C语言程序设计循环结构之科学计算.ppt

第八讲 循环结构的经典算法之二 程序设计举例 (本节示例需重点掌握) 教学重点： 1.用普通迭代法求一元非线性方程的近似实根r 2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根r 3.用牛顿切线法（又叫Newton迭代法）求一元非线性方程 在某区间上的近似实根r 4.用矩形法求一元函数在某区间上的积分近似值S 5.用梯形法求一元函数在某区间上的积分近似值S 6.加密、解密算法 所谓非线性方程，就是因变量与自变量 之间的关系不是线性的关系，这类方程 很多，例如平方关系、对数关系、指数 关系、三角函数关系等等。 5.9 循环应用举例 1.用普通迭代法求方程的近似实根r 5.9 循环应用举例 1.用普通迭代法求方程的近似实根r 普通迭代法的基本思想： 求一元非线性方程f(x)=0 的实根。 (1)、将方程f(x)=0化为它的等价方程：x=g(x) , g (x) 称为迭代函数。 (2)、设定一个x的初值x0； (3)、用x=g(x)求出x的下一个值x1； (4)、再将x1代入上述公式，求出x的下一个值x2； (5)、如此继续下去，直到前后两次求出的x值满足要求； 迭代法也称辗转法， 是一种不断用变量的 旧值递推新值的过程 。 5.9 循环应用举例 1.用普通迭代法求方程的近似实根r 例1：编写程序，用普通迭代法求方程f(x)=x+sin(1.2x)-2.15=0 在区间0，5上的近似实根r，迭代初值自选，精确到0.0001 。提示：必须把方程f(x)=0化成其等价方程x=g(x) #include #include main() double x,x0; x0=2.5; /*迭代初值自选*/ do x=x0; x0=2.15-sin(1.2*x); /*转化后的等价方程x=g(x) */ while(fabs(x-x0)=1e-4); printf(“%.4fn“,x0); 5.9 循环应用举例 2.用二分法求一元非线性方程在某区间上的近似实根r 原理：对于方程 f(x)=0，解方程即要求f(x)的所有零点， (1) 先输入a、b的值，求f(a)和f(b)； (2) 如果f(a)和f(b)同号，说明在区间a,b内无实根，返回步骤(1),重新输入a 和 b的值；如果f(a)和f(b)异号，说明在区间a,b内一定有一个零点，即实根。 (3) 求f(a+b)/2，现在假设f(a)0,（a0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，令b = (a+b)/2， 从(3)开始继续使用中点函数值判断。 这样就可以不断接近零点,通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法 ， 使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫 做二分法。 例2：编写程序，用二分法求一元非线性方程f(x)=2x+sinx- 2.15=0 在区间 (0，5)上的近似实根r，精确到0.0001。 #include #include main() float a,b,x0,fa,fb,f0; do scanf(“%f,%f“, fa=2*a+sin(a)-2.15; fb=2*b+sin(b)-2.15; while(fa*fb0); do x0=(a+b)/2; f0=2*x0+sin(x0)-2.15 ; if (fa*f0=1e-4) ; printf(“%.4fn“,x0); 5.9 循环应用举例 3. 用牛顿切线法求方程在某区间的近似实根r Newton切线法又叫Newton迭代法。此方法使用函数f(x)的泰 勒 级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 5.9 循环应用举例 3. 用牛顿切线法求方程在某区间的近似实根r u先任意设定一个与真实的根r接近的值x0，作为第一次近似根 ，由x0求出f(x0)，过点（x0,f(x0)）做 f(x)的切线，切线交x 轴于x1 ； u把x1作为第二次近似根，再由x1求出f(x1) ，过点（x1,f(x1) ）做 f(x)的切线，切线交x轴于x2； u把x2作为第三次近似根，再由x2求出f(x2)，再做切线。 如此继续下去，直到满足要求，得真实的根r的近似值。 从图中可以看出：切线的斜率 f (x(n)= f(x(n)/ (x(n)-x(n+1) 因此得：x(n+1)=x(n)f(x(n)/f(x(n)，称为牛顿迭代公式。 例3：编写程序，用 Newton迭代法求方 程f(x)=2x+cosx- 2.6=0在区间0，4 上的近似实根r，迭 代初值自选，精确 到0.0001。提示:牛 顿切线法的计算公 式为x=x-f(x)/f(x) #include #include main() float x,x0,f,f1; x=2; /*迭代初值自选*/ do x0=x; f=2*x0+cos(x0)-2.6; f1=2-sin(x0); x=x0-f/f1; while(fabs(x-x0)=1e-4); printf(“%.4fn“,x); 5.9 循环应用举例 f1代表 f(x) X0代表前一次的近似根 ，x代表后一次的近似 根。求出一个x后，把 它的值赋给x0，然后用 x0求下一个x。 5.9 循环应用举例 求定积分的近似值常有矩形法与梯形法，其实质都是面积求和 。 l 矩形法是把所要求的面积垂直x轴分成n个小矩形，然后把这n个 小矩形的面积相加，即为所求的定积分的值。 l 梯形法是把所要求的面积垂直分成n个小梯形，然后作面积求和 。 l 这两种近似求值的精度随分割个数n的增加而增加，对于相同的 n个数，相对来说，梯形法的精度比矩形法的要高一些。 初始算法：初始化积分区间（a，b），如果把积分区间划分为 100个格，则每个区间的宽度h=fabs(a-b)/100； 4.用矩形法求一元函数在某区间上的积分近似值s 5.9 循环应用举例 【例5_34】 ：编写程 序，用矩形法求一元函 数f(x)=x*x在区间0， 1上的积分近似值S。 （课本P103） 5.9 循环应用举例 #include main() int n,k; float a,b,h,f0,s=0,s1,x; scanf(“%d“, a=0; b=1; h=(b-a)/n; x=a; f0=x*x; for(k=1;k #include main() double x,y=0,h,a=0,b=3.1416/6,s; int i,n=15; h=fabs(a-b)/n; for(i=1;i #include main() int i,n=10; float a=0,b=1,h,t1,t2,s1,s2,x; h=(b-a)/n; for(s1=0,s2