关于生物节律的数学模型.doc

关于生物节律的数学模型摘要：为了对人体的生命节律进行有效的解释，通过对人体生物钟的分析，得到生命节律的变化的实质就是生物钟的变化，而人体生物钟是在多个基因及蛋白的共同作用下进行调节的，为了将生物钟很好地运用数学语言进行表达，本文采用系统动力学方程模型对生物钟进行解释，其中，整个生命体就是系统，由于节律有振幅和频率的变化，因此，本文对其两种情况分别建立分叉判别模型和劳思赫尔维茨判据对其分析，同时本文还描述了当振幅和频率都发生变化的时候的处理方法，即将分叉判别模型和劳思赫尔维茨判据共同作用即可，为了很好的检验本文所建立的模型的准确性及实际运用意义，本文通过对心肌细胞进行分析处理，得到了心脏在用内在和外在的影响的情况下的振荡图形，与实际振荡基本一致，从而验证了该模型的准确性及实际意义。关键字：系统动力学、分叉、劳思赫尔维茨判据、混沌 一、问题的重述自然界的生命体或者人工智能系统中，可以发现有许多周期或者近似周期节律的现象存在。这些周期节律的现象会根据自身内部的反馈机制以及外界的刺激或者外界输入的变化 而变化：(A)或者节律变快了，但是振幅变化不太大；(B)或者振幅变化很大，但是节律相对稳定；(C)亦或者两者都会有较大的变化。例如，正常人的心跳节律在有外界刺激时就会有(A)类现象的出现；正常人和病人的体温昼夜变化又会有(B) 类现象的出现。问：（1）请设计若干数学模型，以便能够充分反映上述描述的这些节律现象，并解释模型产生这些现象的机制。（2）考虑将设计的模型具体运用于某一个具有实际背景的系统中，并评价模型的优点和缺点。二、模型假设三、符号说明表示Michaelis常数表示各部分的最大速率定义：小写（或reverb）、（或bmall）、（或clock）、表示相应基因，而大写的上述字母则表示相应蛋白表示CLOCK蛋白与BMALL蛋白的异二聚体四、问题分析生物节律现象的各种变化，根本上是由生物钟决定的。生物钟是指激发生物体内的生物节律并使之稳定维持的内部定时机制。生命科学家发现，生物钟是多种多样的，就人体而言，已发现一百多种。人体的生理指标，如体温、血压、脉搏；人的体力、情绪、智力和妇女的月经周期；体内的信号，如脑电波、心电波、经络电位、体电磁场的变化等等，都会随着昼夜变化作各种周期性变化。生物钟主要是由生物体内的一种被称作时钟基因的细胞核或细胞质决定的。生物钟基因普遍存在于生物体内，起着调控机体生命活动和近日节律运转的作用，它们及其编码的蛋白质产物构成的自主调控的转录和翻译负反馈环是生物钟运转的分子机制。在生物体内，存在着不止一个时钟基因，同时还存在着大量对生物体的时钟基因有影响的基因，时钟基因之间相互耦合或彼此之间相互影响会同时对生物节律变化起作用。由于生物体内的生物钟存在对光或其他外界噪声、湿度以及温度等的敏感性，所以生物体的时钟基因与外界环境存在着一定的关系。总而言之，生物节律是系统作用的结果。从系统科学的观点考虑，它是一个负反馈控制的系统。因此，可以运用系统动力学的有关方法建立数学模型，以反映题目所描述的节律现象。（意义？）对于一般的生化系统来说，都存在着一个稳定态。本文要判断一个系统是否处于稳定状态，必须得进行稳定性分析。通过对该生命节律模型的稳定性分析，本文可以得到该系统的稳定态标准。系统的震荡性是生物节律发生变化的基础。要产生稳定性震荡，首先得满足两个条件：1.系统具有自我增加的元素，2系统是具有负反馈的部分相关临界值则反映了生命节律的稳定态和周期震荡，通过求出相关临界值，可以判断生命节律变化处于何种状态。五、模型建立生物节律的起始点是一种“转录翻译抑转录”机制构成的反馈环。反馈环的正性因素通过PAS结构域相互配对，结合于生物钟基因上游的启动子上，启动基因转录，进而翻译产生生物钟蛋白，参与生物钟现象。而生物钟蛋白同时作为负性因素，进人细胞核通过与正性因素结合而抑制生物钟基因启动子的活化，使mRNA水平下降，最终蛋白自身减少，反馈抑制作用逐渐减弱，完成一个循环。