中值定理与导数应用习题.pps

第三章 中值定理与导数 的应用 (习题课) 题组一：中值定理 1.考察函数在 0 , 2 上 关于拉格朗日定理的正确性. 解: (1) 验证 f (x)在 x = 1处的连续性 。 (2) 验证 f (x)在 x = 0处右连续; x = 2处左连续。 (3) 验证 f (x)在 x = 1处的可导性。 2. 求下列极限 解: （2） 解: （3） 解: （4） 解: 因为 所以 原式 = 3. 设 f ( x ) 在 证明:当 是同阶无穷小. 证明: x0的某一邻域内具有二阶导数,且 接3. 且 (非零常数) 故当 是同阶无穷小. 4. 证明:当 x 1时, 证明: 接4. 取 x = 1 得 5. 证明函数的导 数在 ( a , b )内必有零点. 证明: Rolle定理 6. 设 f ( x )可导, 的零点. 证明: 显然 F(x)在 x1 , x2 上满足Rolle定理, 试证在 f ( x )的两个零点之间必有 7. 设 f ( x ) 在 试证方程在 内有唯一实数根. 证明: 先证根的存在性. a , + ) 上连续,在 ( a , + ) 内可导且 接7. 由零点定理知在 内有实数根. 再证根的唯一性 故在内有唯一实根. 综合以上两部分可知结论成立. 8. 设 f ( x ) 在 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 , 使 证明: 由零点定理得: 在0 , 上应用Rolle定理得: 0 , 1 上连续,在( 0 , 1 )内可导且 9. 设 f ( x ) 和g ( x ) 且对一切 x( a , b )有则必存在 使 证明: 将结果变形为: 在 a , b 上连续,在( a , b )内可导 接9. 于是有 10.设 f ( x ) 在 0 , 1 试证:在( 0 , 1 )内至少 有一点 , 使 证明: 显然 F (x) 在0,1上满足Rolle中值定理. 上连续,在( 0 , 1 )内可导且 1. 讨论方程并求出它们 所在的区间. 解: 题组二：导数的应用 x 的实数根的个数, 接1. x y o 因此方程有唯一实数根 介于 2. 设 f ( x ) 连续 则在 x = 0 处 f ( x )为_. A. 不可导B. 可导且 C. 取极大值 D.取极小值 解: 且 f ( 0 ) = 0 , 接2. 极限的局部 保号性 x = 0为函数极小值点. 3.设 f ( x ) 在 x = x0的 如果 而 讨论 x = x0为极值点还是( x0 , f (x0)为拐点. 解: ( x0 , f (x0)为拐点. 某一邻域内具有三阶连续导数, 接3. 由泰勒公式得 ( x0 , f (x0)不 是极值点. 4. 试确定常数 与曲线在 x = 0 处有相同的切线和曲率. 解: a , b , c 使抛物线 记 因两曲线同过所以有 因两曲线在 有相同的斜率， 所以有 接4. 因两曲线在有相同的曲率，所以有 又因为 所以 5. 设f ( x ) 在 在 x = a (a 0)有极值,试证:曲线f ( x ) 在(a , f (a) )处 的切线过原点. 证明: ( - , + ) 上可微,函数 曲线在 处的切线为 因为 在 取得极值， 所以 而 接5. 所以 将其代入切线方程得 于是切线过原点。 6. 求数列 解: 的最大值. x y o 7. 过曲线上的点 P 作 L 的 切线,此切线与坐标轴相交于点M , N ,试求点 P 的 坐标,使 O M N 的面积最小. 解: P M N -1 设 P点坐标为(x , y) ， 则切线方程为 得M ，N点的坐标分别为 又知分别令 接7. x y o P M N -1 这时 令得 而为符合定义的唯一驻点 ， 由题意知面积最小值一定存在， 故就是最小值点，因此 8. 证明不等式 证明: 设 则 因此该函数在单调减、无驻点、无不可导点， 于是在端点处， 函数取得最小值， 所以即不等式成立。 (2) 证明: 设 则 令得 为唯一驻点。 又知 所以 于是 为的最小值， 所以 故 (3) 设 x( 0 , 1 ) , 证明: 设 接(3) 单调