D111对弧长曲线积分.ppt

第十一章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分 曲线弧曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 （, 为常数) ( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度) 目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路:计算定积分 转 化 1) 且上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 目录 上页 下页 返回 结束 2)如果曲线 L 的方程为则有 3)如果方程为极坐标形式: 则 4) 设空间曲线弧的参数方程为 则 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算曲线积分 其中 为螺旋 的一段弧. 解: 线 目录 上页 下页 返回 结束 11.1.1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系： B 目录 上页 下页 返回 结束 11.1.2、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则 D 解：直线方程为 目录 上页 下页 返回 结束 11.1.15、有一铁丝弯成半圆形 x=acost, y=asint, 0t， 其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，则铁丝的质量为 D 目录 上页 下页 返回 结束 11.2.1、设L为xoy面上有质量的曲线，在曲线L上 的点(x,y)处的质量线密度为(x,y)。 则这条曲线L的质量的计算表达式为_. 目录 上页 下页 返回 结束 11.2.4、设是母线平行于oz轴的柱面的部分，它的底是位于 xoy平面上的光滑曲线L，它的高z是x, y的非负函数z=f(x,y), 用曲线积 分表示柱面的面积A=_. 目录 上页 下页 返回 结束 11.2.7、 解： 根据对称性 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.2、 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.9、计算 其中L是直线 上从点(0，-2)到点(4，0)之间的一段。 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.10、计算 其中r是螺线：x=tcost, y=tsint, z=t. (0tt0) 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.13、计算曲线积分 ，其中L为连接点A(3,0)及B(0,2)的直线段。 即 故 解：AB直线方程为： 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.18、计算 其中L为圆周x2+y2=ax. (a0) 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.19、计算 ，其中L是圆螺旋线： 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.38、 段。 目录 上页 下页 返回 结束 11.3.39、计算曲线积分 ，其中C是从点(1，0，1)到点(0，3，6)的线段。 ，0t1, 解：因为C： 故 目录