各生物钟基因相互作用机制如下图所示：per2crieclockper1cry2cry1PER1CRY2PER2CRY1CRIECLOCKBMALLREVBRBreverbbmall生物钟基因转录因子主要反馈环示意图注：-表示负反馈，+表示正反馈， 表示自身震荡 生物钟是由依赖于CLOCKBMALL等蛋白因子的正反馈环和依赖于CRY(隐色素)等蛋白因子的负反馈环共同维持的有机系统。CLOCK基因生物钟的组织中起着中心作用，Bmall是Clock基因的分子伴侣，二者的相应蛋白相互作用形成二聚体，激活Perl，Per2，Per3，Cryl和Cry2基因的转录。PER1，PER2，PER3，CRY1和CRY2蛋白相互作用形成二聚体或三聚合物，将PEP1、PER2等蛋白进入细胞核。CRY蛋白自身可以独立进入细胞核内，进行反馈作用。在细胞核内CRY1和CRY2蛋白阻止CLOCKBMAL1复合体形成，从而抑制PER和CRY蛋白的转录。Rev-erb Alpha可以抑制BmMI表达，但对CLOCK表达无作用（图中虚线所示）。 上述系统的动力学方程为：六、模型求解首先定义系统右侧为零，即：显然，不是以上方程的解首先，我们先讨论生物节律振幅变化的问题。以下是对上述方程组的另外表示令 所以对以上方程求解后可得：将上述方程线性系统化后可得其系数的雅各比矩阵为：令，所以上式转化为： （式*）进而可以推出，。令,根据可知：又因为：，所以上式转化为：（式#）进而解出，如果系统存在分叉，则它的实部为：（其中k为整数）。当k=0时，有。令，如果系统稳定，则必须满足条件，又根据式*和式#可以得到：因此，如果系统不稳定，则必须满足，即因为，所以，即只有当时，系统才会出现振荡现象。我们以为标量，振幅A作为主要观察对象，用进行计算机仿真可得如下分叉图： 从该分叉图可以看出，振幅A随标量的变化情况。当0.7时，振幅A与标量无实际生理意义。当0.71.25时，可以看到系统出现了分叉，进入周期震荡状态。而1.42时，系统将处于混沌状态，仅在在在较窄区间内，有一个稳定性节律的突变。下面我们再来讨论系统频率变化问题。又由可知：，即即，其中， 由上式可得矩阵根据劳思赫尔维茨判据，可知系统渐近稳定的条件为0。显然，的值全部都是大于的，只有的值不定，因为里面含有参数变量。只有当的值也是大于的时候，该系统才是稳定的。所以要使该系统稳定，则须将相应的参数变量带入式后，使的值为正即可。 我们用进行计算机仿真可得如下分叉图： 从上图不难看出，当0时，系统则处于稳定状态。在实际中，本文通过对心肌细胞的各参数的寻找来检验该模型。通过对振幅和频率的共同考察，来观察心肌细胞生理节律的变化情况。心肌细胞中个参数无量纲化后的值KrevKREVKbmaKcloKPER10.97970.87570.6240.7840.84848KPER2KCRIEKCRY1KCRY20.696970.4710.5690.283K1K2K3K4K50.30930.8385-0.068-0.1627-0.5947K6K7K8K9K10-0.9607-0.241-0.182-0.71030.5681K11K12K13K14K150.37040.70270.54660.44490.6946K16K17K18K19K200.62130.79480.95680.52260.8801K21K22K23K24K25-0.6216-0.14-0.1463-0.4064-0.5034V1V2V3V4V529.156547.45327.413398.845258.6964V6V7V8V9V1042.926152.035734.061243.857823.369V11V12V13V14V1558.400976.276153.452564.412121.6979V21V22V23V24V2538.60278.549568.403746.648457.215心肌细胞中的各变量无量纲化的值 CB REV rev PER1 per1 9.71149.90187.90974.44275.0333PER2 per2 CRIE crie CRY1 2.21