Chapt9二阶常微分方程级数解法本证值问题.ppt

9.1 特殊函数常微分方程 球坐标： 体积元 第九章二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 x y z O r (r,) 1 柱坐标： 体积元 x y z O (, , z) z e ez e 2 （一）Laplace 方程 （1）球坐标系 分离变量解： 代入（9.1.1）得到 3 i）径向方程 该方程的解为： Euler 方程 4 ii）单位球面上方程： 可以进一步分离变量： 极角方向： 球函数方程 5 该方程称为连带 Legendre 方程。 6 当 m=0 时，称为 Legendre 方程： 即： 注意： 因 x=cos, 而 的变化范围是 0, , 所以 x 的变化范围是 -1，+1 。 7 （2）柱坐标系 试分离变量解: 代入方程(1) 得到: 8 对 方向 有本征值问题: 本征值问题的解: 9 分三种情况: (i) 方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件， 仅当 有满足z方向齐次边界条件的解 记 a x y 10 对 方向: 令 (ii) 方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条 件，令： 称为 m 阶 虚宗量 Bessel 方程。 称为 m 阶 Bessel 方程。 11 (iii) 12 （二）波动方程 称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 13 （三）输运方程 称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。 14 （四）Helmholtz 方程 （1）球坐标系 分离变量解： i）单位球面上方程与上面的结果一样： 15 ii）径向方程： 称为球 Bessel 方程。 令： 上式化成 （l+1/2) 阶 Bessel 方程半奇数阶 Bessel 方程： 16 （2）柱坐标系 三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量 后，空间部分满足的是 Helmholtz 方程。 在柱坐标下： 令 i) 对 方向, 同样有本征值问题: 17 本征值问题的解: ii) 对 z 方向： iii) 对 方向: 18 进一步令 19 分 离 变 量 结 果 方程球坐标柱坐标 : Helm- hotz 方程 Laplace 方程 R： R： Z： : R： 20 9.2 常点邻域上的级数解法 标准形式： 其中：p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变函数 。 初值问题： 求一定区域内方程的解。 21 边值问题： 求实轴上x1,x2 区间方程的解。 （一）方程的常点和奇点 方程解的性质完全由 p(z) 和 q(z) 的解析性质决定。 设p(z) 和 q(z) 在一定区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的单值 解析函数。区域中的点可分为两类： 常点： 若系数 p(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内解析，则 z0 点称 为方程的常点； 奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称 为 方程的奇点； 22 (二) 常点邻域上的级数解 微分方程解析理论的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圆 内是单值 解析的, 则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件 是任意常数, 并且w(z)在这圆内是单值 解析的. z0R 23 在常点 z0 的邻域 |z-z0|1, 或n2, 则第二项或第三项为最低 次幂项 37 令其系数为零, 只能有 若 则最低次幂项为第一项，或加 上第二、第三项。令其系数为零。（当m=1, n=2） 判定方程 38 （三）Bessel 方程的级数解 在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解 注意： 是任意实数。 x=0 是 p(x) 的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。 39 级数形式解： 代入方程（1），得到 即 40 x0 的系数方程判定方程： （I） i) 求 41 递推公式 由于 故级数所有奇数项系数为零： 42 得到一个无穷级数解 令任意常数 阶 Bessel 函数 后面将详细讨论 Bessel 函数的特性。 43 收敛半径 44 ii) 求 ( s=s2= -) 只要在 中 - 得到另一个无限级数解 -阶 Bessel 函数 45 收敛半径： 的收敛范围： 应用中，用 和 的 线性组合构成 Bessel 方 程第二个特解： 一般解： 阶 Neumann 函数。 一般解： 46 （II） i） 2 =2m, 即 =m, (m=1,2,3,.) 第一个解仍然是 Jm(x)。对第二个解： a)若用 自k=2m起失效! 47 除 非 当递推公式成为 此时 可为任意常数， 继续可用递推公式算出后面的系数，将解写作： 由于v(x)之递推公式同 最多相差一常数因子，即： 此时令 得 48 b) 若在 Jm(x)中m -m 49 亦 取 用 结果 m 阶 Neumann 函数 50 51 ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) = l+1/2, 半奇数： l=0 52 53 但 A=0 54 一般, 常数 A=0, 因此线性独立解为： 半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示： 55 可以证明公式： iii) 2 =2m=0, 56 小结: (I) 57 (II) i） 2 =2m (m=1,2,3,.) ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2 =2m=0, 58 9.4 施图姆-刘维尔(Sturm-Livouville) 本征值问题 -Sturm-Livouville 本征问题 以 乘上式得: -Sturm-Livouville 方程 59 Legendre 方程的本征值问题 本征函数： 本征值： 60 Bessel 方程的本征值问 题 作变换 方程成为标准Bessel 方程 61 i) 若k(x)0, q(x)0, 正则斯刘本征问题 ii) 如果端点 x=a and/or x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件！ 奇异斯刘本征问题 iii) 周期斯刘本征问题 62 Sturm-Livouville 本征值问题的基本性质： （1）、如果 p(x), q(x) 连续或者至多端点为一阶极点 ，则存在无限个本征值： 相应的本征函数为： 当本征值按上述次序排列时，则在 上相应本 征函数的零点个数按从少到多的次序排列。 在量子力学中，y1(x) 和1 称为基态波函数和基态本 征值（一般为能量）。 63 例： 64 （2）所有本征值 （3）对应于不同本征值 m, n 的本征函数 ym(x), yn(x) 带权 (x) 正交： （4）本征函数 y1(x), y2(x),. 是完备的。a, b 上平方 可积的函数 f(x) 可展成 广义 Fourier 级数： 其中： 是 yn(x) 模： 65 关于函数系的完备性： 如果对定义在 a, b 上的任意函数 f(x)，在平均收敛 的意义上： 则称函数系 y1(x), y2(x),. 是定义在 a,b上的完备 集。 66 例： 对应同一本征值 =m2，有两个本征函数 ： 简