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4-3 定积分的换元法和分部积分法 定理4-8 一、换元法 证 例1 计算 解令 例2 计算 解 被积函数开方时，要注意加绝对值，讨论积分区间。 例3 计算 解原式 定理4-9 证 例4 计算 解令 原式 例 解 令 思考题解答 计算中第二步是错误的. 正确解法是 注意： （1）定积分换元必换限； （2）还原计算法。 (3）定积分的换元公式对于也成立。 例: 设函数 解: 设 x2 = t. 则 dx = dt, 且 于是: （4）注意函数x=(t)在应有连续导数。 计算: 例：设f(x)在(-,)内连续 ， F(x)= 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。 （5）要把积分上下限与积分变量区别开。 证 (6) 利用换元证明积分等式 奇函数 例 计算 解原式 偶函数 单位圆的面积 证 （1）设 （2）设 例 证明：根据积分区间的可加性 周期函数在任何一个周期上的积分都相等 定积分的分部积分公式 推导 二、分部积分公式 例1 计算 解 例2 计算 解 例3 计算 解 2 例5 设 求 解 例6 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 积分 关于下标的递推公式 于是 例 ：计算下列定积分 思考与练习 1. 提示: 令则 2. 设 解法1 解法2 对已知等式两边求导,思考: 若改题为 提示: 两边求导, 得 得 3. 设 求 解: (分部积分) 4. 证明 证： 是以 为周期的函数. 是以 为周期的周期函数
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