图、信号流图来表示，这种表示避开了系统的内部结构，而集中着眼于系统的输入输出关系，使对系统输入输出关系的考虑更加直观明了。另一方面，如果已知系统的微分方程或系统函数，要求用一些基本单元来构成系统，称为系统的模拟。系统的表示是系统分析的基础，而系统的模拟是系统综合的基础。一、连续系统的方框图与结构图表示一个连续系统可以用一个矩形方框图入简单地表示，如图所示。方框图左边的有向线段表示系统的输入f(t)，右边的有向线段表示系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。此外，几个系统的组合连接又可构成一个复杂系统，称为复合系统。组成复合系统的每一个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。此外，连续系统也可以用一些输入输出关系简单的基本单元（子系统）连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器（放大器）、积分器等。连续系统的串联 时域关系复频域关系连续系统的并联 二、连续系统的信号流图表示1、 线性连续系统的信号流图是由点和有向线段组成的线图，用来表示系统的输入输出关系，是系统框图表示的一种简化形式。在信号流图中，用点表示信号，用有向线段表示信号的传输方向和传输关系。信号流图中信号的表示及其传输的具体规则如图所示。图中，写在有向线段旁边的函数Hi(s)(i=1,2,6)称为传输函数。 2、常用术语： （1）节点:信号流图中表示信号的点称为节点。 （2）支路：连接两个节点的有向线段称为支路。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。信号流向节点的支路称入支路，信号流出节点的支路称出支路， （3）源点与汇点：仅有出支路的节点称为源点。仅有入支路的节点称为汇点。（4）通路：从节点出发沿支路传输方向，连续经过支路和节点到达另一节点之间的路径称通路。 （5）开路：一条通路与经过它的任一节点只相遇一次，该通路称开路。 （6）环（回路）：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，则该通路称为环路或回路。仅包含一条支路的环称自环。 （7）前向路径：由源节点到汇节点不包含任何环路的信号流通路径。3、连续系统的信号流图表示 线性连续系统的方框图表示与信号流图表示有一定的对应关系，根据这种关系可以由方框图表示得到信号流图表示。具体的对应关系如图所示。 三、 用基本运算器表示系统 表示线性连续系统的基本运算器主要由数乘器